Связь между математикой и музыкой, между Пифагором и Бахом
| Вид материала | Документы |
- I. Конфигурации аспектов 3 Глава, 1112.71kb.
- Самостоятельная работа студентов по теории и методике обучения математике, 359.95kb.
- Задачи: Определить связь между математикой и поэзией. Оценить влияние математических, 196.79kb.
- Н. А. Некрасова г. Санкт-Петербурга Учебная дисциплина: история Тема: «Бунташный век., 68.33kb.
- Закон мышления это необходимая, существенная, устойчивая связь между мыслями. Наиболее, 146.08kb.
- Тема «Между музыкой разных народов стран ближнего зарубежья (снг) нет непереходимых, 55.36kb.
- 2. Основные уравнения теории упругости и пластичности, 93.24kb.
- -, 1144.3kb.
- Реферат по дисциплине: «Радиотелефонные и сотовые коммуникационные системы» Тема: Спутниковая, 367.06kb.
- Тема: Софизмы, 213.67kb.
е
Связь между математикой и музыкой, между Пифагором и Бахом.
Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора – выдающегося математика, творца акустики, основоположника теории музыки, человека высокой нравственности, личности богатой, загадочной. Слова мелодия , ритм родились в Элладе, название слова «гамма» происходит от греческой буквы (гамма). Пифагорический музыкальный старт, определивший на столетия судьбу европейской музыки – это математика. Создание логарифмически равномерной 12-тонной музыкальной школы – итог современной деятельности музыкантов и математиков. В XVIII в. создается музыкальная акустика. После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего «физико-акустический прибор», музыку уже не отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония. Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляют интерес к музыке. Математическая теория музыки явилась вообще первой теорией музыки у греков. Иоганн Себастьян Бах первым продемонстрировал достоинства темперированного строя. Бах сочинил 48 прелюдий и фуг во всех возможных тональностях, помещенных в два сборника, которые называются «Хорошо темперированный клавир». (Клавир – старинное название клавесина).
Целые дни юный Пифагор проводил у ног старца Гермодаманта, слушая мелодии кифары, песни Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи великим мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения песен Гомера. Одним из четырех предметов в школе Пифагора была музыка, и Пифагора по праву считают творцом акустики и основоположником теории музыки. Арифметика – учение о количестве, выражаемое числом; музыка – учение, которое рассматривает числа по отношению в звуке; благодаря счастливому союзу, музыка получила прочный математический фундамент гамм и универсальный язык нот. Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия – консонансы, т. е. созвучия, получаются лишь в том случае, когда длины струн относятся как целые числа первой четверки, т. е. как 1:2, 2: 3, 3:4. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе.
Закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором. Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:
З а к о н 1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число.
10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.
З а к о н 2. Четверка чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр – лежит в основе построения различных музыкальных ладов. Лады состоят из основных ступеней. В основу гаммы пифагорейцы положили интервал октава – восемь. Далее октаву разделили на благозвучные части, и Пифагор обнаружил приятные слуху созвучия: квинта – пятая ступень, кварта – четвертая, октава – восьмая. Основа всей музыки – тетрахора.
По преданию, в античном мире четыре струны настраивались по тетраэдру. Музыкальная гамма до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов. Пифагорейцы не только нашли строгие математические построения музыкальных ладов, но заложили основу учения о каждом ладе. Пифагорейцев интересовал музыкальный строй. И они блестяще справились с задачей построения музыкальных ладов.
До – соль – ре – ля – ми – си – фа – полученные звуки собирались в октаву.
Чтобы научить правильному восприятию, чтобы выработать привычку к соразмерности, Пифагор сделал музыку основой восприятия. Читал из Гомера, перебирал струны, и с помощью музыки сдерживал и исцелял болезни, обращал и приводил душевные страсти в спокойное состояние. Судя по описаниям, это была особая музыка, она не соответствовала привычным представлениям о мелодии. Она строилась на гармоничном сочетании тонов, которые не связывались в определенную тему, но только создавали чистый звуковой фон, способствующий сосредоточению и уверенному течению мысли. Подобную музыку сейчас обозначают термином
new age – нью эйдж. И соединяет она шум моря, голоса птиц, звучание старинных и просто странных инструментов.
^ Что мы знаем о Греции VI в. до н. э? Какие музыкальные инструменты были у древних греков?
Мудрецы являлись властителями душ в конце VII – начале VI вв. до н. э., именно вера в могущество человеческого разума и одновременно восхищение им определяли духовный климат этой эпохи, которую стали называть «временем семи мудрецов». Называют их родину, имя, изречения: «Мера важнее всего», - говорил Клебул Линдский; «Познай самого себя», - проповедовал в Спарте Хилон; сдерживать гнев увещал Периандр, уроженец Коринфа»; «Лишку ни в чем!», - была поговорка милетинца Питтака; «Кто хочет править спокойно, пусть охраняет себя не копьями, а всеобщей любовью», - говорил Периандр. Соломон Адгинский: «Наслаждение бренно – честь бессмертна», «О мертвых хорошее или ничего».
