Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ... | 41 | f()(w, z, u,t) - производная от логарифма функции правдоподобия определяется по формуле r Qpq()(t) f()(w, z, u,t) = ЧЧЧ [zp(t) - Cp()(w, u, t)][ zq(t) - Cq()(w, u, t)] (4.19) p,q=1 |Q()(t)| и дополнительно зависит от функции управления в соответствии с уравнени- ем наблюдения (4.7); vr(w,t), ur(w,t) - соответственно функции поглощения и восстановления реализаций случайного процесса.
Задача управляющей части ведущего процесса - оптимальная фильтрация сигналов, поступающих от внешней среды. Такая задача решена в /28/ в предположении квадратичной функции потерь (w, W0,t) = [w - W0]т[w - W0], (4.20) где W0 - оптимальная оценка сигналов. Сама процедура нахождения оптимальных управлений существенно зависит от вида функций коэффициентов статистической линеаризации и задаваемых ограничений. Если известно, что минимизируемая функция потерь одномодальная и ограничения на управления отсутствуют, оптимальные управления могут быть найдены из системы уравнений s m Qpq()(t) n ЧЧЧ [ Ч cpj()(u,t)cqk()(u, t) + cpj()(u, t) Ч cqk()(u,t)] l=1 p,q=1 |Q()(t)| i,j,k=1 uf uf [Rji()(t)Rkj()(t) + Rjk()(t)Rij()(t)] = 0, (4.21) где использованы обозначения Rij()(t) = (wi - Wi()) (wj - Wj()) 1()(w, t)dw. (4.22) - Для согласования ведомого процесса с ведущим необходимо решать эту задачу с заменой выходного вектора сигналов W на Y, что обеспечит максимальное быстродействие, управляя каналом наблюдения до тех пор, пока необходимая структура не установится в ведомом процессе.
4.3 Экспериментальное исследование последовательной метасистемы Из проведенного в предыдущем параграфе исследования следует необходимость быстрого уравнивания вероятностей включений для всех структур, входящих в систему с соответствующей вероятностью изменений хода внешнего процесса. Исходя из управляемости второго процесса, можно ввести главную обратную связь, которая будет следить за реальной частотой включений каждой структуры, запоминать ее и уравнивать с требуемой вероятностью. Причем срабатывать эта связь должна только в случаях наибольшей неопределенности, то есть как это следует из рассуждений, проведенных в разделе 2 на границах между классами управленческих ситуаций. Экспериментальное исследование и было посвящено оценке точности включений структур, которую должна резко повысить указанная обратная связь.
Модель представляла собой две последовательно переключаемые локальные системы управления (структуры), изображенные на рисунке 4.1.
Здесь w1,w2 - уставки регуляторов по частоте включения,
Работа схемы без обратной связи (на рисунке не изображена) сравнивалась с работой схемы при ее наличии в условиях зашумленности внешнего процесса. Изменения внешнего процесса без шума изображены на рисунке 4.2 и представляют собой две синусоиды с отличающимся в два раза периодом.
Обратная связь срабатывает только в определенном диапазоне, когда разность значений зашумленных синусоид меньше некоторого числа. Коррекция в схеме с обратной связью осуществляется только за счет наращивания частоты включений. Ошибки рассчитывались как отношение модуля разности частоты включений в схемах с шумом с частотой включения в схеме без шума к последней частоте и брались в процентах. Полученная в результате эксперимента зависимость ошибок включений приведена на рисун Внешний процесс
Как видно из графика (рисунок 4.3), некоторая ошибка у схемы с обратной связью имеет место лишь при малых, сравнимых с максимальным уровнем шума. С ростом ошибка быстро уменьшается и обращается в нуль для обоих включаемых систем локального управления. В то же время во второй схеме ошибки включения локальных систем управления различаются. Их незначительная зависимость от обусловлена лишь шумом.
4.4 Координация в метасистеме По-другому обстоит дело с метасистемой параллельного действия. Здесь необходимы дополнительные теоретические исследования.
Постановка задачи. Пусть каждая ветвь метасистемы представляет стохастический регулятор, описываемый уравнением Ито ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) dо t,щ =Шо t,щ,t +G о t,щ,t dw t,щ, (4.23) ( ) ( ) о 0,щ =о0 щ.
От уравнения Ито однозначно можно перейти к уравнению Колмогорова /21/ (интеграл от плотности вероятности по переменной X равен единице) 1,0,sin(t) 0,sin(2t) 0,0,время Рисунок 4.2 - График изменения во времени внешнего процесса Амплитуда 0.3.7.8.10.
4,3,2,1,0,Диапазон срабатывания обр. связи () Рисунок 4.3 - Зависимости ошибки по частоте включения локальных систем управления в двух исследуемых схемах n n n f f 1 2f + (X,t) + (X,t) = 0. (4.24) ak bkm t xk 2 xkxm k=1 k=1 m=Специальной подстановкой /29/ из уравнения (4.24) можно убрать второе слагаемое. Управляющее воздействие попадает в правую часть и делает это уравнение неоднородным.
