Оценивание параметров распределения. Сравнения средних. Критерий Хи-квадрат
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Кроме того предполагается, что ошибки измерений следуют нормальным законам с параметрами соответственно и . Ставится вопрос о том, можно ли считать, что истинные значения измеряемых величин и совпадают, несмотря на расхождение их эмпирических оценок и . Для решения этого вопроса пользуются правилами статистической проверки гипотез, описанными выше.
Сравнение средних при известной точности измерений
Известны значения средних квадратических отклонений и для обеих серий измерений. Здесь можно воспользоваться тем, что при нулевой гипотезе средние и имеют нормальное распределение с параметрами соответственно и . Так как эти средние независимы, то их разность тоже имеет нормальное распределение с параметрами и . Поэтому нормированная разность, т.е. величина
(1.3.6)
имеет простейшее нормальное распределение . Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Правило 1.
Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице Лапласа найти критическую точку по равенству .
Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если - нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2.
Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице Лапласа найти критическу точку по равенству .
Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если -нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3.
Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице Лапласа найти критическую точку по равенству .
Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если -нулевую гипотезу отвергают.
Сравнение средних при неизвестной точности измерений.
В общем случае имеется лишь два ряда результатов измерений и . По этим результатам находятся средние значения и , которые служат оценками для и . По ним же оценивается точность измерений, которая заранее неизвестна. Предполагается, что точность измерений в обеих сериях одинакова. Тогда для оценки дисперсии в обеих сериях измерений можно использовать эмпирические дисперсии.
, (1.3.7)
(1.3.8)
или, (1.3.9)
Как и для предыдущего случая при нулевой гипотезе о равенстве разность распределена нормально с параметрами 0 и . Но теперь для построения критической области нельзя воспользоваться интегралом вероятностей, так как неизвестно точное значение . Необходимо воспользоваться распределением Стьюдента. Нормированная разность имеет простейшее нормальное распределение, а независимая от нее величина
(1.3.10)
имеет -распределение с степенями свободы. Поэтому отношение
(1.3.11)
будет иметь распределение Стьдента с числом степеней свободы . Как и предыдущем случае строится симметричная критическая область так, чтобы вероятность попадания отношения (?) в эту область была равна .
Критические значения , для которых и, значит, , находятся с помощью таблиц по заданной надежности и числу степеней свободы . Если абсолютная величина отношения (?) превосходит критическое значение , то с надежностью вывода можно считать расхождение средних значимым (неслучайным).
Критерий ?2
Критерии, которые служат для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины, считают критериями согласия. Пусть основная гипотеза состоит в том, что функция распределения случайной величины есть вполне определенная функция .
Разобьем числовую ось на r промежутков (разрядов):
, (1.3.12)
где . При справедливой гипотезе i-му разряду соответствует вероятность
pi = F(ai) - F(ai-1), i=1,2,…, r (1.3.13)
Из n выборочных значений случайной величины в i-й разряд (ai-1, ai) попадает случайное число значений
(1.3.14)
Тогда отношение mi /n представляет собой частоту выборочных значений в i - й разряд. Близость частот mi /n к вероятностям pi свидетельствует в пользу основной гипотезы . Заметные различия отвергают гипотезу .Случайная величина
(1.3.15)
характеризует согласованность гипотезы с опытными данными. Критерий применяется в соответствии с общим правилом статистической проверки гипотез. При этом наблюдаемое значение критерия вычисляют по формуле (*-*), а критическое множество выбирают в виде полубесконечного интервала где величину находят с помощью таблиц. Входами таблицы служат: количество степеней свободы l=r-1 (r - количество неизвестных параметров теоретической функции распределения) и уровень значимости ??
Если выполняется соотношение >, то говорят, что гипотеза отвергается на уровне значимости a. В противном случае она не противоречит опытным данным.
Замечания
Замечание 1. Число выборочных значений , i=1., r в каждом разряде должно быть не менее 5-10. Если это условие не выполняется, рекомендуется объед