Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | ... | 18 | i v z i q i i k 0i A V i i i A l fi............................................
v p z p p p q k 0p A V p pp A l fp r v q j r z jr k 0r A V r rr A A l fr l f[f ] Рис. 3.15. Структурная схема системы в базисе 3.10.4. Итоговый алгоритм 1) Расчет чисел m, i = 1,2,..., p :
i m-C A B 0;
i m = m (3.10-47) i max m-A B = 0.
Ci Эти числа можно также находить непосредственно из схемы в переменных состояния.
2) Вычисление матриц F,B :
* * m1 m1-C A C A 1 ; B = B.
F = - M M (3.10-48) * * mp mp - p p C A C A -3) Вычисление B. Если B - вырождена, то задача разделения * * каналов не имеет решения.
4) Вычисление матриц A, B :
V V -1 - A = A + BB ; B = BB. (3.10-49) * * * V {F V B v 5. Построение матрицы F :
e r r r r r m1-1 mA b M...Mb MMA - F = b M...Mb M...Mb M[f ]. (3.10-50) e 1 1 2 2 p ост V V V V V V V 6. Расчет коэффициентов характеристических уравнений каналов, то есть строк l. Для этого предварительно должны быть заданы наборы fi желаемых собственных чисел (,,..., ) по каждому из канаi 1 i 2 i mi лов, после чего в соответствии с равенством mi mi f mi -1 f mi -2 f ( - ) = - l - l -... - l (3.10-51) i i,mi i,mi -1 i =следует рассчитать f f l = [l... l ]. (3.10-52) fi i1 i,mi и сформировать матрицу l 0 L f 0 l L f L =..
f M M M M 0 0 L l fp 7. Расчет (построение в соответствии с выбранным базисом) матрицы A и вычисление ее собственных чисел.
8. Принятие решения о необходимости завязки каналов для коррекции собственных чисел полинома (). В случае необходимости - выбрать канал для коррекции и далее провести для него расчет по методике синтеза системы с одним входом. В конечном итоге должна быть получена L - полная матрица обратной связи промежуточной f системы в базисе [f ].
9. Расчет матрицы k по заданным коэффициентам W (0) :
i V f k = -W (0)l (3.10-53) i i iV и k 0 L V 0 k L V k =. (3.10-54) V M M M M 0 0 L k p V 10. Расчет матрицы обратной связи промежуточной системы в исходном базисе - L = L F. (3.10-55) f e V 11. Расчет результирующей матрицы обратной связи - L = B (F + L). (3.10-56) * * V 12. Расчет матрицы передаточных коэффициентов по вектору командных сигналов - k = B k. (3.10-57) * V Вектор управления формируется традиционным образом:
r r r u(t) = Lx(t) + kv(t). (3.10-58) При необходимости может быть синтезирован идентификатор (наблюдатель) неизмеряемых координат вектора состояния.
3.11.Основы построения идентификаторов состояния (наблюдателей) 3.11.1. Наблюдатель Люенбергера полного порядка 3.11.1.1. Синтез архитектуры наблюдателя Рассмотрим линейную стационарную систему, которая описывается векторно-матричными дифференциальными уравнениями:
r r r & x(t) = Ax(t) + Bu(t);
(3.11-1) r r y(t) = Cx(t).
Для такой системы существуют алгоритмы модального синтеза, которые позволяют найти управление:
r r r u(t) = Lx(t) + kv(t), (3.11-2) обеспечивающее заданные динамику и статику системы. Проблема заключается в необходимости использования вектора обратной связи для формирования такого управления. Фактически в распоряжении разраr ботчика системы управления лишь вектор выхода y(t). Возникает воr r прос: как, наблюдая за вектором y(t), восстановить вектор x(t), или ) r r найти его оценку x(t) При этом ошибка оценки вектора x(t) ) r r r e(t) = x(t) - x(t) (3.11-3) должна быть относительно малой, и тем более, с течением времени не должна расти.
