Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
координаты С(0;)
3.4 Интегральное исчисление в биологии
3.4.1 Численность популяции.
Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, установившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными популяциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмешательство человека, то v (t) может значительно колебаться, уменьшаясь или увеличиваясь.[1]
Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообразной для v (t). Поэтому
N(t) N(t) = .
Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания
скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:
N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)
По формуле, подобной N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)
, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.[1]
- Биомасса популяции.
Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.
Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () средняя масса особи возраста , а М () биомасса всех особей в возрасте от 0 до .[1]
Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех особей возраста , рассмотрим разность
M( + ?) M(),
где ?>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех особей в возрасте от до + ?, удовлетворяет неравенствам:
N () Р ()? ? M ( + ?) M () ? N()P()?,
где N () Р () наименьшее, а - N()P() наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + ?]. Учитывая, что ?>0, из неравенств N () Р ()? ? M ( + ?) M () ? N()P()?,
имеем:
N () Р () ? ? N()P()
Из непрерывности функции N () Р () (ее непрерывность следует из непрерывности N () и Р () ) следует, что
[N () Р ()] = [N()P()] = N () Р ()
Поэтому будем иметь:
= N () Р ()
или
= N () Р ()
Следовательно, биомасса М () является первообразной для N () Р (). Отсюда:
M(T) M(0) = N () Р ()dt
где Т максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:
М(Т)= N () Р ()dt
3.4.3 Средняя длина пролета.
В некоторых исследованиях необходимо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. Приведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.
Птица может под любым углом в любой точке пересечь окружность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я,. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через.[1]
Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые летят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета это среднее расстояние между дугами АСВ и АСВ. Иными словами, это среднее значение функции f(х) f(х), где у = f(х) уравнение верхней дуги, а у = f2(х) уравнение нижней дуги, т. е.
L =
или
L = .
Так как
равен площади криволинейной трапеции аАСВb), а
равен площади криволинейной трапеции аАСВb, то их разность равна площади круга, т. е. R2. Разность b а равна, очевидно, 2R. Подставив это в L = .
, получим:
L = = R.
Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии.[1]
3.5 Интегральное исчисление в экономике
В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемы предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную fx. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут задаваться производной этой функции МС = С(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.[6]
Пример. Дана функция предельных издержек МС = Зq2 48q + 202, 1 ? q ? 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если изве?/p>