Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ... | 18 | Cf CeFe Cf Af Ce AeFe Nf = = = NeFe. (3.7-10) C Afn-1 C Ae Fe n- f e Так как система наблюдаема, то rank(Ne ) = rank(Nf ) = n и матрица наблюдаемости имеет n линейно независимых столбцов r r r N = [z1 z2 zn ], а квадратная матрица rT z r zT r r r NT N = [z1 z2 zn ] rT z n T не вырождена. Умножим обе части равенства (3.7-10) слева на Ne :
T T Ne Nf = Ne NeFe, (3.7-11) откуда получим T T Fe = (Ne Ne )-1Ne Nf. (3.7-12) Если система имеет скалярный выход, то - Fe = Ne Nf. (3.7-13) 3.8. Канонические представления систем 3.8.1. Управляемое каноническое представление системы со скалярным входом Пусть в некотором исходном базисе [h] пространства состояний X записаны уравнения движения объекта со скалярным управлением:
r r r & xh(t) = Ahxh(t) + bhu(t); (3.8-1) r r y(t) = Chxh(t ). (3.8-2) Более общая запись связывает не координатные столбцы, а сами r векторы в x X с помощью соответствующего оператора A :
r r r & x(t) = A x(t) + b u(t). (3.8-3) r Если система {A, b} управляема, то n векторов r r r n-b, Ab,..., A b образуют базис в пространстве X в силу того, что rank U = n. Следовательно, в пространстве X в качестве базиса может быть выбрана следующая система векторов:
r r e1 = b;
r e = r Ab;
r r (3.8-4) e = A b............
r r en = n-1b.
A Пусть характеристический полином оператора A, а значит и его матрицы в преобразованном базисе имеет вид:
n n- A () = + +... + +. (3.8-5) n-1 n Построим ещё один базис - базис [u] следующим образом:
r r r r r n-2 n-u = b + Ab +...+ A b + A b 1 n-1 { n-2 { 123 1 3;
e1 een-r r r r r n -3 n-u = b + Ab +...+ A b + A b 2 n-2 { n-3 { 123 123;
e1 een -2 en -r r r r r n -4 n-u = b + Ab +...+ A b + A b 3 n-3 { n-4 { 123 123;
e1 een -3 en - r r r r u = b + Ab + A b n-2 2 { 1 { {;
e1 e2 er r r u = b + Ab n-1 1 { {;
e1 er r (3.8-6) u = b.
n { eПроверим, действительно ли это базис Матрица перехода от базиса [e] к базису [u] в соответствии с (3.4-4) и (3.4-5) имеет вид:
... n-1 n-2 n-3 2... 1 n-2 n-3 n-4... 1 0 n-3 n-4 n- U =...................... (3.8-7) e 1... 0 0 2 1 0... 0 0 1 0 0... 0 0 Эта матрица является треугольной, её определитель равен произведению диагональных элементов, умноженному на (-1)n, т.е. не равен нулю. Следовательно, U не вырождена и система векторов e r r r {u1 u2...un} действительно образует базис в пространстве X.
Вычислим теперь представление матрицы оператора A в базисе [u]. При этом воспользуемся равенством r n r r r r u u u u A (fk )= a1ku1 + a2ku2 +... + ankun = (3.8-8) a A (ui ).
ik i =С учётом (3.8-6) r r r r r r n n-A (u ) = A b + A b +... + Ab + b - b = 1 1 n-1 n n r r n n-= (A + A +... + A + E)b - b = (3.8-9) 1 n-1 n n r r = A(A )b - b.
n r r По теореме Кэлли-Гамильтона A(A ) = 0, а значит A (u1) = -nb, отu куда следует, что an1 = -n и aiu = 0 при i < n, то есть rT au1 = [0 0... 0 -n ]. (3.8-10) Далее действуем аналогичным образом:
r r r r r r n-1 n-A (u2 ) = A A b +... + A +n -n b, (3.8-11) 1 -2 -1 -1 { 14b 4 4244n 444b r 4+444 44b r un uu u откуда следует, что a12 = 1, aiu = 0 при 1< i < n; an2 = -n, то есть 2 -rT au2 = [0 1... 0 -n ].
