Оценивание параметров распределения. Сравнения средних. Критерий Хи-квадрат
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
>
(1.42)
будет иметь распределение Стьюдента с k=n+n-2 степенями свободы. Как и в п. 1.6.2 строим симметрическую критическую область так, чтобы вероятность попадания отношения 1.42 в эту область была равна 1-Р.
Критические значения , для которых и, значит, , находятся с помощью таблицы по заданной надежности Р и числу степеней свободы k=n+n-2. Если абсолютная отношения превосходит критическое значение , то с надежностью вывода Р можно считать расхождение средних значимым (неслучайным).
Практическая часть
Точечные и интервальные оценки
Наша выборка X={15.1105, 13.4361, 13.3126, 11.702, 8.10118, 13.1882, 11.3535, 13.4894, 13.2346, 11.8471, 15.8944, 11.8704, 14.1202, 12.2736, 13.6305, 16.6751, 12.8739, 13.4145, 12.8545, 14.2895, 15.7449, 11.4513, 13.9131, 13.7525, 17.8657, 12.4564, 14.3367, 11.6086, 16.6522, 11.7017, 12.8177, 13.5415, 12.6892, 10.0954, 8.67393, 10.9508, 7.25058, 14.5305, 11.8574, 12.6288, 10.522, 15.7281, 14.4069, 14.0923, 13.6519, 12.9329, 11.1661, 13.9729, 15.2256, 16.4336, 11.6738, 12.3098, 15.4431, 12.4387, 16.9786, 14.8162, 14.1465, 11.4639, 13.5517, 13.6961, 16.2227, 14.0447, 11.0347, 13.8711, 11.5386, 12.0848, 12.6642, 9.52355, 12.9093, 13.608, 11.5763, 16.767, 11.0056, 13.3937, 15.0797, 13.6933, 16.1657, 12.4156, 8.92121, 13.0559, 13.218, 9.12137, 13.0409, 12.3411, 13.8375, 14.2002, 15.5778, 16.0673, 14.734, 9.44301, 11.4128, 15.9887, 10.3523, 10.9879, 11.8377, 12.4681, 11.1203, 13.2968, 9.26849, 14.3356, 12.4038, 11.7793, 11.9005, 11.2376, 13.7543, 13.2509, 12.5349, 10.7658, 16.0395, 11.02, 9.3723, 11.4503, 13.7352, 13.5623, 11.9096, 10.2511, 12.1815, 12.1872, 13.6293, 14.8497, 13.558, 13.0332, 13.4698, 12.915, 14.3692, 12.6489, 12.6641, 14.8861, 14.9831, 12.9327, 12.0399, 14.0173, 10.1216, 10.3908, 10.9528, 15.7998, 11.8799, 12.1425, 14.7458, 12.9409, 12.9485, 11.3751, 11.2069, 12.6039, 14.4051, 14.7419, 12.472, 14.6028, 14.1276, 15.6626, 11.9713, 11.0306, 10.9289, 14.3648, 12.8964, 12.6677, 12.6787, 12.0857, 18.5735, 13.7794, 14.7302, 12.6859, 13.0289, 11.92, 14.8129, 11.6591, 12.016, 12.3111, 13.6481, 16.5496, 13.654, 14.851, 10.8445, 11.3532, 14.6646, 15.0441, 14.7581, 13.2142, 13.5274, 15.3121, 15.736, 16.1264, 13.6641, 14.2272, 11.0696, 9.37289, 11.3226, 12.0224, 12.9846, 12.1836, 11.585, 10.396, 10.2171, 9.70973, 11.6309, 10.1961, 13.4366, 16.8073, 10.8924, 10.6696, 13.4248, 15.3548, 11.6518, 9.01196, 13.8488, 13.9105, 14.9363, 10.8981, 16.7737, 10.3786, 11.1761, 13.3015, 12.652, 15.5676, 12.1643, 10.1794, 9.94395, 10.4524, 9.3532, 14.0838, 12.3047, 10.9587, 16.0633, 10.7984, 13.2476, 8.1035, 14.2903, 14.7179, 12.9343, 9.96246, 15.1142, 10.3205, 10.2485, 14.0969, 8.59498, 10.5089, 12.7159, 15.577, 9.41497, 14.2478, 13.5616, 12.2889, 12.0198, 13.0983, 15.6144, 