Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 15 | 16 | 17 | 18 | Найдём матрицу управляемости:
0 0 1 0 1 0 2 U =[B AB A B A B]=.
1 -1 1 -0 1 -3 Её определитель detU = -6, то есть отличен от нуля. Это означает, что объект управляем. Рассчитаем закон управления (матрицу обратной связи), обеспечивающий следующие желаемые собственные числа замкнутой системы:
з = з = з = з = -1, 1 2 3 которым соответствует характеристический полином 4 3 A () = + 4 + 6 + 4 +1.
c Таким образом, имея коэффициенты характеристических полиномов объекта и желаемой замкнутой системы r - ; r = =, - 2 можно в соответствии с (3.9-18) рассчитать матрицу обратной связи в базисе УКП:
LU =[-1 - 6 -7 -2].
Чтобы найти эту матрицу в исходном базисе, нужно знать матрицу U H перехода от исходного базиса к базису УКП. Так как столбцы этой матрицы являются координатными столбцами векторов базиса [u] (УКП) r r r u, u,..., un в исходном базисе [h], то, используя (3.8-6), можно запи1 сать:
0 0 r r r r r ; uh = AHuh + bh = uh = bh = ;
4 3 4 1 0 1 r r r r 2 r r ; uh = AHuh + bh =.
uh = AHuh + bh = 2 3 2 1 2 - 2 - Таким образом, получаем:
1 1 - 2 1 0 2 6 0 2 1 1 0 1 -3 3.
U = и U = H H 1 0 - 2 1 0 3 0 -1 1 1 0 1 3 В соответствии с (3.9-12) -1 29 L LH = LUU =[- - - 2 - ].
H 2 6 В соответствии с (3.6-8) 2 1 0 CU =CU = H 0 -1 1 0.
Используя (3.8-22) запишем передаточные функции:
1 ; Wu y2 (p) = ;
Wu y1(p) = p(p +1)(p -1) (p +1)(p + 2) p + 2 p(p -1) v Wv y1(p) = kv ; Wv y2 (p) = k.
4 (p +1) (p +1) В замкнутой системе будет обеспечена единичная статика по координате y, если задать kv =.
~ Теперь перейдём к синтезу наблюдателя. Построим матрицу N :
1 0 0 0 0 0 C ~ N = =.
CA 0 1 0 0 0 1 - Ранг этой матрицы равен четырём, то есть, порядку объекта. Так как старшая степень блока CA, входящего в неё, равна единице, то индекс наблюдаемости = 2 и порядок наблюдателя в соответствии с (3.11-54) s =1. Это означает, что в данном случае может быть построен наблюдатель первого порядка. Зададим единственное собственное число наблюдателя N = -4. Отсюда сразу определяется матрица наблюдателя q L = -4.
Раскроем матричное уравнение Люенбергера (3.11-48), имея ввиду, что в данном случае матрица Cq имеет размер [41]. Для этого запишем подробно каждое слагаемое:
0 1 0 0 1 1 Cq A =[cq cq cq cq ] = 1 2 3 0 0 -1 0 0 1 - =[0 cq + cq cq - cq + cq - 2cq ];
1 2 2 3 4 q L Cq =[- 4cq - 4cq - 4cq - 4cq ];
1 2 3 GyC =[gy gy ]1 0 0 0 =[gy 0 0 gy ].
1 2 1 0 0 0 С учётом этих выражений матричное уравнение Люенбергера можно представить в виде системы скалярных уравнений:
4cq = gy ;
1 cq + 5cq = 0;
1 cq + 3cq + cq = 0;
2 3 2cq = gy.
4 Аналогично поступим со вторым матричным уравнением системы (3.1153), учитывая вытекающие из этого уравнения размерности матриц и :
Cq =[cq cq cq cq ];
1 2 3 1 0 0 C =[ ] [ ] 1 2 1 0 0 0 1 = 0 и cq + = l ;
1 1 cq = l ;
2 cq = l ;
3 cq + = l.
4 2 Таким образом, получено восемь уравнений при наличии девяти неизвестных cq, cq, cq, cq, gy, gy,,,. Примем =1. После этого 1 2 3 4 1 2 1 легко находятся остальные неизвестные:
145 29 2 Cq = - ;
6 6 290 = -11; Gy = -.
3 3 В соответствии с (3.11-44) вычисляем Gu =CqB = -2.
В результате можем записать уравнения регулятора совместно наблюдателем Люенбергера минимального (первого) порядка:
) ) r r & 290 q(t) = -4q(t) - 2u(t) + y (t) + y (t );
1 3 ) r 1 u(t) = v(t) + q(t) - y (t) -11y (t).
1 2 Этим уравнениям соответствует структурная схема системы управления, приведённая на рис. 3.22.
yv u ОБЪЕКТ yРис. 3.22. Структурная схема системы управления.
3.12.4.4. Многомерная система с разделением каналов и наблюдателем минимального порядка Задан объект, представленный структурной схемой на рис. 3.23.
yu x1 xu x2 xyРис. 3.23. Структурная схема объекта Объекту соответствуют матрицы 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ; B = ; C = 0 0 1 0.
A = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 Расчёт матриц управляемости и наблюдаемости определяет объект как полностью управляемый и наблюдаемый.
I. Синтез управления в соответствии с п.3.10.
1. Расчёт чисел mi :
0 C A B = [0 0]; C A B = [1 1];
1 0 C A B = [0 0]; C A B = [0 1].
2 Отсюда следует m = m = 2.
1 2. Вычисление матриц F, B.
При m = m = 1 0 0 0 1 1.
F = -CA = ; B =CAB = 0 -1 -1 0 -3. Расчёт B.
1 -1.
- B = 0 Поскольку эта матрица существует, задача разделения каналов имеет решение.
4. Вычисление матриц A, B.
1 1 0 1 -0 - ; A = A + B F = -1 -1 0 B = BB =.
0 0 1 1 0 0 0 1 1 В соответствии с (3.10-13) этим матрицам отвечают уравнения & x = x + x + q -q ;
1 1 2 1 & x = -x - x +q ;
2 1 2 & x = x + x ;
3 1 & x = x + x.
4 2 Соответственно этим уравнениям (2) x = q ;
3 (2) x = q, 4 то есть действительно, исходная система разбита на две независимые подсистемы, состоящие из последовательно включённых интеграторов.
5. Построение матрицы Fe.
В данном случае 1 1 0 - r r r r -1 0 0 Fe =[Ab b Ab b ]=.
1 1 2 1 0 0 0 0 1 Новому базису соответствуют матрицы 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ; Bf = ; Cf = 1 0 0 0.
Af = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 6. Расчёт матрицы обратной связи промежуточной системы в базисе [f ].
Зададим желаемые собственные числа для первого канала = -1 j11,и для второго канала = -5 j5.
21,Им соответствуют характеристические полиномы () = + 2 + 2;
() = +10 + 50.
Получаем строки матрицы Lf :
lf =[- 2 -2]; lf =[-50 -10] 1 и саму матрицу - 2 - 2 0 Lf =.
0 0 - 50 - Пункты 7 и 8 итогового алгоритма расчёта управления для данного случая не нужны, так как в рассматриваемом примере сумма порядков подсистем m + m равна порядку объекта, и матрица A отсутствует.
1 2 9. Расчёт матрицы при командном сигнале.
Потребуем выполнения равенства Wv (0) =Wv y (0) =1.
1y1 2 Тогда v kv = 2; k = 1 и 2 kv = 0 50.
10. Расчёт матрицы обратной связи промежуточной системы в исходном базисе.
0 0 1 1 1 0 - 2 - 2 0 L = LfFe -1 = = 0 0 -50 -10 0 0 0 0 1 1 - 2 - 2 - 2 0.
= 0 -10 -10 - 11. Расчёт результирующей матрицы обратной связи.
-1 9 8 - L = B (F + L) =.
-1 -11 -10 - 12. Расчёт матрицы передаточных коэффициентов по вектору командных сигналов 2 - 50.
-1 v kv = B k = 0 Таким образом, получено управление, использующее координаты вектора состояния объекта:
u = -x + 9x + 8x + 50x + 2v - 50v ;
1 1 2 3 4 1 u = -x -11x -10x - 50x + 50v.
2 1 2 3 4 II. Синтез наблюдателя в соответствии с п.3.11.3.
1. Расчёт индекса наблюдаемости.
~ Строим матрицу N :
0 0 1 0 0 0 C ~ N = =.
2-CA 1 1 0 0 1 1 Эта матрица имеет 4 линейно независимые строки, её детерминант от~ личен от нуля, значит rank(N) = 4 = n. Следовательно, индекс наблюдаемости объекта = 2 и размерность наблюдателя s = 2.
2. Задание динамики наблюдателя.
Зададим собственные числа N = -10. Соответственно матрица ди1,намики наблюдателя -10 q L =.
0 - 3. Решение системы матричных уравнений (3,11-53).
Матрица Cq имеет размерность [2 4], матрицы Gy,, - [2 2].
Следовательно, система скалярных уравнений, соответствующая системе матричных уравнений (3,11-53), содержит 16 уравнений и неизвестных. Таким образом, мы имеем право произвольно задать лишних неизвестных. Зададим матрицу единичной, то есть 1 0.
= 0 С учётом этого из первого матричного уравнения (3.11-53) получим следующую систему уравнений:
1) cq +10cq = 0; 5) cq +10cq = 0;
13 11 23 2)cq + cq +10cq = 0; 6) cq +cq +10cq = 0;
13 14 12 23 24 3)cq +10cq = g ; 7) cq +10cq = g ;
14 13 11 24 23 4)10cq = g ; 8)10cq = g.
14 12 24 Второе матричное уравнение (3.11-53) преобразуется в систему скалярных уравнений 9) cq = -1; 13) cq = -1;
11 10) cq = 9; 14) cq = -11;
12 11) cq + = 8; 15) cq + = -10;
13 11 23 12) cq + = 50; 16) cq + = -50.
14 12 24 Совместное решение последних шестнадцати скалярных уравнений позволяет найти все элементы искомых матриц:
0 -1000 - 2 -1 9 10 -100 Gy =.