Необходимо определить оптимальные управляющие воздействия для нормального распределения вероятности.
Решение преобразованного неоднородного уравнения (4.24) можно выразить через функцию Грина a2 a 1 (y - )2 (,t)dtd. (4.25) u f (Y,t)= exp( t - y ) 2 bt exp b b 4bt - Подставляя в левую часть этого решения желаемый результат управления (плотность вероятности в виде нормального закона), получаем уравнение Фредгольма 1-го рода (y - yуст) 1 a2 a 1 (y - )2 (,t)dtd.
u exp- = exp( t - y ) 2 bt exp b b 4bt - Ошибка по включениям, %..
.
.
..
.
(4.26) С помощью этого уравнения можно исследовать динамику системы управления. Ограничимся исследованием установившегося движения. Для этого, вернувшись к уравнению (4.24) для одномерного случая с постоянными коэффициентами a и b, уберем производную по времени и подставим вместо плотности вероятности нормальный закон распределения:
( y- yуст ) 1 b b a ( y - yуст )2 - - ( y - yуст ) e = u( y ), (4.27) 2 5 3 где yуст- уставка регулятора, u(y) - управляющее воздействие.
Введем понятие виртуальной работы как работы, которую необходимо совершать системе управления для поддержания дисперсии выходной величины на заданном уровне ( y - y )ус 2у A(у)= u(y) e dy. (4.28) - у 2р Пользуясь формулой (4.27), можно построить зависимость дисперсии выходной величины от виртуальной работы, имеющей гиперболический характер, объяснимый природой процесса (смотри рисунок 4.4). Прилагая все большие ресурсы управления (увеличивая виртуальную работу управления), можно уменьшить дисперсию управляемой величины до сколь угодно малого значения (однако не до нуля). Наоборот, уменьшая ресурсы, направляемые на управление, приходим к увеличению дисперсии вплоть до бесконечности.
Имея зависимости дисперсии управляемой величины от виртуальной работы по управлению, можно оптимально распределить ресурсы.
Классический критерий оптимизации обычно принимают в следующем виде /21/ tk -I0 = M [ l1(Y,tk )] + M [ (L(Y, ) + uT ( )K u( ))d ], (4.29) to где L(Y, t), l1(Y, tk) - заданные положительно определенные функции, К - симметричная положительно определенная или диагональная матрица положительных коэффициентов.
Считая данный функционал отражающим потери в метасистеме, примем, что l1(Y,tk ) = 0, функция L зависит не от управляемых величин, а от их дисперсий, а вместо обычной работы управляющих воздействий используется виртуальная:
Решая задачу оптимального управления метасистемой параллельного действия с данным функционалом, можно определить установившиеся оптимальные значения дисперсий выходных величин. Для этого необходимо решить совместно систему, включающую уравнения (4.27), определение (4.28) A() 0 0.5 1 1.5 2 2. Рисунок 4.4 - Зависимость виртуальной работы от дисперсии и критерий (4.30) n I = (4.30) M i( t ) + A(i( t ),t ))dt.
(i i=1 t (y- y )уст 1 bi bi ai (y - y\ уст) - - (y - yуст)e = ui(yi), 2i5 2i3 i (y- y )уст ui(yi) A ( ) = e dy, i = 1,K,n, (4.31) i i n [ii + Ai(i)] min.
i= Продифференцировав последнее уравнение по всем i и приравняв эти производные нулю, получим новую систему из n уравнений. В неё подставим выражение виртуальной работы из второго уравнения системы (4.31), в которую, в свою очередь, подставлено управляющее воздействие из первого уравнения системы (4.31). Окончательно получим n уравнений вида ( y-yуст) bi bi ai 1 (y - yуст)2 - - (y - yуст)e dy = -2i.(4.32) 5 2 ii i - 2i i i =1,K, n Решение этих уравнений определяет оптимальные нормы для дисперсий.
Дальнейшее управление можно свести к работе конечного автомата, который будет перераспределять управляющие ресурсы с "благополучных" структур на "неблагополучные" (то есть на те структуры, дисперсия выходных величин которых больше всего возросла). Все варианты распределения управляющих воздействий (состояний конечного автомата) можно описать следующей матрицей:
-,u12,...,u1n u, -,...,u2n U =. (4.33) L un1,un2,..., - Здесь номера столбцов соответствуют номерам структур, с которых управляющие ресурсы "снимаются", а номера строк соответствуют номерам структур, на которые управляющие воздействия направляются. Чертой помечены неиспользуемые состояния.
