Практическое применение свойств замечательных кривых
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
) радиус кривизны в произвольной точке астроиды определяется по формуле
(5)
) длина дуги астроиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле
(6)
длина одной ветви равна а длина всей кривой 6R;
) для получения натурального уравнения астроиды заметим предварительно, что если началом отсчета длины дуги полагать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = p, то длина дуги определится формулой
(6)
исключая параметр t из уравнений (5) и (6), получим натуральное уравнение астроиды
) эволюта астроиды есть также астроида, подобная данной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительно данной на угол p/4 (рис. 16)
) площадь, ограниченная всей астроидой, равна объем тела, полученного от вращения астроиды, равняется 32/105p R3
поверхность тела, образованного вращением астроиды, равна
Обратимся теперь к рассмотрению некоторых частных свойств астроиды.
Астроида является огибающей отрезка постоянной длины, концы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым.
Принимаем эти прямые за оси координат и, обозначая угол наклона скользящего отрезка ND=R через a (рис. 4), будем иметь уравнение прямой ND в виде
(7)
Дифференцируя это уравнение по параметру a, получим:
Исключая из последнего уравнения и уравнения (7) параметр a, будем иметь уравнение огибающей в виде т.е. астроиду.
Практически перемещение отрезка ND можно осуществить с помощью так называемых кардановых кругов. Один из этих кругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза меньшим, катится по внутренней стороне неподвижного круга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося круга будут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оу неподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будет астроида.
Рис. 17 Рис. 18
Рассмотренный способ образования астроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, две стороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформируется так, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибающая диагонали и будет астроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональ DN, служит нормалью к огибающей, то астроида представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоугольника на его диагональ.
При эти уравнения выражают рассмотренную ранее прямую астроиду.
. Некоторые трансцендентные линии
Трансцендентными называют линии, уравнения которых в прямоугольных декартовых координатах не являются алгебраическими. Простейшими примерами трансцендентных линий могут служить графика функций, y=, y= и других тригонометрических функций. Рассмотрим некоторые другие трансцендентные линии.
Спираль Архимеда
Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360:60 = 6). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 21).
Рис. 21.
Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:
r = (va)/6
Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.
Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.
Рис. 22 Рис. 23.
Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. На рис. 22 изображены первый виток и часть второго.
Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180, 135 или 90, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.
Разделим, например, угол АОВ на три равные части (рис. 23.). Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с пом?/p>