Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет
им. Н.Г. Чернышевского
Физико-математический факультет
Кафедра математического анализа
Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
Курсовая работа
Выполнила: студентка 4 курса ОЗО
ФМФ Ракова Екатерина Викторовна
Научный руководитель: заведующий
кафедрой математического анализа
Степанова Лилия Эдуардовна
Чита, 2007
Оглавление
Введение3
1. Историческая справка6
2. Условия существования определенного интеграла10
3. Приложение интегрального исчисления11
3.1 Общие понятия11
3.2 Интегральное исчисление в геометрии13
3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой13
3.2.2 Вычисление объема тела16
3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения18
3.2.4.Вычисление площадей плоских фигур……………………………………….20
3.3 Механические приложение определенного интеграла23
3.3.1 Работа переменной силы23
3.3.2 Путь, пройденный телом24
3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку25
3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой26
3.3.5Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры28
3.4 Интегральное исчисление в биологии31
3.4.1 Численность популяции.31
3.4.2Биомасса популяции………………………………………………………………32
3.4.3 Средняя длина пролета.33
3.5 Интегральное исчисление в экономике35
Заключение39
Литература40
Введение
Нахождение производной f(x) или дифференциала df=f(x)dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F(х)=f(x) или F(x)=F(x)dx=f(x)dx.. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.
Задача о нахождении площади
Определить площадь P криволинейной трапеции ABCD (рис 1)
Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок. Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.
Обозначим абсциссы точек деления через
X= a < X< X < … < X < X < … < X = b.
Основание i го прямоугольника равно разности X - X (?X). Высота равна y = f (X). Поэтому площадь i го прямоугольника будет y ?X = f (X) ?X.
Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади P криволинейной трапеции
P= y ?X или P=f (X) ?X .
Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех ?X стремится к нулю. Точное значение площади P получится как предел:
P=Lim y ?X или P=Limf (X) ?X,
В предположении, что все ?X одновременно стремятся к 0.
Для обозначения предельного значения суммы y ?X Лейбниц и ввел символ ? ydx, где ydx напоминает типичное слагаемое суммы, а ? есть стилизованная буква S - начальная буква латинского слова “Summa”. Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ сохранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать
? f(x)dx,
если речь идет о переменной площади, и
f(x)dx,
- в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей изменению х от а до b.
Определение. Пусть функция f (X) задана в некотором промежутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ?X = X - X (i = 0, 1,2, . ..,n-1) обозначим через ?.
Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по произволу точку X = ?
X ? ? ? X (i = 0, 1, … , n-1)
и составим сумму
? = f(?) ?X
Пусть I конечный предел данной суммы
I = ?.
Конечный предел I суммы ? при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом
I = f(x)dx
В случе существования такого предела функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [a, b].
Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.
Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), коорый впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения.[7]
1. Историческая справка
Интеграл (от лат. Integer - целый ) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объ