Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ванием пластинку, а высотой глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р =g, где g ускорение свободного падения, плотность жидкости, S площадь пластинки, h глубина ее погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, y и y. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. е. р = р(х) давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; b] значений переменной х, где х [a; b] (р(a) = 0, р(b) = Р).
2. Дадим аргументу х приращение ?x = dх. Функция р(х) получит приращение ?р (на рисунке полоска-слой толщины dх). Найдем дифференциал dр этой функции. Ввиду малости dх будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля dр =.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим
P = или P =
Пример. Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (рис 15).[5]
Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями у = -, y, x = 0, x = R.
P =
3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой
Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М(х;у), М2(х2;y), … , M(x;y) соответственное массами m,m, … , m„.
Статическим моментом SХ системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):
Аналогично определяется статистический момент S этой системы относительно оси Oy: S= .
Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.
Пусть у =f/(х) (a ? х ? b) это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью ( = const).
Для произвольного х [а;b] на кривой АВ найдется точка с координатами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS (“элементарный момент”) будет равен , т.е. .
Отсюда следует, что статический момент SХ кривой АВ относительно оси Ох равен
Аналогично находим S:
Статические моменты SХ и SУ кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обозначим через С(хс;ус) центр тяжести кривой АВ.
Из определения центра тяжести следуют равенства и или и . Отсюда ,
или
Пример. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x + y= R2, расположенной в первой координатной четверти (рис 16).[5]
Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна , т.е. . Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть и , то ()
.
Стало быть,
Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то хс = ус = Итак, центр тяжести имеет координаты (;).
3.3.5 Вычисление статических моментов и координат центра
тяжести плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченн кривой у = f(х) ? 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис 17).
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна ( = const). Тогда масса всей пластинки равна т. е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.
Тогда масса его равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка отстоит от оси Ох на y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ?x ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
и
Следовательно,
,
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x;y), что .
Отсюда
и
или
x,.
Пример. Найдем координаты центра тяжести полукруга ( = const) (рис 18).
[5]
Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна . Находим Sx:
Стало быть,
Итак, центр тяжести имеет