Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | ... | 18 | входные - напряжения или токи приводных двигателей моталки и разматывателя. Наконец, самолёт. В качестве выходных переменных могут выступать углы тангажа, курса и крена; в качестве входных, управляющих, - угловые положения руля высоты, руля направления и элеронов.
Как правило, в таких объектах каждая выходная величина зависит от всех входных. В то же время, при синтезе управления такими объектами часто требуется обеспечить не только заданные динамические и статические свойства системы, но и независимое управление по каждой из выходных переменных.
Пусть уравнения объекта имеют вид r r r & x(t) = Ax(t) + Bu(t); (3.10-1) r r y(t) = Cx(t), (3.10-2) где размерность вектора состояния [n 1], вектор управления и вектор выхода имеют одинаковую размерность [p 1]. Такую же размерность r имеет вектор командного сигнала v, поступающий на вход системы.
r Требуется синтезировать управление u такое, чтобы:
1) i Ця составляющая вектора выхода y зависела только от i Цй i составляющей командного сигнала v ;
i 2) по каждому из каналов была обеспечена заданная динамика, Y (p) i иными словами, передаточная функция W (p) =, имеющая заvi,yi V (p) i данные полюсы;
3) для каждого из каналов был обеспечен заданный статический коэффициент передачи.
3.10.1. Разделение исходного объекта на подсистемы интеграторов Представим (3.10-2) в виде C C r r r x, y = Cx = M C p где C - строки матрицы C. Тогда i -я координата вектора выхода i r y =C x.
i i Рассмотрим процедуру многократного дифференцирования координат вектора выхода:
r r r & y = C x = C Ax + C Bu;
i i i i r r r y = C A x + C ABu + C Bu ;
i i i i r r r r ( 3 ) 3 2 (1) ( 2 ) (3.10-3) y = C A x + C A Bu + C ABu + C Bu ;
i i i i i LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL r r r r ( m ) m m-1 m-2 (1) ( m-1) y = C A x + C A Bu + C A Bu +... + C Bu i i i i i Сократим запись:
m-r r r (m) m m-1 m-1- ( ) y = C A x +C A Bu + A Bu (3.10-4) C i i i i =Для каждой координаты найдем максимальное число дифференr u цирований, при котором еще не появляется производная вектора, то m есть, найдем такие числа, что i mi -1 m - i C A B 0 и C A B = 0.
i i Таким образом, получим систему уравнений:
r r ( m1 m1 m1-y1 ) = C1A x + C1A Bu ;
r r ( m2 ) m2 m2 -y = C2A x + C2A Bu ;
(3.10-5) LLLLLLLLLLL r r ( mp ) mp mp -y = C A x + C A Bu.
p p p Запишем эту систему равенств в векторно-матричном виде:
(m1) m1 m1-y1 C1A C1A y (m2 ) C Am2 C Am2 -r r r r 2 2 x + Bu = -F*x + B*u.
= (3.10-6) M M M y (mp ) C Amp C Amp - 1 1 Обозначим (m1) y y (m2 ) r q = (3.10-7) M y (mp ) и m1 m1-C1A C1A C Am2 C Am2- F* = - 2 ; B* =. (3.10-8) M M C Amp mp - C A 1 Тогда (3.10-6) можно переписать в виде r r r q = -F*x + B*u. (3.10-9) Если задача разделения каналов имеет решение, то матрица B не * вырождена и:
r r r -1 - u = B q + B F x. (3.10-10) * * * На рис. 3.10 представлена промежуточная структурная схема, соответствующая уравнениям (3.10-1), (3.10-2) и (3.10-8).
y q u x -В В C * A -B F * * Рис. 3.10. Промежуточная структурная схема Для этой схемы справедливы уравнения r r r -1 -& x = (A + BB* F* )x + BB* q;
(3.10-11) r r y = Cx.
Обозначим -A = A + BB* F* ;
(3.10-12) -B = BB*.
Теперь (3.10-11) превратится в r r r & x = A x + B q ;
V V (3.10-13) r r y = C x, r а структурная схема промежуточной системы с входным вектором q примет вид, представленный на рис. 3.11.
q x y B C V A V Рис. 3.11. Структурная схема системы r q относительно входного вектора r r С другой стороны, вектор выхода y связан с вектором q равенством (3.10-7) и поэтому схеме, представленной на рис. 3.11 полностью эквивалентна схема, составленная из p подсистем последовательно включённых интеграторов. Эта схема представлена на рис. 3.12.
