Разработка математической модели и оптимизации процесса производства аммиака
Дипломная работа - Химия
Другие дипломы по предмету Химия
sp;
Положив
получим линейные уравнения относительно новых переменных:
Коэффициенты определяются по методу наименьших квадратов. По полученным и определяются коэффициенты и .Следует, однако, иметь в виду, что полученные таким образом коэффициенты регрессии являются смещенными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов.
2.2 Разработка алгоритма блок-схемы задачи
При изучении зависимости от одного переменного параметра полезно для определения вида уравнения регрессии построить эмпирическую линию регрессии. Для этого весь диапазон изменения на поле корреляции разбивается на равные интервалы . Все точки попавшие в данный интервал , относятся к его середине . Для этого подсчитывают частные средние для каждого интервала:
(2.6)
Здесь - число точек в интервале .
(2.7)
где - число интервалов разбиения; - объём выборки.
Затем последовательно соединяют точки отрезками прямой. Полученная ломаная называется эмпирическим уравнением регрессии по . По виду эмпирической линии регрессии можно подобрать уравнение регрессии .
Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Если
(2.8)
есть функция дифференцируемая и требуется выбрать так, чтобы
(2.9)
необходимым условием минимума является выполнения равенства
(2.10)
или
(2.11)
После преобразований получим:
(2.12)
Система уравнений 2.12 содержит столько же уравнений сколько неизвестных коэффициентов входит в уравнение регрессии и называется в математической статике системой нормальных уравнений.
Величина при любых ; следовательно, у неё обязательно должен существовать хотя бы один минимум. Поэтому, если система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимумом для величины . Решать систему в общем виде нельзя. Для этого надо задаться конкретным видом функции f.
Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при применении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции - параболы второго порядка:
(2.13)
В этом случае
(2.14)
и система нормальных уравнений имеет вид:
(2.15)
(2.16)
Решив данную систему уравнений, которая решается в матричной форме по уравнению 2.16, мы получим значения коэффициентов . Далее необходимо провести проверку на значимость данных коэффициентов по неравенству:
(2.17)
где - расчётное значение коэффициента Стьюдента; - критическое значение коэффициента Стьюдента.
Если данное неравенство выполняется, то коэффициент считается значимым и включается в уравнение 2.13. Если неравенство не выполняется, то коэффициент считается незначимым.
Далее осуществляется проверка адекватности математической модели по критерию Фишера. В нашем случае нет параллельных опытов, поэтому расчёт критерия Фишера производим по следующей формуле:
(2.18)
где - остаточная дисперсия.
Далее критерий Фишера сравнивается с табличным. Если он больше табличного, то модель адекватна.
Описание блок-схемы:
)весь диапазон изменения на поле корреляции разбивается на равные интервалы ;
)подсчитываем частные средние для каждого интервала по формуле 2.6;
)подбираем уравнение регрессии ;
)определяем значения коэффициентов по формуле 2.16;
)проводим проверку на значимость данных коэффициентов по неравенству 2.17;
)осуществляем проверку адекватности математической модели по критерию Фишера
Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 2.1
Рисунок 2.1- Блок-схема алгоритма
2.3 Составление программы и анализ результатов моделирования
Вид математической модели определяем при помощи регрессионного анализа. Сначала определяем коэффициенты регрессионной модели, затем проверяем значимость коэффициентов и адекватность регрессионной модели. Данный метод реализуем в пакете Mat Lab.
2.3.1 Вид зависимости выхода аммиака от температуры
%Зависимость выхода аммиака от температуры
clc, clear
P=[723 748 773 873 973 1020]';=[35.5 31.0 26.2 12.84 7.28 4.89]';=length(P);=corrcoef(P, w);=[ones(n,1) P P.^2 ];=(X'*X)^(-1)*X'*w=700:1:1020;=A(1)+A(2)*x+A(3)*x.^2(P,w,'*',x,f,'g');=n-1;=0.95;=tinv(p,l)=cov(w);=diag((X'*X)^(-1));=length(A);i=1:k(i)=abs(A(i))/sqrt(dw*c(i));=n-1;=n-k;=finv(p,f1,f2)=X*A;=((Y-w)'*(Y-w))/f2;=dw/dost
%Модель адекватна, т.к. Fr>Fk!
Результаты расчётов:=1.0e+003
.6165
.0136= 2.0150=0.0493 0.0549 0.0586= 230.1619=4.3577e+003
Графически зависимость отображена на рисунке 2.2.
Математическая модель выхода аммиака от температуры имеет следующий окончательный вид:
W=1,0e+003-2.6165x+0.0136x2 (2.19)
Рисунок. 2.2 - Выход аммиак от температуры
2.3.2 Вид зависимости выхода аммиака от давления
%Зависимость выхода аммиака от давления.
clc, clear=[25 25.6 26.26 27.57 28.06 29.55 30.8]';=[14 13.9 13.79 13.65 13.6 13.61 13.6]';=length(P);=corrcoef(P, w);=[ones(n,1) P P.^2];=(X'*X)^(-1)*X'*w=24:0.1:31;=A(1)+A(2)*x+A(3)*x.^2;(P,w,'*',x,f,'g');
%Проверка значимости по критерию Стьюдента.
l=n-1;=0.135=tinv(p,l)=cov(w);=diag((X'*X)^(-1));=length(A);i=1:k(i)=abs(A(i))/sqrt(dw*c(i));
end
%Проверка адекватности по критерию Фишера.=n-1;=n-k;
Fk=finv(p,f1,f2)=X*A;=((Y-w)'*(Y-w))/f2;=dw/dost
%Модель адекватна, т.к. Fr>Fk!
Результаты расчётов:
A =31.9385
.2462
.0211
p = 0.1350
tk