Практическое применение свойств замечательных кривых
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?о с касательной определятся по формулам
Рис. 4.
(4)
Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение
выражающее циссоиду.
Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу координат относительно касательной к параболе у2 = 2 рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами
Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее касательных.
Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рассматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возникает новый способ кинематического образования циссоиды как траектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.
Строфоида
Строфоида (от греч. strphos - кручёная лента и idos - вид)
Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r = - a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в. Рис. 6
Верзьера Аньези
Рис. 7
Верзьера (верзиера) Аньези (иногда ло?кон Анье?зи) - плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение , где OA - диаметр окружности, BC - полухорда этой окружности, перпендикулярная OA. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.
Уравнения
O = (0,0), A = (0, a)
В прямоугольной системе координат:
Вывод
Координаты точки M, лежащей на верзьере - это x = BM, y = OB. OA = a и по определению строим пропорцию
Отсюда
С другой стороны BC может быть найден из уравнения окружности:
Нам известен y = OB, значит выражаем :
Приравниваем оба выражения для BC:
Возводим в квадрат, переносим и выносим за скобки:
Выражаем y (y=0 не подходит по определению):
Параметрическое уравнение:
, где - угол между OA и OC.
Свойства:
1. Верзьера - кривая третьего порядка.
. Диаметр OA единственная ось симметрии кривой.
. Кривая имеет один максимум - A (0; a) и две точки перегиба -
.В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке A: .
. Площадь под графиком S = ?a2. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему .
. Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX) .
Аньзи Мария Гаэтана (Agnesi Maria Gaetana), род. 16.05.1718, Милан - ум. 09.01.1799, там же. Итальянский математик, профессор университета в Болонье (с 1750). Сочинение Аньези Основания анализа для употребления итальянского юношества (Instituzioni analitiche ad uso della giovent italiana, v. 1-2, Mil., 1748) содержит изложение аналитической геометрии, в частности там рассмотрена кривая третьего порядка, названная локоном Аньези (или верзиера), уравнение которой y=a3 / (x2 +a2).
Для того чтобы построить эту линию, надо нарисовать окружность радиусом a с центром в точке (0, a). Затем из начала координат проводят прямые и отмечают две точки. Точка А (x1, y1) - точка пересечения прямой и окружности, точка B (x2,2a) точка пересечения прямой и верхней горизонтальной касательной к окружности. Затем строится точка кривой (x2, y1).
Английский математик Джон Колсон взял на себя труд переводить Начала анализа с итальянского. Однако для него, европейца XVIII века, было нелегко воспринять, что автор книги - женщина, и что для нее, для автора, кривая может ассоциироваться с прической. В результате в англоязычной литературе кривая получила название - witch of Agnesi. - что-то из области полетов на лысую гору…
3. Замечательные линии четвертого и высших порядков
Линией (кривой) четвертого порядка называют линию, определяемую алгебраическим уравнением четвертой степени относительно декартовых прямоугольных координат. Аналогично определяются линии (кривые) пятого, шестого и других порядков.
Множество линий (кривых) четвертого порядка содержат уже не десятки, а тысячи линий частного вида. Еще более разнообразными являются множества линий пятого и шестого порядка. Здесь рассматриваются отдельные виды линий четвертого и высших порядков, имеющие интересные свойства и практические применения.
Лемниската Бернулли
Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F1 и F2 той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит ленточная). Если длина отрезка F1F2 есть с, то расстояния от середины О отрезка F1F2 до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно - с2/4. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного пр