1 q y m интеграторов i y i q m интеграторов i p q p y m интеграторов p Рис. 3.12. Структурная схема объекта, представленного в виде изолированных подсистем интеграторов Общее количество интеграторов не может быть больше n, то есть:
p m n.
i i =Таким образом, система {A, B} (3.10-13), у которой в качестве входного V V r вектора выбран вектор q, а) развязана по каналам, то есть y зависит только от q для всех i i значений i ;
p б) имеет собственных значений, равных нулю.
m i i =Теперь систему {A, B} нужно попытаться привести к удобному баV V зису, в котором синтезировать обратную связь, реализующую желаемые собственные числа по каждому каналу.
Прежде всего, установим некоторые свойства матриц A и B. АнаV V логично (3.10-4) запишем:
m-r r mi mi -1 mi -1(mi ) ( ) y = C A x + C A Bq + C A Bq.
i i i i V V V V V =(mi ) С другой стороны, y = q. Отсюда следует:
i i mi 1) C A = 0 для всех i = 1,2,Е,p ; (3.10-14) i V q r r r q r mi -1 mi -1 2) = q, (3.10-15) C A B q = C A [b b... b ] i i 1 2 p i V V V M V V V q ny откуда:
r m - i C A b = 1 ; (3.10-16) i i V V r m -i C A b = 0, при j i ; (3.10-17) i j V V r m i 3) C A b = 0 для >1 и для всех j, i. (3.10-18) i j V V n 3.10.2. Преобразование базиса в пространстве R Перейдём от исходного базиса [e] к новому базису [f ] с помощью некоторой матрицы преобразования F. При выборе базиса [f ] учтем, е следующие обстоятельства:
Х Объект управляем, поэтому ранг матрицы управляемости r r r r r r r n-1 n-U = [b b...b M A b... A b M... MA b... A b ] (3.10-19) 1 2 p 1 p 1 p V V V V V V V V V V V равен порядку системы;
Х так как каждый канал этой системы с размерностью m управi ляем, то столбцы r r r r r r m1-1 mp - b, A b,..., A b,..., b, A b,..., A b 1 1 1 p p p V V V V V V V V V V линейно независимы.
Теперь выберем базис [f ], соответствующий следующим координатным столбцам:
r r r r r r m1-1 m1-f = A b ; f = A b ;...; f = b ;
e1 1 e2 1 e m1 r r r r r r m2 -1 m2 -f = A b ; f = A b ;... ; f = b ; (3.10-20) e m1+1 2 e m1+2 2 e m1+m2..................................
r r r r r r mp -1 mp -f = A b ; f = A b ; f = b ;
e m1+...+mp-1+1 p e e m1+...+mp-2 p e m1+...+mp p p Если ] можно выбиm < n, то оставшуюся часть векторов базиса [f i ост i =рать, перебирая оставшиеся столбцы матрицы U :
r r r m1 m1+1 1- A b, A b,... A b 1 1 V V V V V V r до тех пор, пока следующий вектор A b не будет выражаться в виде V V линейной rкомбинации всех предыдущих векторов базиса. Далее добаr m2 m2 +вим A b, A b и так далее, пока число векторов базиса не достиг2 V V V V нет числа n. Тогда матрица преобразования базиса [e] в базис [f ] будет иметь вид r r r r r r m1-1 m1-2 m2 -F = [A b L A b L b L A b L b L b [f ]].
e 1 1 1 2 2 p ост V V V V V V V Рассмотрим вид матрицы B в базисе [f ]. Первый столбец этой V r матрицы, то есть вектор b совпадает с m -м столбцом базиса [f ]; вто1 r рой столбец матрицы B, то есть вектор b совпадает с (m + m )-м 2 1 столбцом базиса [f ] и так далее. Следовательно, r 0 L r 0 L L L L L B =, (3.10-21) f r 0 0 L p 0 0 L где r m = строк. (3.10-22) L i i Теперь обратим внимание на матрицу С. В соответствии с (3.6-8) r r C C f L C f 1 e1 1 en r r C r r r 2 e1 2 en C f L C f С = C F = [f f L f ]=. (3.10-23) f е e1 e2 en M L L L r r C p C f L C f p e1 p en Из этого равенства с учётом (3.10-14), (3.10-16), (3.10-17) получим:
s 0 L 0 0 s L 0, C = (3.10-24) f M M M M M 0 0 L s p где s = [1 0 L 0]. (3.10-25) i 4 mi Наконец, займемся матрицей A. Прежде всего, рассмотрим важf V ную интерпретацию элементов матрицы A. В соответствии с (3.6-8) f - А = F А Fе, f е е поэтому Fе А = А Fе. (3.10-26) f е Левую часть этого равенства можно расписать следующим образом:
f f f a a L a 11 12 1n r r r Fе А = [f f... f ] M M M M = f e1 e2 en f f f n1 n2 nn a a L a r r r r r r f f f f f f = [a f +...+ a f a f +... + a f L a f +...+ a f ].