-Далее:
r r r r r r n-2 n-A (u3 ) = A b 1A b +... + A +n -n b, (3.8-12) -3 -2 -2 { 144+ 44b 3 r 44444244n 444b r un uоткуда следует, что u u u a13 = 0; a23 = 1; aiu = 0 при 2 < i < n; an3 = -n, 3 -то есть rT au3 = [0 0 1 0... 0 -n ].
-Вычислим предпоследний столбец матрицы:
r r r r r A (un ) = A b + (3.8-13) -1 2 { 1442443 r 41Ab + 4b -2 b, r un un -u u u откуда следует, что ai,n-1 = 0 для 1 i < n - 2, an = 1, an-1,n-1 = 0 и -2,n-u an,n-1 = -2, то есть rT au n-1 = [0 0 0 1 0 -n ].
-Наконец, r r r r r r A (un ) = A b + 1b -1b = un -1un, (3.8-14) -u u u откуда следует, что ai,n = 0 для 1 i < n -1, и an = 1, an,n = -2, то -1,n есть rT aun = [0 0 0 1 -1].
Таким образом, матрица AU оператора A в базисе [u] имеет вид:
0 1 0... 0 0 1... 0 0 0... AU =................ (3.8-15) 0 0 0... 0 0 0... - - -... - n n-1 n-r r Так как b = u, то есть является последним вектором базиса [u], то коn r ординатный столбец вектора b в этом базисе r T b = [0 0 0... 0 0 1]. (3.8-16) u r Пара {A, b } называется управляемым каноническим предU U ставлением (УКП) системы с одним (скалярным) входом. Матрица A U называется сопровождающей по отношению к полиному A().
Таким образом, мы доказали, что если исходная система управляема, то в пространстве состояний Х существует базис, в котором r пара {,b} имеет управляемое каноническое представление.
r Если в некотором исходном базисе [h] заданы матрицы A, b и, H H если система управляема, то для того, чтобы вычислить их (матриц) УКП, достаточно вычислить коэффициенты характеристического полинома (). После этого может быть вычислена матрица преA образования от исходного базиса [h] к УКП в соответствии с (3.7-8):
-1 -U = U U. (3.8-17) H U H Далее индекс УhФ для системы в исходном базисе будем опускать.
ПРИМЕР 3.8-1. Для системы r r r & x = Ax + bu;
r y = Cx известны матрицы r 2 3, b = 1 C = 1].
A = [, 4 Нетрудно вычислить матрицу 1 U U = H 2 14.
Её определитель U = -2 0, откуда следует, что система управляема и, значит, для неё существует УКП. Вычислим характеристический полином:
- 2 - A() = E - A = = 2 - 7 - 2.
{ { - 4 - 1 Это позволяет сразу же записать матрицы A и B в базисе УКП:
r 0 1, b = A =.
U U 2 7 Векторно-матричные уравнения системы в УКП имеют вид:
r r r & x = A x + b u;
u u u u r y = C x.
u u Для того, чтобы найти матрицу C, требуется рассчитать матрицу переU хода от исходного базиса к базису УКП. Для этого предварительно вычислим - 7 0 1.
- U = и U = H U 1 - 0.1 Тогда искомая матрица 0 1-1 4 1 -1/ 2, = 1 1.
-U = U H H 1 7 1 -1/ 2 = 0 1/ 2 0 После этого в соответствии с (3.6-8) находим C = C U = [1 3].
U H H 3.8.2. Передаточная функция и структурная схема для системы в УКП Уравнения системы r r r & x (t) = A x (t) + b u(t) U U U U (3.8-18) y = C x U U со скалярным входом u(t )и скалярным выходом y(t), где матрицы A и U r b определяются выражениями (3.8-15) и (3.8-16), а матрица C имеет U U вид C = [c c L c ], (3.8-19) U u1 u 2 un можно записать в развёрнутом виде :
& x = x ;
u 1 u & x = x ;
u 2 u & x = x ;
u 3 u (3.8-20).........