Будем полагать, что разработчику ) ) )достаточно хорошо известны параметры объекта, то есть оценки A, B, C, матриц A, B, C. Более того, положим ) ) ) A = A, B = B, C = C. (3.11-4) В этом случае, если построить аналоговую или цифровую модель объекта в соответствии с уравнениями ) ) r r r & x = Ax(t) + Bu(t);
(3.11-5) ) ) r r y(t) = Cx(t), как показано на рис. 3.16, то можно было бы ожидать выполнения равенств ) ) r r r r x = x и y = y. (3.11-6) r r u x r Объект Рис.y ) r x В Модель объекта А Рис. 3.16. Неудачный вариант построителя оценки вектора состояния Однако, априорное знание объекта (в том числе, матриц A, B и C ) является приближённым, параметры его могут дрейфовать во времени, начальные условия для вектора состояния, которые следовало бы подставить в модель, неизвестны. Поэтому в действительности в такой схеме ошибка оценки вектора состояния может иметь склонность к неограниченному росту с течением времени.
Американским учёным Д.Г.Люенбергером впервые были изучены структуры работоспособных асимптотических идентификаторов (наблюдателей, восстановителей) вектора состояния, названных позднее его именем. Основополагающая идея состоит в том, чтобы в рассмотренную структурную схему ввести дополнительную обратную связь по ошибке r оценки вектора y, заведомо обеспечивающую асимптотическое затухание ошибки оценки вектора состояния. Внешне структурная схема наблюдателя Люенбергера полного порядка, которая приведена на рис.
3.17, совпадает с одной из форм известного фильтра Калмана. Различие в том, что матрица K, которая в фильтре Калмана называется его именем (матрицей Калмана), в наблюдателе Люенбергера рассчитывается из других соображений.
r r r r & u x x y C В A объект r e y K ) r ) r & x x B C ) r y Модель A объекта Наблюдатель Рис. 3.17. Наблюдатель Люенбергера полного порядка В соответствии с рис.3.17 уравнение наблюдателя будет иметь вид:
) ) ) r r r r r & x(t) = Ax(t) + Bu(t) + K(y(t) - y(t)). (3.11-7) Получим уравнение для ошибки оценки вектора состояния. Для этого в равенство (3.11-3) подставим выражения для вектора состояния и его оценки из (3.11-1) и (3.11-7):
) ) r r r r r r r & e(t) = Ax(t) + Bu(t) - Ax(t) - Bu(t) - K(Cx(t) - Cx(t)), откуда r r & e(t) = L e(t), (3.11-8) где L = (A - KC) (3.11-9) называют матрицей динамики наблюдателя. Выражение (3.11-8) является однородным дифференциальным уравнением. Решение его имеет вид:
r r e(t) = exp(L t) e(0). (3.11-10) Поведение ошибки во времени зависит от собственных чисел матрицы наблюдателя L. Выбрав их соответствующим образом, можно достаточно быстро свести ошибку к нулю, и получать от наблюдателя точную оценку вектора состояния. Далее будет показано, что если пара {A,C} наблюдаема, то соответствующим выбором матрицы K можно обеспечить любое желаемое расположение собственных чисел наблюдателя, т.е. матрицы L. Практически, собственные значения наблюдателя вы) r бираются так, чтобы состояние наблюдателя x сходилось к состоянию наблюдаемой системы несколько быстрее затухания переходных процессов в желаемой замкнутой системе. Чрезмерное ускорение наблюдателя приводит к затруднениям при его реализации.
3.11.1.2. Алгоритм определения матрицы К для систем со скалярным входом.
Если пара {A,C} наблюдаема, то в пространстве вектора состояния существует базис [i], в котором эта пара имеет идентификационное каноническое представление (ИКП) {A, C }.
I I Обозначим некоторый исходный базис как [h]. В этом базисе дифференциальное уравнение для ошибки оценки вектора состояния имеет вид r r & e (t) = L e (t). (3.11-11) h h h Перейдём к базису ИКП. Используем уже известное соотношение, связывающее координатные столбцы одного и того же вектора в разных базисах r r e = I e. (3.11-12) h h I Используя эту подстановку, запишем r r & I e (t) = L I e (t).
h I h h I -Умножив обе части последнего равенства на I, получим h r r & e (t) = L e, I I I где - L = I L I. (3.11-13) I h h h Кроме того, L = A - K C, (3.11-14) I I I I где -A = I A I ;
I h h h (3.11-15) -C = C I ; K = I K.