11 e1 n1 en 12 e1 n2 en 1n e1 nn en С другой стороны:
r r А F = [А f LА f ].
е е е e1 е en Таким образом, получаем:
r r r r f f f A f = a f + a f +...+ a f. (3.10-27) e ei 1i e1 2i e2 ni en Это означает, что элементы i -го столбца матрицы A f V f a 1i f a r f 2i a = i L f a ni r r являются коэффициентами разложения произведения Af A f по ei e ei r r r координатным векторам f, f,..., f.
e1 e2 en r Используя, (3.10-20), сопоставим произведения Af с координатei ными столбцами векторов базиса [f ]:
r r Afe1 = Am b1;
r r r Afe2 = Am -1 b1 = fe1;
(3.10-28) r r r Afe3 = Am -2 b1 = fe2 ;
LLLLLLLL.
Так как Afe1, Afe m +1 т. д. не совпадают ни с одним из собственных V V p векторов с номерами от 1 до n - mi -1, то в соответствующих столб i =цах матрицы Af на позициях строк с номерами, большими p, могут наV ходиться ненулевые элементы. Такие ячейки матрицы помечены символом "". Кроме того, на данном этапе нет смысла рассматривать столбцы этой матрицы с номерами, большими p. В результате получаем выражение для матрицы A в базисе [f ]:
0 1 0 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 0 0 Е 0 0 1 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 0 0 Е ЕЕЕЕ. ЕЕЕЕ. : ЕЕЕЕ.
m 0 0 0 Е 1 0 0 0 Е 0 : 0 0 0 Е 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 0 0 Е 0 0 0 Е 0 0 1 0 Е 0 : 0 0 0 Е 0 0 0Е 0 0 0 1 Е 0 : 0 0 0 Е ЕЕЕЕ ЕЕЕЕ. : ЕЕЕЕ.
m0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 1 : 0 0 0 Е 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 0 0 Е Af = ЕЕЕЕ. ЕЕЕЕ. ЕЕЕЕ.
V 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 1 0 Е 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 0 1 Е ЕЕЕЕ. ЕЕЕЕ. : ЕЕЕЕ.
mp 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 0 0 Е 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 : 0 0 0 Е * 0 0 Е 0 * 0 0 Е 0 : * 0 0 Е ЕЕЕЕ. ЕЕЕЕ. : ЕЕЕЕ.
n - mi * 0 0 Е 0 * 0 0 Е 0 : * 0 0 Е n - m1 m2 mp m i Эту же матрицу удобнее записать в блочном виде:
A11 0 L 0 A 0 A22 L 0 A M M M M M A =. (3.10-29) V f 0 0 L Ap p Ap 01 p A A02 L A0 A r Разобьём вектор состояния x на систему (p +1) частных векторов и обозначим r z r z r x = M, (3.10-30) f r z p r z r где z имеет размерность [m 1]. Тогда уравнения (3.10-13) в базисе i i [f ] примут вид:
r r r & z 0 L 0 q A 0 L 0 A z 11 1 r r r q z & 0 A L 0 A 0 L 22 2 z M ;
= M M M M M + M M M M M M r r r z & 0 0 L A A M 0 0 L p p p p zp p r r & z 0 0 L 01 02 0 p 00 z p A A L A A q r z r y s 0 L 0 0 z 1 y 0 s L 0 2 = M. (3.10-31) M M M M M M r z y 0 0 L s p r p p z Отсюда следуют уравнения для частных подсистем:
r r r r & z = A z + A z + q (3.10-32) i ii i i 0 0 i i r y = s z, (i = 1,2,...,p) i i i p r r r & z = A z + A z. (3.10-33) 0 0 00 =Раскроем систему дифференциальных уравнений для i -й подсистемы:
r i & z = z + a z = z + g i1 i 2 1 0 i 2 i z = z + g & i 2 i 3 i.................