14.3519, 10.5803, 11.9615, 15.2567, 10.4589, 11.052, 12.1397, 10.7556, 11.8277, 13.78, 10.8717, 13.296, 13.5247, 14.7389, 11.5188, 14.5981, 16.2615, 14.0538, 12.2079, 12.0479, 13.7225, 10.4334, 11.0768, 11.9277, 9.82713, 9.31008, 13.5464, 11.8189, 12.1112, 10.6735, 14.3165, 14.8302, 14.0871, 13.0703, 11.1847, 15.586, 16.1095, 9.54145, 13.2944, 12.9052, 11.187, 14.3097, 11.7921, 11.3915, 12.3628, 16.023, 14.3809, 13.28, 15.0442, 13.2592, 15.9537, 13.8795, 11.4151, 15.1926, 14.1151, 9.90679, 12.3633, 12.5135, 13.0972, 12.9826, 16.2152, 9.12162, 13.7289, 9.64117, 12.217, 11.8154, 13.6724, 15.2279, 11.1635, 11.0449, 16.4759, 13.8044, 14.1514, 11.6879, 13.2919, 14.3903, 13.6346, 11.1971, 10.975, 12.3589, 19.0986, 15.4591, 13.4982, 14.704, 15.5731, 12.5719, 17.1227, 13.6838, 13.4326, 10.6672, 12.3674, 14.2801, 12.4484, 12.7016, 12.1759, 13.7144, 12.0067, 10.5512, 12.0848, 10.8365, 15.2703, 18.5342, 10.6573, 14.8688, 13.989, 9.74058, 12.7361, 11.0589, 13.6839, 17.8403, 9.81788, 11.3732, 12.146, 11.5367, 15.7223, 8.44819, 14.0904, 13.5866, 15.8518, 10.5599, 17.0607, 10.5385, 12.2089, 13.5708, 13.3052, 13.9909, 15.1224, 11.9269, 14.0447, 10.545, 14.4608, 13.9337, 14.6322, 11.2523, 12.524, 13.5227, 12.7773, 9.97519, 11.9064, 13.8362, 14.1235, 12.1743, 13.2476, 13.123, 12.7086, 10.3882, 16.9732, 14.2406, 12.7842, 12.9675, 9.6559, 11.5248, 13.137, 13.7182, 16.5372, 14.0024, 11.6516, 14.9841, 10.8952, 12.0472, 14.3576, 16.438, 11.004, 12.6786, 13.084, 12.328, 13.1651, 14.8505, 9.95625, 12.1012, 16.7986, 11.9864, 16.1325, 12.3989, 11.4464, 12.116, 13.0887, 16.8171, 15.7835, 14.8423, 9.56763, 11.4018, 8.50631, 15.0497, 11.5999, 10.885, 18.2232, 16.172, 14.3922, 15.1867, 13.5686, 14.9484, 11.5597, 13.837, 14.4225, 13.8703, 12.548, 15.0079, 13.0294, 16.5992, 10.9599, 15.8985, 12.5592, 12.983, 12.1463, 15.0624, 12.5177, 15.111, 14.5668, 14.5896, 14.7038, 15.3287, 8.81298, 14.7946, 14.1529, 11.8515, 11.8022, 9.45978, 14.1744, 13.063, 14.382, 13.5806, 13.8687, 13.354, 11.7983, 15.8245, 12.1493, 12.2488, 13.6751, 12.8886, 13.5261, 15.8345, 12.1639, 13.5666, 11.3566, 10.5335, 14.5997, 9.15714, 14.1994, 13.3351, 16.4245, 9.46404, 15.3872, 11.7544, 12.5253, 13.0121, 13.554, 14.1712, 12.6049, 12.7286, 13.9574, 15.4003, 14.8738, 10.0325, 14.3044}
Соответствующие точечные несмещенные оценки считаем по формулам 1.19 и 1.22 из теоретической части
Дальше везде будем использовать уровень доверия ?=0.05.
Доверительные интервалы для математического ожидания
При известной дисперсии интервальные оценки считаются за формулой 1.25 из теоретической части:
где t квантиль простейшего нормального распределения и равна при нашем уровне доверия a 1.95996.
Итак, мы имеем
При неизвестной дисперсии
где s - несмещенная оценка дисперсии, а t - квантиль распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, где n объем выборки, и уровнем доверия a. t=1.96473.
