Разработка математической модели и оптимизации процесса производства аммиака
Дипломная работа - Химия
Другие дипломы по предмету Химия
?аничения на переменные задачи и прямое решение дифференциальных уравнений осложняется необходимостью учета указанных ограничений. При решении задач методом динамического программирования, как правило, используют цифровые вычислительные машины, обладающие достаточным объемом памяти для хранения промежуточных результатов решения, которые обычно получаются в табличной форме.
7)Методы нелинейного программирования.
Методы нелинейного программирования применяют для решения оптимальных задач с нелинейными функциями цели. На независимые переменные могут быть наложены ограничения также в виде нелинейных соотношений, имеющих вид равенств или неравенств. По существу методы нелинейного программирования используют, если ни один из перечисленных выше методов не позволяет сколько-нибудь продвинуться в решении оптимальной задачи. Поэтому указанные методы иногда называют также прямыми методами решения оптимальных задач.
Для получения численных результатов важное место отводится нелинейному программированию и в решении оптимальных задач такими мето- дами, как динамическое программирование, принцип максимума и т. п. на опре деленных этапах их применения.
Названием методы нелинейного программирования объединяется большая группа численных методов, многие из которых приспособлены для решения оптимальных задач соответствующего класса. Выбор того или иного метода обусловлен сложностью вычисления критерия оптимальности и сложностью ограничивающих условий, необходимой точностью решения, мощностью имеющейся вычислительной машины и т.д. Ряд методов нелинейного программирования практически постоянно используется в сочетании с другими методами оптимизации, как, например, метод сканирования в динамическом программировании. Кроме того, эти методы служат основой построения систем автоматической оптимизации - оптимизаторов, непосредственно применяющихся для управления производственными процессами.
Этих методов множество, но наиболее эффективные градиентные (метод наискорейшего спуска при поиске минимума целевой функции и метод крутого восхождения при поиске максимума нелинейной целевой функции). Преимуществом метода является простота реализации на ЭВМ.
Задача поиска оптимума (максимума) численным методом сводится к локализации области наибольших значений функции близких к экстремальным ( от до ) и уточнение значения функции в точке экстремума. При нахождении минимума необходимо исходную функцию рассматривать как отрицательную.
Численные методы можно классифицировать:
.метод локализации экстремума функции одной переменной
.метод поиска с использованием чисел Фибоначчи
.метод поочередного изменения переменных
.метод сканирования
.метод равномерного поиска;
.метод поразрядного приближения;
.метод дихотомии;
.метод золотого сечения;
.метод квадратичной интерполяции.
1) Метод локализации экстремума функции одной переменной
Предположим, что задача состоит в определении положения экстремума функции одной переменной на интервале [а, b]. Для решения этой задачи разобьем весь интервал на N равных частей. На рисунке показано такое разбиение для N = 4. На границах всех подынтервалов, включая конечные точки интервала [а, b], вычисляются значения функции R(x).
Среди полученных значений R(x) находится то, которое соответствует типу отыскиваемого экстремума. Например, при отыскании минимума функции R(х) (рис. IX-16) наименьшее значение R(x) среди вычисленных значений R(x) (к = 0, ..., 4)
Далее выбирается новый интервал, включающий два подынтервала с наименьшим вычисленным значением функции на их общей границе. Таким интервалом является [х(2) , x(4)] Очевидно, что поскольку на границах нового интервала значение функции R(x) больше, чем в его середине, минимум расположен в интервале . Тем самым искомый минимум локализован в интервале, размеры которого меньше исходного
Применяя к новому интервалу тот же прием разбиения и вычисляя значение R(х) на границах полученных подынтервалом. можно еще более сузить интервал, где находится искомый минимум.
Нетрудно показать, что наилучшие результаты поиска могут быть достигнуты в том случае, если используется разбиение на четыре подынтервала (N= 4). При этом для каждого разбиения нужно вычислять значения целевой функции только в двух новых точках, так как ее значения на концах нового интервала и в его середине известны. Ошибка в нахождении положения экстремума с увеличением числа точек, в которых вычисляется значение целевой функции, определяется выражением
(3.4)
причем s - число расчетов значений целевой функции, которое в используемом методе может быть только нечетным. Так, при s = 21 относительная ошибка в нахождении положения экстремума составляет:
Рисунок 3.2 Одномерный поиск методом локализации экстремума
'
2) Метод поиска с использованием чисел Фибоначчи
Показано, что свойства последовательности чисел Фибоначчи, описываемой рекуррентным соотношением
F(k)=F(k-1)+F(k-2)(3.6)
можно использовать для организации оптимального поиска экстремума функции одной переменной.
Доказывается , что если требуется найти положение экстремума функции, определенной на интервале [а, b] с абсолютной ошибкой, не превышающей
(3.7)
где F(s) - s-ое число Фибоначчи, то для отыскания положения экстремума достаточно вычислить не более 5 значений функции R(х). Так, например, при выполнении s = 2