Cq = 200 +1000; = -1 -11 10 100 ; - 20 - Используя (3.11-44), вычислим матрицу -1 Gu =CqB =.
-1 - 4. В соответствии с полученными результатами записать уравнения регулятора, включая наблюдатель:
) ) & q (t) = -10q (t)-1000y (t)-u (t)+ 9u (t);
1 1 2 1 ) ) & q (t) = -10q (t)+ 200y (t)+1000y (t)-u (t)-11u (t);
2 2 1 2 1 ) u (t) = q (t)- 2y (t)+150y (t)+ 2v (t)-50v (t);
1 1 1 2 1 ) u (t) = q (t)- 20y (t)-150y (t)+ 50v (t).
2 2 1 2 Результирующая структурная схема замкнутой системы представлена на рис. 3.24.
- ---u1 yvОБЪЕКТ yuv --- Рис. 3.24. Структурная схема замкнутой системы На рис. 3.25 показана итоговая структурная схема системы управления с использованием передаточных функций. Как и отмечалось выше, передаточные функции, связывающие соответствующие координаты вектора входа и вектора выхода системы не зависят от наличия наблюдателя. Из рисунка хорошо видно, что результирующая система имеет полностью развязанные каналы, по каждому из каналов обеспечены единичная статика и заданные при синтезе собственные числа ( полюсы передаточных функций).
v y 1 p + 2p + v y 2 p +10p + Рис. 3.25. Итоговая структурная схема системы управления СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. ЦМ.: Наука, 1976. Ц424 с.
2.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. ЦМ.: Наука, 1982. Ц304 с., ил.
3. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость М.:Наука, 1979.-335с.,ил.
4.Деруссо П., Рой Р., Клоуз С. Пространство состояний в теории управления. ЦМ.: Наука, 1970. Ц620 с., ил.
5.Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: учебник для вузов. -СПб.: Политехника, 1998. -295 с.: ил.
6.Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. ЦМ.: Мир, 1977. Ц650 с., ил.
7.Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики, М.-Л.. Госэнергоиздат, 1962, 600 с. с черт.
8.Острём К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ: Пер с англ. ЦМ.: Мир, 1987. Ц480 с., ил.
9.Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. ЦМ.: Наука, 1978. Ц256 с., ил.
10.Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. ЦМ.: Наука, 1979. Ц256 с., ил.
11.Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления: Под ред. В.А.Бесекерского. 5-е изд., перераб. И доп.-М.:
Наука, 1978 с.-510с.,ил.
12.Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ/В.В.Григорьев, В.Н.Дроздов, В.В.Лаврентьев, А.В.УшаковЦЛ.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983. Ц245 с..
13.Современная теория управления. / Под ред. Леондеса К.Т. ЦМ.:
Наука, 1970. Ц512 с., ил.
14.Теория автоматического управления. Часть I/ Под ред. Нетушила А.В. ЦМ.: Высшая школа, 1968. Ц424 с., ил.
15.Теория автоматического управления. Часть II/ Под ред. Нетушила А.В. ЦМ.: Высшая школа, 1972. Ц432 с., ил.
16.Теория автоматического управления. Часть I/ Под ред. Воронова А.А. ЦМ.: Высшая школа, 1977. Ц303 с., ил.
17.Теория автоматического управления. Часть II/ Под ред. Воронова А.А. ЦМ.: Высшая школа, 1977. Ц288 с., ил.
18.Ту, Юлиус Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. Пер. С англ. М., Машиностроение, 1964. 18. Топчеев Б.И., 19.Ту Ю.Т. Современная теория управления.. ЦМ.: Машиностроение, 1965. Ц704 с.
20.Циплаков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования. М.: Машиностроение,1977 С.-592 с., ил.
21.Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. ЦМ.: Наука, 1977. Ц560 с., ил.
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.......................2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ.............................................2.1. ПОНЯТИЕ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ....................................................................2.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ..................................................................2.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, ЗАДАННЫЕ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОШИ.......................................................................2.3.1. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.................................................2.3.2. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.........................................................................................................................2.4. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ.............................................................2.4.1. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ, ПРИСОЕДИНЕННАЯ МАТРИЦА..................................................................................................................2.4.2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ТРАНСПОНИРОВАННОЙ МАТРИЦЫ.................................................................................................................2.4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦЫ ЧЕРЕЗ ЕЁ ЛЕВЫЕ И ПРАВЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ..................................................................................................................2.5. СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ..............................................................2.5.1. МАТРИЧНАЯ ВЕСОВАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ...................................................2.5.2. МОДАЛЬНАЯ (СПЕКТРАЛЬНАЯ) ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЯ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ...................................2.6. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА..................................................................2.6.1. МАТРИЦА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ....................................................................2.6.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ.................................................2.7. КОМПЛЕКСНЫЙ ПЕРЕДАТОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ......................................................2.7.1. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНЫЙ ПЕРЕДАТОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ........................................................................................................2.7.2. РЕАКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ НА ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ.................2.7.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.............................................................................2.8. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ........................2.8.1.
Pages: | 1 | ... | 15 | 16 | 17 | 18 |
Книги по разным темам