Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
b>Найти площадь поверхности шара радиуса R.[5]
Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = , -R ? x ? R, вокруг оси Ox. По формуле S= 2ydx находим
S = 2 =
- Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f(х )?0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу
Если же f(x) ? 0 на [а; b] то f(х) ? 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой
или
Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис 9) . [1]
Решение. Пользуясь формулой , находим искомую площадь
S =
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абсцисс при условии (рис 10). [1]
Решение. Разбиваем сегмент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx ? 0, на втором sinx ? 0. Следовательно, используя формулы
и , имеем, что искомая площадь
Полярные координаты.
Пусть требуется определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лучами = , = и кривой АВ (рис 11), заданной в полярной системе координат уравнением r = r (), где r () функция, непрерывная на сегменте [; ].
Разобьем отрезок [; ] на п частей точками = о<1 < ...< < = и положим: ? = k = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через : = max ?. Разобьем данный сектор на п частей лучами = (k=1, 2, ..., п 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(), где .
Тогда сумма - приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г = a(1+соs) (рис 12). [7]
Решение. Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле получаем:
3.3 Механические приложение определенного интеграла
3.3.1 Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле
A =
Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пру- жину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?[5]
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х.
Искомая работа на основании формулы A =
равна
A =
Пример. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис 13).[5]
Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ? х ? Н), есть функция от х, т. е. А = А(х), где (0 ? х ? Н)( A(0) = 0, A(H) = А0).
2. Находим главную часть приращения ?A при изменении х на величину ?х = dx, т. е. находим дифференциал dА функции А(х).
Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр вес этого слоя; он равен g АV, где g ускорение свободногопадения, плотность жидкости, dv объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx высота цилиндра (слоя), площадь его основания, т. е. dv = .
Таким образом, dр = . и
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
A
3.3.2 Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t2.
Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения
равна производной от пути по времени”, т. е. v(t) = . Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t,
получаем S =
Пример. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).[5]
Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен
S =
3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего осно