Особливості вивчення теми "Дроби" в початковій школі
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
?ої одиниці [8; 239]. ...Історично дроби виникли у звязку з потребою вимірювати. Вимірювання різних величин за допомогою обраних мір (одиниць) показувало людям, що вираження його результату цілими числами найчастіше носить наближений характер. Для уточнення результатів вимірювання необхідно було вибирати інші, менші одиниці, які мали певне відношення до колишнього. Таким чином, практика привела людину до необхідності використання різних одиниць, а з відношень одиниць цих конкретних мір виникло абстрактне поняття дробу [8; 240].
Дробові числа широко застосовувалися древніми єгиптянами, вавилонянами, індусами, потім греками, а в середньовіччя - арабами. При цьому є підстави думати, що й у математиці як науці дроби спочатку розглядалися у звязку із задачами виміру величин. Так, стародавні греки раціональний дріб виду навіть не називали числом - це було для них відношення, розгляд якого поклало початок теорії звичайних дробів [8; 243]. Виклад звичайних дробів, даний Симоном Стевином наприкінці XVI в., супроводжувався виданням праці того ж автора про десяткові дроби [8; 245], які традиційно повязані з потребами саме вимірювання. Разом з тим уже з XIIст. у працях по арифметиці при описі ділення чисел з остачею дроби розглядаються як частини чисел (ця точка зору може бути вловлена ще в єгиптян) [8; 255].
Аж до ХVП-ХVПІст. у математиці вироблялися самі правила дій із дробовими числами. У підручники європейських шкіл викладання дробів стало проникати в XVIIIст. При цьому Хр. Вольф у своєму керівництві вперше висловлює вимогу про те, щоб закони арифметичних дій, раніше встановлені при обігу із цілими числами, обґрунтовувалися й для дробів. Але методи цього обґрунтування були розроблені тільки в XIX в. [8; 245-263].
Практика дій із самими дробами, вірніше з їх символами, наприклад з вираженням відношення , поступово приводила до того, що усередині математики форма цих нових чисел усе більше й більше відділялась від їхньої першооснови, від вимірювання. Останній, і самий істотний, крок, - пишуть
Р. Курант і Г. Роббінс, торкаючись цього питання, - був зроблений уже усвідомлено, після багатьох сторіч нагромадження окремих зусиль: символ був звільнений від його конкретного звязку із процесом вимірювання й самих вимірюваних величин і став розглядатися як абстрактне число, самостійна сутність, зрівняна у своїх правах з натуральним числом.
Такий свідомий перехід до розгляду дробів як самостійної сутності був зроблений при розвязуванні особливих пізнавальних задач, повязаних із внутрішнім розвитком самої математики як теоретичної дисципліни. Справа, в тому, що в межах тільки натуральних чисел не завжди здійсненні операції виділення й ділення. З розвитком математичного апарата виникає теоретична потреба в знятті цих обмежень. Введення дробових чисел усувало перешкоди, що заважають виконувати ділення (подібно тому як негативні числа усували перешкоди для виділення), але без порушення основних арифметичних законів (асоціативного, комутативного й дистрибутивного). Подібне розширення області чисел (тут - побудова системи раціональних чисел) є одним із проявів основного способу утворення нових понять у сучасній алгебрі [9; 8]. Це - одна з форм характерного в математиці процесу узагальнення.
Ця форма узагальнення й відповідний їй алгебраїчний спосіб утворення нових понять був розроблений в XIXст. (принцип сталості формальних законів). Потім в абстрактній формі цей спосіб розширення числової області застосовується в теорії пар, що використається, зокрема, і для введення дробових чисел. Якщо операція над двома числами неможлива в області наявних чисел, то вводиться новий символ у вигляді пари колишніх чисел (а,в, для якої встановлюються визначення рівності, більше, менше й т.д. Якщо арифметичні дії над новими символами підкоряються законам дій над колишніми, тонові символи визнаються числами [8; 264].
Теорія пар прийнята в сучасній математиці, дозволяє логічно бездоганно будувати числові системи без якого-небудь звертання до конкретної дійсності, у випадку раціональних чисел - без звертання до вимірювання. Вона стала потужним знаряддям теоретичного дослідження й, природно, уважається єдино й справді науковою.
Ця установка в теорії числових систем поступово стала проникати й поширюватися на викладання математики як у вищих, так й у середніх навчальних закладах. Цілком природне прагнення педагогів до відновлення курсу математики приводило до того, що зазначений підхід до введення чисел став сприйматися як єдино сучасний і строгий. Створилася ситуація, що ще в 30-і роки була в такий спосіб охарактеризована А. Н. Колмогоровим: ...Дуже поширена думка, що найбільш науковим підходом до введення раціональних чисел є підхід з боку довільного розширення області цілих чисел для досягнення необмеженої реалізації дії ділення... Часто учням повідомляють помилкові твердження, що справді наукова побудова раціональних чисел не повинна мати нічого загального з вимірюванням величин. Часто говорять, що правила дії над дробами є лише зручні угоди, що зберігають незмінними закони дій [9; 8-9].
Однак зазначена думка, розповсюджена серед методистів, послужила причиною того положення речей, коли вимірювання величин як джерело дробів стало ігноруватися. Це відношення до реального вимірювання було б, видимо, правомірним, якби традиційний зміст шкільної математики змінився б настільки, що злився б з поняттями ?/p>