I h h I h h Матрица динамики наблюдателя в базисе ИКП в соответствии с уравнением (3.11-4) имеет вид:
.
0 0 0 K 0 0 - 0 0 K 0 K n I 1 0 0 K 0 0 - 0 0 K 0 K n-1 I 0 1 0 K 0 0 - 0 0 K 0 K n-2 I L = - = I K K K K K K K K K K K K 0 0 0 K 1 0 - 0 0 K 0 K 2 In - 0 0 0 K 0 1 - 0 0 K 0 K 1 In 0 0 0 K 0 0 - n 1 0 0 K 0 0 - n- = K K K K K K K, 0 0 0 K 1 0 - 0 0 0 K 0 1 - где - коэффициенты характеристического полинома наблюдателя, j которые вычисляются на основании желаемых собственных чисел наN блюдателя согласно выражению i n N n n- () = ( - ) = + +... +. (3.11-16) L i 1 n i =Очевидно выражение для элементов матрицы K в базисе ИКП:
k = -, j = 1, 2,..., n. (3.11-17) I j n+1- j n+1- j Перевод матрицы K в исходный или какой-либо другой базис может быть произведён в соответствии с выражением (3.11-15).
ПРИМЕР 3.11-1. Построить наблюдатель полного порядка для объекта со структурной схемой, приведённой на рис. 3.18.
u x2 x1 y Рис. 3.18. Объект для примера 3.11-Запишем матрицы объекта в исходном базисе:
r r - 2 1 A = A =, b = b =, C = C = [1 0].
H H H 0 - Характеристический полином объекта (матрицы динамики A ) () = ( - )( - ) = + 3 + 2, A 1 его коэффициенты = 3; = 2, 1 нули (собственные числа) = -1; = -2.
1 Время переходного процесса в объекте определяется наиболее близким к мнимой оси собственным числом :
t = 3c.
рег - 1 Зададим собственные числа наблюдателя N N = = -3.
1 Им соответствует характеристический полином наблюдателя:
2 () = ( + 3) = + 6 + 9, L его коэффициенты = 6; = 9.
1 В соответствии с (3.11-17) определяем элементы матрицы K и саму эту матрицу в базисе ИКП:
k = - = 7;
i 1 2 K = I 3.
k = - = 3;
i 2 1 Для того, чтобы перевести матрицу K в исходный базис, рассчитаем матрицу наблюдаемости и обратную ей в исходном базисе 1 0 1 - N = ; N = H H 2 1 ;
- 2 учитывая представление в базисе ИКП - C = [0 1]; A = I I 1 - 3, рассчитаем в этом базисе матрицу наблюдаемости 0 N = I 1 - 3.
В соответствии с (3.11-13) вычислим матрицу перехода от исходного базиса [h] к базису ИКП [i]:
0 - I = N N =.
H H I 1 - Используя (3.11-15), получим матрицу K в исходном базисе K = I K =.
H H I Теперь можно заняться уравнением наблюдателя в исходном базисе. В соответствии с (3.11-9) имеем - 5 L = A - K C =.
H H H H - 4 - Учитывая (3.11-17), запишем, опуская далее индекс исходного базиса ) ) r r & x = L x + Bu + Ky. (3.11-18) Тогда уравнение наблюдателя будет иметь вид:
& x1 = -5x1 + x2 +3y & x2 = -4x1 - x2 + 4y +u.
3.11.2. Наблюдатель пониженного порядка Из предыдущего примера четко видно, что искать x было излишне r так, как y = x. В тех случаях, когда некоторые координаты вектора y r совпадают с какими-либо из координат вектора x, то очевидно, что рассматриваемый выше наблюдатель - наблюдатель полного порядка - выдает излишнюю информацию. Рассмотрим, каким образом можно получить наблюдатель с более простыми алгоритмами, полностью испольr зующими информацию о векторе состояния x, имеющуюся в векторе r r выхода y. В более общем случае, когда вектор y имеет размерность n, оказывается достаточным построить наблюдатель, порядок которого y равен n - n.
y r r Пусть вектор y имеет размерность n и связан с вектором x раy венством:
r r y = Cx, (3.11-19) или y = c x + c x +... + c x 1 11 1 12 2 1n n y = c x + c x +... + c x.
