Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?тно, что издержки для производства первой единицы товара составили 50 руб.[4]
Решение. Функцию издержек находим интегрированием:
C(q ) = ,
где константа Со находится из данного условия С( 1) = 50, так что С0 = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, получим функцию издержек
C(q) = q.
Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение
С(10) = 670.
Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.
Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, ... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:
R(1)(1 + p), R(2)(1 + p), R(3)(1 + p), … .
Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:
П = ,
где п - общее число периодов времени.
В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ? t ? Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денежного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения величины П изменим формулу П = .А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следующий вид:
П = .
Пример. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. [4]
Решение. По формуле П = имеем
П = .
Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:
s = -0,05t, t = -20s, dt = -20ds.
При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s = 0, s = -1. Имеем
-
П = -20(- 400s2 400s + 5)e = 20 (- 400s2 400s +5)eds.
К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = eds, v= е. Поэтому
П = 20 ((-400s2 - 400s + 5)е + е(800s + 400)ds .
В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко второму слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем
П = 20 (5 5e + (800s + 400)e800eds) =
= 20(5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400)e - 1 - 800 + 800е - 1) =
= 20(1195е- 1 -395).
Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).
Далее рассмотрим некоторую модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой моде сформулированы ниже.
1 . Всякое изменение величины скорости денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.
2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения
3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости това-которые можно произвести) пропорционален объему оборот- средств К с коэффициентом пропорциональности р, k = рК. Дифференцируя по t, получим
.
В модели Домара предполагается, что весь экономический потенциал полностью используется, иными словами, У = к. Дифференцируя по t, получим
.
Подставляя и в , имеем
= pI, .
Чтобы найти функцию I(t) из уравнения = pI, , проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим
, или ln|I(t)| = pst,
Откуда ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):
I(t) = I(0)e,
где I(0) это скорость денежного потока в начальный момент времени.
Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле
I(t) = I(0)e
Заключение
Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.
Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.
Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.
Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.
Дальнейшая наша работа над данной темой планируется именно в направлении рассмотрения методики и линий изучения определенного интеграла в