Оценивание параметров распределения. Сравнения средних. Критерий Хи-квадрат
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Курсовая работа на тему:
Оценивание параметров распределения. Сравнения средних. Критерий Хи-квадрат
Введение
Курс Теория вероятности и математическая статистика имеет особое место среди предметов, изучаемых студентами специальности ПМ. Он является одним из базовых, поскольку решение многих прикладных задач в математике требует статистического подхода.
Данная работа направлена на изучение статистических методов обработки результатов эксперимента.
1. Основные понятия
Непрерывные случайные величины
Пусть - произвольное вероятностное пространство.
Случайной величиной считают измеримую функцию , отображающую пространство элементарных событий ? в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой прообраз любого борелевского множества есть множество из -алгебры .
Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более, чем счетное число значений.
Функцией распределения случайной величины является функция вещественной переменной, удовлетворяющая
(1.1)
Иными словами, значение функции распределения случайной величины - это вероятность того, что принимает значение меньшее, чем x.
Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная борелевская функция , такая, что для любого борелевского множества
, (1.1.1)
Причем выполнено условие нормировки
(1.1.2)
В этом случае
(1.4.3)
И почти всюду (по мере Лебега)
(1.1.4)
Функция называется плотностью вероятности случайной величины или просто плотностью.
График плотности называют кривой распределения.
Распределение абсолютно непрерывной случайной величины полностью определяется плотностью распределения. Очевидно, что функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин и их свойства.
Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с известной плотностью распределения считают число
, (1.1.5)
если интеграл абсолютно сходится.
Некоторые свойства математического ожидания:
- Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е.
(1.1.6)
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.
(1.1.7)
(предполагается, что математические ожидания справа существуют).
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.
(1.1.8)
(предполагается, что математические ожидания справа существуют).
Дисперсия случайной величины
Дисперсией D случайной величины является математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины
т.е. . (1.1.9)
Для непрерывной случайной величины дисперсию вычисляют по формуле:
(1.1.10)
Среднеквадратическое отклонение ? есть .
Некоторые свойства дисперсии:
- Дисперсия постоянной равна нулю, т.е.
(1.1.11)
- Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
(1.1.12)
(предполагается, что и существуют).
Вероятность того, что случайная величина принимает значение в заданном числовом промежутке, вычисляется по одной из формул:
(1.1.13)
непрерывный величина средняя распределение
или
(1.1.14)
Моменты
Начальный момент порядка - это математическое ожидание от случайной величины
(1.1.15)
Центральным моментом порядка называется математическое ожидание случайной величины
(1.1.16)
Центральный момент случайной величины есть начальный момент центрированной случайной величины
Асиметрией называют величину, вычисляемую по формуле
, (1.1.17)
где - центральный момент третьего порядка
(1.1.18)
Знак указывает на право- или левостороннюю асимметрию. Если 0, то распределение скошено влево. Если =0, то распределение симметрично относительно прямой .
Для характеристики сглаженности кривой плотности около ее центра используют четвертый центральный момент , вводя коэффициент эксцесса
(1.1.19)
Для нормального распределения , и следовательно, коэффициент эксцесса равен нулю. Если >0, то кривая плотности в окрестности центра имеет более высокую и более острую вершину, чем нормальная кривая. При <0 вершина кривой плотности более низкая и более плоская, чем нормальная кривая.
Моменты более высоких порядков в простейших приложениях теории вероятностей не используются.
Квантили, медиана, мода.
Величина , , определяемая из уравнения
, (1.1.20)
называется -квантилью (квантилью порядка) распределения случайной величины . Для абсолютно непрерывных случайных величин функция непрерывна и решение уравнения существует всегда.
Квантиль порядка 0.5 называется медианой. Медиана в общем случае определяется неоднозначно.
Модой абсолютно непрерывной случайной величины на?/p>