Так будет работать система, у которой каждая структура имеет независимый источник управляющего воздействия. При общем источнике параллельная система может превратиться в последовательную (как отмечено выше). В этом случае управляющие ресурсы в любой момент времени подключаются автоматом лишь к одной структуре. Тогда можно применить теорию систем случайной структуры и, вычислив вероятности включения каждой структуры, использовать их в качестве уставок для конечного автомата (превратив тем самым автомат Мура в автомат Мили с обратной связью), что увеличит точность работы системы.
Такое решение несправедливо для многосвязной системы. Рассмотрим подробнее процесс перераспределения ресурсов. Положим для простоты анализа, что описанная выше зависимость имеет для двух управляемых величин самый простой вид 1 =, 2 =, (4.34) где, - размерные коэффициенты.
График этой зависимости изображен на рисунке 4.5.
Управление необходимо вести таким образом, чтобы суммарная дисперсия была минимальна N K = (4.35) min.
i i=При этом можно провести двухуровневое управление с доведением управляемых параметров до области нормированных значений, а затем, используя координацию управляющих воздействий, свести к минимуму критерий К /30/. Забирая малую долю ресурса от второго параметра и вкладывая ее в улучшение первого, мы получим уменьшение суммы двух дисперсий управляемых величин на величину 1 - 2. (4.36) Такое перераспределение ресурса рационально, пока данная разность положительна. Равенство отнимаемых и добавляемых ресурсов дает уравне* * ние для нахождения точек оптимальности 1, - = -. (4.37) * * 1 1 Вводя обозначение для начальной суммы + = C, можно выразить одно оптимальное значение через другое * * =, (4.38) * C1 - Цель оптимизации теперь формулируется следующим образом * * 1 + min. (4.39) * C1 - Взяв производную от этой суммы по 1* и приравнивая ее нулю, найдем оптимальное значение A A A Виртуальная работа Рисунок 4.5 - Схема перераспределения управляющих ресурсов 2 * * C (1 ) - 2C1 - ( - ) = 0;
* (C1 - ) (4.40) * 1 =.
C * Считая коэффициенты > 1и > 1и учитывая, что 1 всегда положительно, имеем единственное решение + * ;
= C (4.41) + *.
2 = C При этом минимальная сумма равна ( + ) * * 1 + =. (4.42) C Если бы мы потребовали совпадения точек оптимальности, то уравнение (4.37) приняло бы вид:
- = -. (4.43) 1 * * Его решение ( + )* =. (4.44) + При этом минимальная сумма равна 2*.
Дисперсия Определяя разность двух минимальных сумм, убеждаемся, что она положительна 2 ( + ) 1 ( - ) 2( + )- = > 0. (4.45) + 1 + 1 + 2 2 Если погрешность, равная этой разности для двух параметров устраивает проектировщика системы, то можно, последовательно добавляя опасности отклонений следующих параметров, определить единственное псевдооптимальное значение * и минимальную сумму N (4.46) * = N *.
i i=Находя разность этого значения * с каждой опасностью отклонения, можно добиться раздельного поканального управления подсистемами.
Если же эта разность нас не устраивает, тогда проведем более тонкое исследование. Очевидно, что перераспределение управляющих ресурсов можно прекратить, когда разность (4.36) равна 0.
Ограничиваясь конечными приращениями 1 1 = ; 2 =, (4.47) видим, что перераспределение ресурсов дает эффект, пропорциональный частным производным. В таком случае можно организовать следующий алгоритм.
1 Вычислить частные производные дисперсий всех управляемых величин по ресурсу в данных точках (1, 2ЕN).
2 Отсортировать производные в порядке убывания.
3 Перераспределить ресурс величиной А от управления параметром с максимальным значением производной на управление параметром с минимальной производной.
4 Пересчитать производные, изменившиеся в результате выполнения п.3.
5 Определить максимальную разность производных (max-min) и, если она больше некоторого значения, перейти к п. 2.
6 Конец работы.
Значение определяется здесь по минимальному изменению производной на краю диапазона при заданном изменении ресурса А. Этот алгоритм работает тем точнее, чем А меньше. Однако, при этом возрастает время его работы.
Таким образом, при проведении такой координации мы сводим суммарную дисперсию управляемых величин к минимуму или можем экономить ресурсы управляющих воздействий (в зависимости от того, что выгоднее).
4.5 Экспериментальное исследование параллельной метасистемы Модель такой системы включала три параллельно действующих регулятора, характеризующихся систематической погрешностью ai и среднеквадратичным разбросом bi, где i=1,2,3. Изменение во времени плотности распределения управляемой величины i подчиняется уравнениям ФоккераПланка-Колмогорова i i bi 2i + ai - = ui, (4.48) t yi yiгде yi Цуправляемая величина, ui - управляющее воздействие, изменяющее точность регуляторов (поднастройка, подналадка).
Pages: | 1 | ... | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ... | 41 | Книги по разным темам