До этого момента мы предполагали, что начисление сложных процентов и дисконтирование происходят ежегодно. Иногда начисления происходят чаще, чем раз в год. Например, представьте, что банк выплачивает процентную ставку в размере 10% «капитализируемой раз в полгода». Это означает, что депозит в размере 1000 долларов в банке будет стоить 1000 х 1,05 = 1050 долларов через шесть месяцев и 1050 х 1,05 = 1102,50 долларов в конце года.
Богатство на конец года можно записать как:
= 1000 долл. США X (1,05)2 = 1102,50 долл. США
Конечно, депозит в 1000 будет стоить 1100 долларов (= 1000 долларов X 1,10) ежегодно. Обратите внимание, что будущая стоимость в конце года больше при полугодовом начислении сложных процентов, чем при годовом. С ежегодным начислением сложных процентов первоначальная 1000 долларов по-прежнему
являясь основой инвестиций в течение всего года. При полугодовом начислении первоначальная 1000 долларов является инвестиционной базой в течение первых шести месяцев. В течение следующих шести месяцев база составляет 1050 долларов. Поэтому при полугодовом начислении процентов вы получаете проценты на проценты.
Поскольку 1000 X 1,1025 = 1102,50 доллара, 10%, начисляемые раз в полгода, равны 10,25%, начисляемым ежегодно. Другими словами, рациональному инвестору будет безразлично, будет ли ему котироваться ставка 10%, начисляемая раз в полгода, или ставка 10,25%, начисляемая ежегодно.
Квартальная капитализация в размере 10% дает в конце года богатство в размере:
$10001
В более общем плане, начисление сложных процентов на инвестиции m раз в год дает доход на конец года в размере:
где C0 — первоначальные инвестиции, r — заявленная годовая процентная ставка. Заявленная годовая процентная ставка представляет собой годовую процентную ставку без учета начисления сложных процентов. Банки и другие финансовые учреждения могут использовать другие названия для заявленной годовой процентной ставки. Возможно, наиболее распространенным синонимом является годовая процентная ставка (APR).
ПРИМЕР 4.12
_годовых. Каким будет богатство в конце года, если Джейн Кристин будет получать заявленную годовую процентную ставку в размере 24%, ежемесячно начисляемую на процентную ставку на инвестиции в 1 доллар?
Используя уравнение 4.6, ваше богатство будет:
$1f1 + —» = $1X (1,02)12
я 12)
= 1,2682 доллара США
Годовая доходность составляет 26,82%. Эта годовая доходность называется эффективной годовой доходностью (TAE) или эффективной годовой доходностью (RAE). Из-за начисления сложных процентов эффективная годовая процентная ставка выше заявленной годовой процентной ставки в размере 24%. Алгебраически мы можем переписать эффективную годовую процентную ставку следующим образом:
Эффективная годовая ставка:
М-М-М
11+ — Я — 1 (4.7)
км. Дж
Студентам часто неудобно вычитать 1 в уравнении 4.7. Обратите внимание, что богатство в конце года состоит как из процентов, полученных в течение года, так и из первоначальной суммы основного долга. Первоначальный основной капитал удаляется путем вычитания 1 в уравнении 4.7.
смешивание частот. Если заявленная годовая процентная ставка в размере 8% начисляется ежеквартально, какова будет эффективная годовая ставка?
Используя уравнение 4.7, мы имеем:
Ф1 + — «р — 1 = f 1 + — — 1 = 0,0824 = 8,24%
что м Дж что4 — Дж
Возвращаясь к исходному примеру, где C0 = 1000 долларов США и r = 10%, можно создать следующую таблицу:
| С.0 | Частота компаундирования (м) | С.1 | ты . 1 эффективная годовая ставка5м мм эт +р-ï -1kм. Дж |
| 1000 долларов | Годовой ( м = 1) | 1100 долларов США | .10 |
| 1000 | Семестр ( м = 2) | 1 102,50 | .1025 |
| 1000 | Ежеквартально ( м = 4) | 1 103,81 | .10381 |
| 1000 | Ежедневно ( м = 365) | 1 105,16 | .10516 |
Различие между установленной годовой процентной ставкой и эффективной годовой ставкой
Различие между заявленной годовой процентной ставкой (TIAE) или TPA и эффективной годовой ставкой (TAE) часто вызывает проблемы у студентов. Мы можем уменьшить путаницу, подчеркнув, что IART имеет значение только в том случае, если задан интервал капитализации. Например, для IARR в размере 10% будущая стоимость в конце года с полугодовым начислением процентов будет [1 + (0,10/2)]2 = 1,1025. Будущая стоимость с ежеквартальным начислением сложных процентов составляет [1 + (0,10/4)]4 = 1,1038. Если IARR составляет 10%, но интервал начисления процентов не указан, мы не можем рассчитать будущую стоимость. Другими словами, мы не знаем, следует ли начислять проценты раз в полгода, раз в квартал или на основе какого-то другого интервала.
Напротив, годовая процентная ставка значима без интервала начисления процентов. Например, годовая ставка 10,25% означает, что инвестиция в 1 доллар будет стоить 1,1025 доллара через год. Мы можем думать об этом как о 10% TIAE с полугодовым начислением процентов, или 10,25% TIAE с годовым начислением процентов, или какой-то другой вариант.
