Разработка математической модели и оптимального режима технологического процесса
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
оводят одинаковое количество параллельных опытов. Поэтому и применяют первую схему регрессионного анализа.
Основная задача регрессионного анализа получение математической модели процесса, проверка адекватности полученной модели и оценка влияния каждого фактора на процесс.
В любой точке плана, но чаще в центре проводят несколько параллельных опытов и по ним рассчитывают:
1. Выборочные математические ожидания yi по формуле:
(6)
где m - количество параллельных опытов;i - результаты эксперимента;- номер строки матрицы.
. Выборочную построчные дисперсию Si по формуле :
(7)
где m - количество параллельных опытов в центре плана,
уi - экспериментальные значения параметров оптимизации;
? среднее значение параметров оптимизации;
Затем полученную выборочную дисперсию применяют в качестве
Однородность дисперсий не проверяется.
. Проверка значимости коэффициентов bi. Вычисляем их методом наименьших квадратов:
(8)
4) Определяем дисперсию коэффициентов bi:
Планы второго порядка не ротатабельны, то есть точность предсказания на разных расстояниях разная, коэффициенты вычисляем с различной точностью, следовательно, Sbi будет разная.
(9)
) Проверяем значимость коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:
(10)
где tp -расчетный критерий Стъюдента;
Sbi - дисперсия коэффициентов bi ;
tтабл.- табличный критерий Стъюдента.
Если tр>tтабл коэффициент bi значим, то есть фактор, соответствующий этому коэффициенту оказывает существенное влияние на процесс. В противном случае коэффициент bi незначим, фактор, в области факторного пространства не оказывает существенного влияния на процесс, и поэтому исключаем незначимые факторы из уравнения регрессии.
) Проверка уравнения регрессии на адекватность проводится по критерию Фишера:
(11)
где Sад. - дисперсия адекватности, вычисляется по формуле:
,(12)
где - расчётный параметр оптимизации;
l- количество значимых коэффициентов bi.
Табличный критерий Фишера, зависит от степеней свободы числителя и знаменателя.
Значения степеней свободы для числителя (fч) и знаменателя (fзн) вычисляют по формулам:
fч = n - L,(13)
fз = m - 1,(14)
где fч - степень свободы числителя,з - степень свободы знаменателя.
Если Fp < Fтабл., то уравнение адекватно, если неадекватно следует перейти к планам более высокого порядка.
В результате преобразований на матрице планирования эксперимента и проведённого регрессионного анализа получаем уравнение регрессии, описывающее данный технологический процесс.
y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2+b11x 12+b22x22.
Исследование поверхности отклика.
Проводим исследование поверхности отклика 2-го порядка. Выбор метода оптимизации плана 2-го порядка зависит от вида поверхности, поэтому необходимо провести исследование поверхности отклика, поскольку по виду полученного уравнения регрессии определить вид поверхности невозможно. Чтобы определить вид поверхности, нужно уравнение регрессии в кодированном виде перевести в канонический вид.[1]
Уравнение регрессии с двумя независимыми переменными имеет вид:
(15)
В канонической форме это уравнение имеет вид:
(16)
где Ys - координаты центра поверхности отклика,
Bii - коэффициенты уравнения регрессии в каноническом виде,
Xi - канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов хi.
Порядок канонического преобразования.
Преобразование уравнения к каноническому виду выполняют в два этапа:
.Определяем координаты в центре поверхности отклика.
Для этого решаем систему нормальных уравнений
(17)
(18)
Решая эту систему уравнений получим корни уравнений:
(19)
(20)
Для определения Ys необходимо в исходное уравнение регрессии в кодированном виде вместо Х1 подставить х1s и х2s.
. Переносим начало координат в центр поверхности отклика (точку S).
При переносе освобождаемся от линейных факторов уравнения регрессии в кодированном виде.
Новые координаты находим по формулам:
(21)
(22)
(23)
Если в уравнении регрессии в кодированном виде подставить новые значения, то получим:
(24)
. Для того чтобы избавиться от взаимодействия факторов, необходимо повернуть оси координат на угол ? до совмещения с осями эллипса.
(25)
В канонической системе координаты связываются следующим уравнением:
(26)
(27)
.Вычисляем коэффициенты Bii канонического уравнения. Для вычисления коэффициентов Bii канонического уравнения составляют характеристический детерминант (определитель):
(28)
Приводим к виду , корни квадратного уравнения определяем по формуле:
(29)
Коэффициенты могут быть положительными и отрицательными, от знака коэффициента зависит вид поверхности:
а) если коэффициенты имеют одинаковые знаки, то поверхность отклика - эллиптический параболоид. В центре поверхности максимум при Bii 0
б) если коэффициенты имеют разные знаки, то поверхность отклика - гиперболический параболоид. В центре поверхности точка S - минимакса.
в) если один из коэффициентов близок к 0, то поверхность - возвышенность, которая уходит дале