2 21 1 22 2 2n n (3.11-20) y = c x + c x +... + c x ny ny,1 1 ny,2 2 ny,n n Если x,x,..., x рассматривать как неизвестные, то здесь мы 1 2 n имеем n неизвестных и n < n уравнений. Таким образом, недостаёт y (n - n ) уравнений. Полагаем, что rankC = n, т. е. все строки матрицы y y r C линейно независимы. Введем (n - n )- мерный вектор q, дополнив y матрицу C до квадратной невырожденной матрицы C с помощью матp рицы C :
q C C =. (3.11-21) р C q Запишем:
r C y r = (3.11-22) r C x, q q откуда следует r y r - x = C. (3.11-23) r p q Обозначим - C = [F F ], (3.11-24) p y q [n( n-ny )] [ nny ] тогда r r r x = F y + F q. (3.11-25) y q r r Если удастся найти оценку q вектора q, то можно будет вычислить оценку вектора состояния r r r x = F y + F q. (3.11-26) y q r r Так как q = C x, то q r r r & q = C Ax + C Bu. (3.11-27) q q r Подставим сюда x из (3.11-26):
r r r r & q = C AF y + C AF q + C Bu. (3.11-28) q y q q q r Построим наблюдатель для вектора q. В последнем уравнении r r векторы u и y выступают в качестве входов. Если попытаться коррек) r r цию наблюдателя ввести традиционным образом: K(y - y), то получим:
r r r r = Cx = CF y + CF q. (3.11-29) y q Но из (3.11-21) и (3.11-24) имеем C CF CF y q - = E, С C = [F F ]= p p C y q C F C F n q q y q q r r откуда должно следовать: CF = E ; CF = 0, то есть, = y и инфорy ny q r мации о q здесь нет. Поэтому примем:
) ) ) ) r r r r r r & & & q = C AF q + C Bu + C AF y + K(y - y). (3.11-30) q q q q y Проведем необходимые преобразования. Так как r r r & & y = Cx = СAx + СBu, то с учетом (3.11-26) получим:
r r r r & = CAF y + CAF q + CBu. (3.11-31) y q Проследим за поведением ошибки оценки r r r q(t) = q(t) - q(t).
r r & & Используя полученные выше выражения для q и q - (3.11-28) и (3.1130), получим:
) r r r r & & & q = C AF q - K(y - y).
q q r r & & Вычислим разность y - :
r r r r r r r & & y = Cx = CAx + CBu = CAF y + CAF q + CBu y q _ ) ) ) ) ) r r r r r r r & & y = Cx = CAx + CBu = CAF y + CAF q + CBu y q r r r r r & & y - = CAF (y - ) + CAF q.
y q r r Так как выше было показано, что = y, то окончательно получим:
r r q & q(t) = L q, (3.11-32) где матрица наблюдателя q L = C AF - KCAF. (3.11-33) q q q Очевидно, что можно заказать динамику обнуления ошибки, выбирая К (C AF и CAF - заданные матрицы). Матрицу К следует выq q q бирать таким образом, чтобы обеспечить заданное расположение собственных чисел наблюдателя. Если, например, n = 1, то C AF имеет y q q размер [(n - n ) (n - n )], а CAF - [1 (n - n )] и К - [(n - n )1]. В y y q y y этом случае задача решается аналогично расчету наблюдателя полного порядка со скалярным выходом.
Таким образом, рассчитав собственные значения матрицы C AF, q q задавшись желаемыми собственными значениями наблюдателя пониженного порядка и получив соответствующие значения коэффициентов его характеристического полинома, легко записать выражение для матрицы K в базисе идентификационного канонического представления.
После этого потребуется перевести матрицу К в исходный базис. Если известна пара матриц {C AF,CAF }, то через матрицы наблюдаемости q q q в исходном базисе и в базисе идентификационного канонического представления N и N, причем N должна быть построена с использованиh I h ем пары матриц {C AF,CAF }, можно найти матрицу перехода от базиq q q са [i] к исходному базису [h].
Теперь следует позаботиться о реализуемости алгоритма наблюдателя. Из уравнения (3.11-30) с учетом (3.11-25) получим:
Pages: | 1 | ... | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | ... | 18 | Книги по разным темам