Между TIAE и APR может быть большая разница, когда процентные ставки высоки. Например, рассмотрим «кредиты до зарплаты». Это краткосрочные кредиты для потребителей, часто на срок менее двух недель, и их предлагают такие компании, как AmeriCash Advance и National Payday. Вот как работают кредиты: сегодня вы выписываете просроченный чек. Когда наступает дата чека, вы идете в магазин и оплачиваете сумму чека наличными или компания обналичивает его. Например, AmeriCash Advance позволяет выписать чек на сумму 125 долларов США с опозданием, который будет обналичен через 15 дней. В этом случае сегодня они дали бы ящику 100 долларов. Таким образом, каковы APR и APR этого соглашения? Во-первых, нам нужно найти процентную ставку,
VF = VP(1 + r) T
125 долларов = 100 долларов х (1 + г)1
1,25 = (1 + г)
р =0,25 или 25%
Это не выглядит плохо, пока вы не вспомните, что это фиксированная 15-дневная процентная ставка! Следовательно, годовая процентная ставка по кредиту составляет:
ТПА = 0,25 х 365/15
Годовых = 6,0833 или 608,33%
Со своей стороны, годовая процентная ставка по этому кредиту составляет:
Годовых = (1 + r I m ) m — 1 Годовых = (1 +.25)365|15 — 1 Годовых = 227,1096 или 22 710,96%
Какие проценты! Просто чтобы понять разницу в день (или три), давайте рассмотрим условия National Payday. Эта компания позволяет вам выписать чек с отложенной датой на ту же сумму, но даст вам 18 дней для его оплаты. Убедитесь, что годовая процентная ставка по данному соглашению составляет 506,94 %, а годовая — 9 128,26 %. Эта ставка ниже, но это не кредит, который мы обычно рекомендуем.
Капитализация до нескольких лет
Уравнение 4.6 применяется для инвестиций сроком на один год. В случае срочных инвестиций на один или несколько лет (T) формула принимает следующий вид:
Будущая стоимость с начислением процентов:
мты
ВФ = С01 1 + — я (4.8)
км. Дж
Капитализация до нескольких лет. Гарри Де. Анджело инвестирует 5000 долларов по заявленной годовой процентной ставке 12% в год с ежеквартальным начислением сложных процентов в течение пяти лет. Каким будет ваше богатство через пять лет?
Основываясь на уравнении 4.8, ваше богатство будет:
5000 долларов X f 1 + —» = 5000 долл. США X (1,03) 20 = 5000 долл. США X 1,8061 = 9030,50 долл. США
к 4 )
непрерывное компаундирование
Приведенное выше обсуждение показывает, что мы можем начислять гораздо чаще, чем один раз в год. Он может составляться раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно, ежечасно, ежеминутно или даже чаще. Предельным случаем будет начисление каждого бесконечно малого момента времени, что обычно называется непрерывным начислением процентов. Удивительно, но банки и другие финансовые учреждения иногда указывают непрерывно начисляемые проценты, поэтому мы их изучаем.
Хотя мысль о такой быстрой капитализации вызывает сонливость, все, что для этого нужно, — это простая формула. При непрерывном начислении процентов стоимость на конец T лет выражается как:
С.0Xeты (4.9)
где C0 — первоначальная инвестиция, r — заявленная годовая процентная ставка, а T — количество лет, на которое покрывается инвестиция. Число e является константой и приблизительно равно 2718. Это не неизвестное, как C0, r и T.
непрерывное компаундирование. Линда Де. Фонд инвестировала 1000 долларов по постоянно начисляемой процентной ставке 10% в течение одного года. Какова будет стоимость вашего богатства через год?
На основании уравнения 4.9 имеем:
1000 долларов США X e0,10 = 1000 долларов США X 1,1052 = 1105,20 долларов США.
Эту цифру легко прочитать в таблице А.5. Просто установите r, значение по горизонтали, на 10%, а T, значение по вертикали, на 1. Для этой задачи соответствующая часть поля показана здесь:
| Период(ты) | Непрерывно начисляемая ставка (r) | ||
| 9% | 10% | одиннадцать% | |
| 1 | 1.0942 | 11.10521 | 1,1163 |
| 2 | 1.1972 | 1.2214 | 1,2461 |
| 3 | 1.3100 | 1,3499 | 1,3910 |
Обратите внимание, что ставка, начисляемая непрерывно в размере 10%, эквивалентна ставке, начисляемой ежегодно в размере 10,52%. Другими словами, Линду Де. Фонд не волнует, указывает ли банк ей ставку, начисляемую непрерывно в размере 10 %, или ставку, начисляемую ежегодно в размере 10,52 %.
ПРИМЕР 4.16
непрерывное компаундирование. Брат Линды Де. Фонд, Марк, инвестировал 1000 долларов по постоянно начисляемой ставке 10% сроком на два года.
Здесь подходящая формула:
1000 долларов США X e’10 x 2 X 1000 долларов США X e’20 = 1221,40 долларов США.
На основе части таблицы непрерывно начисляемых ставок, показанной в предыдущем примере, определяется значение 1,2214.
На рис. 4.11 показано соотношение между годовым, полугодовым и непрерывным начислением сложных процентов. Полугодовое начисление процентов приводит к более плавной кривой, а также к более высокому конечному значению, чем годовое начисление процентов. Непрерывное начисление процентов имеет как самую плавную кривую, так и самое высокое конечное значение из всех.
ПРИМЕР 4.17
Приведенная стоимость с непрерывным начислением процентов. Лотерея штата Мичиган выплатит вам 100 000 долларов по истечении четырех лет. Если постоянно начисляемая годовая процентная ставка составляет 8%, какова будет текущая стоимость этого платежа?
100 000 долларов X-80X4 = 100 000 долларов = 72 616-37 долларов США
Рисунок 4.11 — Годовой, полугодовой и непрерывный состав
4.4 Упрощения