& x = x ;
u n-1 u n & x = - x - x -... -2x -1x + u;
u n n u 1 n-1 u 2 u n-1 u n y = c x + c x +... + c x. (3.8-21) u 1 u 1 u 2 u2 u n u n Этим уравнениям соответствует схема, представленная на рис.3.7.
y cu n-cu n cu 3 cu cu xu n xu n-1 x x u xu u 2 u-1 --n--n--n Рис. 3.7. Схема моделирования системы в УКП В соответствии с этим рисунком передаточная функция системы имеет вид -n -( n-1) -2 -c p + c p +... + c p + c p u1 u 2 u n-1 u n W (p) = = -1 -2 -n 1+ 1p + 2p +... + p n (3.8-22) n-2 n-c + c p +... + c p + c p u1 u 2 u n-1 u n =.
n n-1 n-p + 1p + 2p +... + p + n-1 n Отметим, что статический передаточный коэффициент c u W (0) =. (3.8-23) n 3.8.3. Идентификационное каноническое представление системы с одним (скалярным) выходом С помощью рассуждений, аналогичных проведённым в п.3.8.1, можно получить следующие результаты.
Если пара матриц {A,C} полностью наблюдаема, то в пространстве состояний Х всегда существует базис, в котором пара {A,C} имеет идентификационное каноническое представление (ИКП):
0 0... 0 0 - n 1 0... 0 0 n- 0 1... 0 0 - n-..................
A = ; (3.8-24) I 0 0... 0 0 -0 0... 1 0 - 0 0... 0 1 - C = [0 0... 0 0 1]. (3.8-25) I Отметим, что:
r T T A = A ; C = b. (3.8-26) I U I U Если в некотором исходном базисе [h] заданы матрицы A, C и, если система полностью наблюдаема, то для того, чтобы H H вычислить их (матриц) ИКП, достаточно вычислить коэффициенты характеристического полинома (). После этого может быть вычислена A матрица преобразования от исходного базиса [h] к ИКП в соответствии с (3.7-13):
-1 -I = N N. (3.8-27) H H I Если известна матрица B при векторе управления в исходном баH зисе, то с учётом (3.6-8) в базисе ИКП она может быть определена с помощью соотношения - B = I B. (3.8-28) I H H 3.8.4. Передаточная функция и структура для системы в ИКП В соответствии с видом матриц A и C уравнения системы со скаI I лярным входом u и скалярным выходом y имеют вид:
& x = - x + b u;
i 1 n i n i x = x - x + b u;
& i 2 i 1 n-1 i n i & x = x - x + b u;
i 3 i 2 n-2 i n i (3.8-29)..................
& x = x -2x + b u;
i n-1 i n-2 i n i n- & i n i n-1 i n i n x = x -1x + b u;
y = x. (3.8-30) i n Этим уравнениям соответствует структурная схема, представленная на рис. 3.8.
u bi 1 bi bi n-2 bi n-1 bi n xi 2 xi n-1 y xi n-xi xi n -n -n----Рис. 3.8. Схема моделирования системы в ИКП В соответствии с этим рисунком передаточная функция системы имеет вид:
n ( n-1) b p- + b p- +... + b p-2 + b p-i 1 i 2 i n-1 i n W (p) = = n 1+ 1 p-1 + 2 p-2 +... + pn (3.8-31) n-2 n-b + b p +... + b p + b p i 1 i 2 i n-1 i n =.
n n-1 n-p + 1 p + 2 p +... + p + n-1 n Отметим, что статический передаточный коэффициент b i W (0) =. (3.8-32) n 3.9. Обратная связь по состоянию, обеспечивающая заданное (желаемое) расположение собственных чисел в замкнутой системе с одним (скалярным) входом Даны уравнения полностью управляемого объекта управления в некотором исходном базисе r r r & xH (t) = AH x(t) + bHu(t);
(3.9-1) r y(t) = CH xH, каждая координата вектора состояния которого доступна для измерения.
Требуется синтезировать такое управление, которое бы обеспечило требуемое качество отработки внешнего командного сигнала v(t).
Динамические свойства системы управления, в основном, определяются её собственными числами, то есть нулями характеристического полинома n n n- () = ( - ) = + +... +. (3.9-2) A i 1 n i = Время переходного процесса каждой моды определяется расстоянием до мнимой оси вещественной части; колебательность - соотношением мнимой и вещественной частей соответствующих собственных чисел. Эти зависимости могут быть проанализированы при изучении характеристик типовых звеньев, кроме того, они рассматриваются в обширной учебной литературе по теории автоматического регулирования и управления.
В соответствии со структурной схемой, приведённой на рис. 3.9, сформируем сигнал управления объектом в виде:
r v u(t) = L x (t) + k v(t), (3.9-3) H H где: L - некоторая матрица-строка обратной связи:
H L = [l l... l ]; (3.9-4) H h 1 h 2 h n v k - коэффициент по командному сигналу.