, (3.10-34) & z = z + g i,mi -1 i,mi i,mi - & z = g + q i,mi i,mi i {y = z i ii где a - первая строка матрицы A. Такой подсистеме соответствует 1 i структурная схема, представленная на рис. 3.13.
gi mi g g i 2 iq zi mi z z z i i 3 i 2 i y i Рис. 3.13. Структурная схема частной подсистемы Из сопоставления этой схемы со схемой, приведённой на рис. 3.12, следует:
( ) а) z = y ; z = y при > 1;
i1 i i i б) q = 0 и A = 0 для = 1,2,..., p.
i Таким образом, выходы интеграторов частных подсистем, покаr x занных на рис. 3.12, совпали с координатами вектора в базисе [f ].
Кроме того, все блочные матрицы A, A,..., A в (3.10-29)- нулевые.
00 10 p 3.10.3. Формирование управления Работая в базисе [f ], мы имеем p изолированных подсистем, сумма выходов которых подаётся на вход общей подсистемы с матриp цей динамики A размерности n - m :
00 i i =r r r & z = A z + q ; y = z ;
1 11 1 1 1 1...................
r r r (3.10-35) z = A z + q ; y = z ;
& p pp p p p p p p r r r & z = A z + A z.
0 00 0 =Соответствующая структурная схем представлена на рис. 3.14.
r Пары матриц {A, } для i = 1, 2,..., p имеют форму УКП, приii i чем, каждая из матриц A имеет только нулевые собственные значения.
ii Это вполне согласуется с тем, что в п. 3.10.1 было произведено преобразование объекта на подсистемы последовательно включённых интеграторов. Сформируем управление q для i = 1, 2,..., p в следующем i виде:
r q = k v (t)+l z (t), (3.10-36) i i i fi i А q А z z..............................
p z p q 0p A A p p,p A [f ] Рис. 3.14. Структурная схема объекта в базисе где f f f l = [l l K l ] fi i 1 i 2 i,m i матрица обратной связи для i -й подсистемы в базисе [f ].
Тогда получим следующее дифференциальное уравнение для i -й подсистемы:
r r r r r & z = A z + l z + k v, i ii i i fi i i i i или r r r & z = z + k v. (3.10-37) i fi i i i i Нетрудно убедиться, что матрица динамики i -й подсистемы в базисе [f ] имеет вид 0 1 0 L 0 0 1 L M M M M M =. (3.10-38) fi 0 0 0 L f f f f l l l L l i1 i 2 i 3 i,mi Следовательно, определены характеристические полиномы подсистем:
mi f mi -1 f mi -2 f ( ) = - l - l -... - l. (3.10-39) i i,mi i,mi -1 i Согласно (3.8-22) а также с учетом (3.10-13), (3.10-24) и (3.10-37) запишем выражение для передаточной функции замкнутой i -й подсистемы:
k i W (p) =. (3.10-40) vi yi mi f mi -1 f p - l p -... - l i,mi iОчевидно:
k i W (0) =. (3.10-41) vi yi f - l iЗадавая расположение полюсов и статику для каждой подсистемы, в итоге получим матрицы:
l 0 L 0 0 k 0 L f 1 0 l L 0 0 0 k L f 2 ; k =.
L = (3.10-42) f M M M M M M M M M 0 0 L l 0 0 0 L k f,p p Возвращаясь в исходный базис для уравнений (3.10-13), получим:
- L = L Fе. (3.10-43) f V r При этом вектор q формируется в соответствии с выражением r r r q(t) = L x(t) + k v(t). (3.10-44) V Учитывая (3.10-10), окончательно получим:
r r r r r -1 -1 - u = B F x + B L x + B kV(t) = Lx + kV, (3.10-45) * * * * V V где -1 - L = B (F + L); k = B k. (3.10-46) * * * V V На этом можно закончить синтез, если часть системы, оказавшаяся вне обратной связи, имеет допустимые динамические свойства. Если же нет, например, A - неустойчива, то приходится идти на то, чтобы ввести r обратную связь L, по z, по крайней мере, через один из каналов (q ), 0 0 r оставив полностью развязанными остальные (p - 1) каналов. В этом случае k,l,l нужно рассчитывать совместно. Связь L должна обесr fr f 0 V печить надзор за бывшими ранее без контроля (n m ) полюсами i (собственными числами) системы. Эта часть расчета может быть произведена по обычной методике синтеза системы с одним входом. Результирующая структура в базисе [f ] приведена на рис. 3.15.
l fА v 1 q 1 k А V z............................................
Pages: | 1 | ... | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | ... | 18 | Книги по разным темам