Итак, мы имеем
Доверительные интервалы для дисперсии
Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины имеет вид
где - квантильи распределения Хи-квадрат с n-1 степенями свободы и уровнями доверия a/2, 1-a/2 соответственно. , . Имеем.
Сравнение средних
Наша вторая выборка X2={18.4841, 13.8801, 16.6171, 15.3487, 18.3253, 16.6705, 16.0122, 20.2528, 16.0871, 18.0075, 17.1654, 15.0251, 19.1677, 17.2417, 15.2727, 16.1137, 15.7447, 12.5086, 13.3346, 15.9126, 18.1961, 17.3272, 15.646, 18.8549, 14.1453, 18.9964, 15.0162, 15.2183, 19.276, 14.7063, 11.1617, 18.496, 14.6173, 18.8906, 19.4089, 17.1446, 16.0372, 18.558, 18.5992, 14.7145, 20.0074, 17.8624, 12.4767, 19.4354, 18.7668, 20.3248, 18.0764, 19.3568, 17.0854, 17.7232, 18.6477, 16.676, 19.6292, 16.6858, 12.0644, 17.6887, 14.6637, 17.285, 16.3673, 16.1255, 14.0755, 15.2539, 10.0661, 18.9728, 15.1412, 19.3182, 16.6347, 17.3759, 17.5463, 14.0545, 12.5761, 14.5461, 16.6579, 16.7936, 15.9432, 17.4637, 16.6092, 18.4843, 20.5341, 16.6908, 16.9978, 15.2233, 14.6123, 19.5779, 15.4697, 19.3708, 13.7997, 18.7059, 12.2848, 16.9678, 11.4802, 20.2336, 13.7249, 12.9676, 16.9598, 15.6598, 14.6629, 14.7023, 16.472, 13.4417, 15.8726, 13.9706, 16.0435, 12.617, 13.71, 19.8861, 14.1716, 16.2122, 16.9824, 14.8045, 14.2297, 18.9164, 17.3752, 13.6713, 14.7597, 16.4523, 19.495, 17.1064, 14.6517, 15.883, 15.7633, 19.6197, 18.3084, 17.6165, 17.2962, 15.4876, 13.324, 17.2412, 11.8758, 17.3929, 18.2485, 16.6315, 17.0724, 17.5126, 16.4013, 21.4996, 19.6541, 15.426, 15.2889, 15.3069, 17.235, 13.5464, 16.5392, 13.0821, 17.2075, 14.2847, 17.0106, 14.1693, 17.5812, 16.4071, 15.5361, 13.1514, 16.3374, 17.3291, 18.5168, 14.1872, 17.9999, 18.9041, 17.6814, 16.2183, 18.5062, 15.017, 17.7716, 18.53, 14.1201, 18.0728, 15.4289, 11.9553, 14.8208, 14.575, 14.6264, 13.636, 13.3054, 17.2674, 12.7864, 18.4781, 18.0806, 17.5774, 15.128, 14.2272, 15.6896, 17.7805, 19.9022, 12.5715, 15.0043, 15.0346, 17.5961, 18.4823, 19.802, 18.8305, 13.1681, 14.9899, 16.7808, 13.8836, 16.0992, 17.3327, 16.9615, 17.0025, 17.2848, 15.8942, 15.939, 14.6705, 16.7, 17.2799, 17.274, 13.3606, 16.4218, 14.2482, 18.3485, 13.1831, 17.9488, 16.1034, 14.0688, 16.8254, 16.3397, 19.2983, 17.5466, 15.5356, 14.8191, 17.5461, 13.0704, 14.5362, 15.2843, 19.9108, 19.1495, 17.125, 15.9142, 16.8174, 13.3418, 15.4905, 18.0502, 13.9924, 13.2198, 15.8423, 17.6874, 17.1372, 17.6443, 18.5108, 14.627, 16.7212, 18.8673, 16.5372, 17.1223, 14.2409, 15.3148, 16.019, 19.4363, 18.8106, 17.1839, 17.0994, 12.3592, 13.4588, 14.9765, 18.0426, 14.834, 14.9939, 14.4274, 15.9758, 16.3072, 16.9545, 15.864, 17.1065, 16.6335, 15.6076, 16.6447, 13.6761, 14.3689, 18.0512, 19.6789, 15.395, 17.5619, 11.6551, 15.4647, 12.6