Тогда уравнение системы примет вид:
r r r r r v & x (t) = A x (t) + b L x (t) + b k v(t), (3.9-5) H H H H H H H или r r r C v & x (t) = A x (t) + b k v(t), (3.9-6) H H H H C где A - матрица замкнутой системы в исходном базисе:
H r C A = A + b L. (3.9-7) H H H H y v u v Объект k r x Регулятор L Рис. 3.9. Структурная схема замкнутой системы Поскольку объект полностью управляем, то существует базис [u], r в котором пара {A, b} имеет управляемое каноническое представление r {A,b }. Поэтому перейдём к записи уравнений системы в базисе УКП.
U U В соответствии с (3.4-16) произведём замену r r x =U x. (3.9-8) H H U Тогда из (3.9-1) получим r r r & U xU (t) = AHU xU (t) + bHu(t); (3.9-9) H H r y(t) = CHU xU. (3.9-10) H -Умножив уравнение (3.9-9) слева на U, будем иметь H r r r & xU (t) = AU xU (t) + bUu(t);
, (3.9-11) r y(t) = CU xU (t), r где A b и C - соответствующие матрицы в УКП.
U U U Используя подстановку (3.9-8), из (3.9-3) получим r v u(t) = L x + k v(t), (3.9-12) U U где матрица обратной связи в базисе УКП L = L U. (3.9-13) U H H В результате, уравнение замкнутой системы в базисе управляемого канонического представления будет иметь вид:
r r r C v & x (t) = A x (t) + b k v(t). (3.9-14) U U U U C Здесь A является сопровождающей матрицей по отношению к харакU теристическому полиному замкнутой системы n 3 n n- () = ( - ) = + +... +, (3.9-15) i 1 n AC i =поэтому она имеет стандартный вид 0 1 0 0 0 1 C A =. (3.9-16) U 0 0 0 - - - - n n-1 n-2 С другой стороны, очевидно, что r C A = A + b L. (3.9-17) U U U U Отсюда сразу же следует связь между коэффициентами характеристического полинома (3.9-2) объекта и коэффициентами характеристического полинома (3.9-14) желаемой системы:
- = - + l, i =1, 2, K, n. (3.9-18) i i U n-i + Далее обусловлены следующие действия.
1. Задание желаемых собственных чисел замкнутой системы 1,3,...,3.
2 n 2. Вычисление коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы,,..., в соответствии с выражением (3.9-14).
1 2 n 3. Вычисление согласно (3.9-17) коэффициентов матрицы обратной связи в базисе УКП:
l = -, i = 1,2,...,n. (3.9-19) U,n-i +1 i i 4. Вычисление в соответствии с (3.9-12) и (3.8-17) матрицы обратной связи в исходном базисе:
- L = L U U. (3.9-20) H U U H v 5. Определение величины коэффициента k в соответствии с требованиями по статике.
Так например, если требуется обеспечить единичную статику по командному сигналу v, то это значит, что установившееся значение переходной функции h(t) замкнутой системы должно быть равно единице.
Одним из свойств передаточной функции устойчивой системы является равенство:
limh(t) = limW (p). (3.9-21) vy t pСогласно структурной схеме, приведённой на рис. 3.9, передаточная функция между командным v и выходным y сигналами имеет вид:
v W (p) = k W (p), (3.9-22) vy где передаточная функция W (p), может быть определена аналогично выражению (3.8-22). Таким образом, получаем:
c v U h() = k = 1, (3.9-23) n откуда окончательно, v n k =. (3.9-24) c U3.10.Синтез управления в многомерной системе. Задача разделения каналов В предыдущих разделах, посвящённых синтезу, рассматривались объекты со скалярным управлением (входом) и скалярным выходом. На практике встречаются и более сложные объекты. Один из них был упомянут в разделе 2.2. Это смесительный бак, у него две входные величины - два входных потока с различными концентрациями растворённого вещества, и две выходных - концентрация и расход выходного потока. В качестве другого примера может быть взят объект, связанный с перемоткой некоторой полосы с одного рулона на другой. Для этого объекта выходные переменные - это натяжение и линейная скорость перемотки;
Pages: | 1 | ... | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ... | 18 | Книги по разным темам