Практическое применение свойств замечательных кривых
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
оизведения равнялась как раз с2/4; тогда
линия порядок трансцендентный спираль
Рис. 8
точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид лежащей восьмерки (рис. 8). Если продолжить отрезок F1F2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А1 и А2. Выразим расстояние между А1А2= х через известное расстояние с:
.
Вывод
Фокусы лемнискаты - F1 (? c; 0) и F2 (c; 0). Возьмём произвольную точку M (x; y). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть
, и по определению оно равно c2:
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:
Выносим общий множитель и переносим:
Далее можно сделать замену a2 = 2c2, хотя это не обязательно:
В данном случае a - радиус окружности, описывающей лемнискату. Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
Вывод:
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно y'. Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный - нижнюю.
Если величину неизменного произведения р взять не равной с2/4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с2/4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F1 и F2, соответственно (рис. 9).
Рис. 9
Т.о. задавая различные условия для р и с2/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 10).
Рис. 10
Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F1, F2,…, Fn и заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F1, F2,…, Fn друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.
Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие карандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала
Рис. 11
самое себя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 11). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов
F1, F2,…, Fn
и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний
МF1 МF2… МFn = p
что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нo очень сложно, при помощи высшей математики.
Улитка Паскаля
Геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM' = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 - 2Rx)2 - а2(х2 + y2) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Б. Паскаля (1588-1651), впервые изучавшего её.
Циклоидальные кривые
Представим, что некоторая кривая катится без скольжения по другой кривой; какая либо точка, неизменно связанная с первой кривой, будет описывать при этом новую кривую. Так можно представить себе эллипс, катящийся по другому эллипсу, и исследовать линию, по которой будет перемещаться его центр, или определить траекторию фокуса параболы, катящейся по прямой, и т.д.
Среди кривых, образуемых указанным способом, выделяются кривые, являющиеся траекториями точки, неизменно связанной скругом, который катится без скольжения по другому кругу. Получаемые при этом линии называются циклоидальными.
При образовании циклоидальных кривых вычерчивающая точка отстоит от центра производящего (подвижного) круга на определенном расстоянии. В частном случае она находится на окружности производящего круга. При этом условии получаемые кривые подразделяются на эпициклоиды и гипоциклоиды в зависимости от того, располагается ли производящий круг с наружной или с внутренней стороны неподвижного круга.
К алгебраическим кривым относятся такие известные кривые, как кардиоида, астроида, рассмотрим эти кривые.
Кардиоида
1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.
Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнени