Оценивание параметров распределения. Сравнения средних. Критерий Хи-квадрат
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
°ют g = 0.9, 0.95 или 0.99).
Величины и являются доверительными границами. Они представляют собой функции выборочных значений , , и, следовательно, являются случайными величинами.
Интервал со случайными границами , , которые при любом допустимом значении паpаметpа удовлетворяют соотношению(*), считают доверительным интервалом для неизвестного параметра .
Примеры доверительных интервалов
. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии s2 имеет вид
(1.2.12)
Здесь , величину определяют по заданной доверительной вероятности g? с помощью таблиц.
. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии s2 имеет вид
(1.2.13)
где оценку дисперсии s вычисляют по формуле
,(**)
а величину определяют по заданной доверительной вероятности и объему выборки n с помощью таблиц.
. Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины имеет вид:
,(1.2.14)
где - объем выборки, - оценка величины s2, определяемая формулой (**).
Значения зависят от объема выборки n и заданной доверительной вероятности g и определяются из таблиц. При определении входами этой таблицы служат число степеней свободы k=n-1, и a=(1+g)/2, при определении , соответственно, - k=n-1, и? a=(1-g)/2.
3. Статистическая проверка статистических гипотез
Статистические гипотезы
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.
Простой гипотезой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.
Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку проводят статистическими методами, ее называют статистической.
Случайная величина x, которая служит для статистической проверки гипотез, является критерием. Иногда термином критерий обозначают не только случайную величину x, но и все правило проверки гипотезы в целом. При этом x называют статистикой критерия.
Проверка гипотезы состоит в том, что если наблюдаемое значение критерия принадлежит некоторому определенному множеству S, т.е. наступает событие , то основная гипотеза отвергается.
Множество S, такое, что при наступлении события , основная гипотеза отвергается, называют критическим (для гипотезы ).
Событие , состоящее в том, что основная гипотеза отвергается, когда она является истинной, считают ошибкой первого рода. Событие , состоящее в том, что основная гипотеза не отвергается, когда верна одна из альтернативных гипотез, считают ошибкой второго рода.
Вероятности и ошибок первого и второго рода вычисляются в предположениях о справедливости различных гипотез - основной и альтернативной соответственно:
(1.3.1)
Вероятность ошибки второго рода, а также вероятность
(1.3.2)
противоположного события связаны с конкретной альтернативной гипотезой , то есть могут зависеть от некоторого параметра t.
Функция параметра t, равная вероятности отвергнуть гипотезу , если верна гипотеза , является функцией мощности критерия.
. Задаются малым числом a > 0, которое называется уровнем значимости критерия; обычно a=0.05, 0.01 или 0.001. Это число характеризует вероятность ошибки первого рода. Чем более опасными признаются ошибки первого рода, тем меньшее значение должно быть выбрано.
. Определяют критическое множество S из условия выполнения неравенства
(1.3.3)
. Так как условием (***) критическое множество определяется неоднозначно, то выбирают ту из возможностей, которая обеспечивает минимум вероятности ошибки второго рода, или, что то же самое, максимум мощности критерия.
. Производят опыт и получают наблюдаемое значение критерия. Если при этом наступает событие , то основная гипотеза отвергается. В противном случае считают, что не противоречит опытным данным. Результат проверки гипотезы выражают словами: гипотеза отвергается (не отвергается) на уровне значимости a.
Сравнение средних
В исследовательской работе большое значение имеет воспроизводимость результатов. Серии экспериментов неоднократно повторяют. Иногда оказывается, что средний результат в одной серии экспериментов заметно отличается от среднего результата в другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснить обнаруженное расхождение средних случайными ошибками эксперимента или оно вызвано какими-либо незамеченными или даже неизвестными закономерностями.
В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при разных технологических режимах.
В простейшем варианте задача ставится так. Произведено две серии независимых измерений, которые дали результаты соответственно и со средними значениями и , . Предполагается, что в каждой серии производится измерение вполне определенной величины, т. Е. что
(1.3.4)
(1.3.5).