Музыкальными инструментами древних греков были: флейта, труба, авлос (духовые), лира, кифара (струнные).
Пифагор делил струну на три, четыре, пять равных частей. При этом он получал разные по высоте звуки. Эти звуки он расположил по высоте. А расстояние между нижним и верхним назвали октава, т. е. восемь. Внутри октавы выстроились по порядку 8 звуков – ступенек. Этот ряд звуков – звукоряд – получил название Пифагоров звукоряд. Шло время и в системе Пифагора обнаружили неожиданные изъяны. И музыкант-ученый Веркхмейстер решил немного подправить звукоряд. Чуть повысил одни звуки, понизил другие, получив тем самым темперированный строй. Величайший немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах сочинил величественный цикл прелюдий и фуг (48). С тех пор, как в музыке начали применять инструменты с закрепленной (струной) высотой каждого звука, т. е. клавишные инструменты (орган, клавесин, клавикорд), где каждой клавише соответствует звук раз навсегда установленной постоянной высоты, встал вопрос о способе настройки этих инструментов.
Еще древнегреческие ученые опытным путем установили, что 2/3 натянутой на монохорде струны, приведенной в колебание, дают звук на чистую квинту выше основного тона, возникающего при колебании всей струны. Квинта – это расстояние между пятью звуками. Именно по чистым квинтам было принято настраивать органы и клавесины. Однако получалось, что, начиная с «до», каждая 12-я квинта не совпадала по звучанию с первоначальным звуком, а была выше (ход по квинтам: до – соль – ре – ля – ми – си – фа – до – соль – ре – ля – ми – си – до и си – это одна и та же клавиша, но в пифагорейском строе она издавала разный звук. Отдельные квинты звучали фальшиво. Их называли «волчьи квинты». Позже, в конце XVII в. – начале XVIII в., была изобретена равномерная темперация. (Темперация означает «приводить в порядок».)
Сущность ее в следующем: установленную разницу в звучании, т. е. 1/9 тона, разделили между 12-ю квинтами, и каждую уменьшили на эту часть тона. Этой разницы ( 1/108 тона) человеческий слух не улавливает. Теперь стало возможным применять при игре на инструментах любые интервальные сочетания, любые тональности.
^ Как назывался первый музыкальный инструмент Пифагора.
Первым музыкальным инструментом Пифагора был монохорд. Инструмент под названием монохорд в переводе означает «однострун».
Монохорд – один из первых шагов на пути к рождению фортепиано. Ему было суждено сыграть в истории музыки огромную роль. Именно он является предком нынешнего фортепиано.
^ Как в дальнейшем изменялся монохорд.
Сначала к его единственной струне добавили еще одну, а затем стали натягивать все большее число струн. Позднее играли на нескольких струнах. Появился инструмент цилибалы, на Руси – гусли. В средние века (XIV в.) знали и пользовались органом. Вот и пришла к кому-то в голову замечательная мысль: приспособить клавиатуру к многострунному монохорду. Так появились клавикорд, клавесин, а затем фортепиано.
^ Что означает буква «и» в имени Пифагора.
Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул. Пифагор значит «убеждающий речью». Этимология связывает наречение с культом Аполлона Пифийского. Вторая буква в имени Пифагора («и» греческое) являет собой графическое изображение выбора двух дорог: пути добродетели и пути порока. Вплоть до средних веков было распространено выражение: «По пифагоровой букве выбирать дорогу», т. е. выбирать достойный путь на пересечении жизненных стезей. Пифагорова буква «и» (греческая) есть в гербе города Саратова.
^ Какие слова Пифагора нам известны? Какие математические открытия сделал Пифагор?
«Любым способом следует избегать и отсекать огнем, железом, любыми средствами от тела - болезнь, от души – невежество, от желудка – излишество, от города – смуту, от дома – разногласие, от всего в целом – неумеренность», - говорил Пифагор.
С именем Пифагора многое в математике связано, в первую очередь теорема, носящая его имя. Пифагор обосновал многие свойства геометрических фигур. Он и его последователи заложили основы систематических доказательств в геометрии. Они ввели в научный оборот такие понятия, как точка, не имеющая длины и ширины; линия, которая имеет только длину, и фигуры, составленные из таких линий. Громадная заслуга древних греков в развитии науки состоит в том, что они находили причины и выводили из них соответствующие следствия. Каждое утверждение доказывалось посредством логических рассуждений. Доказав какое-либо положение, математик применял его при доказательстве следующего положения или утверждения, а затем переходил к доказательству нового. В Древней Греции сложились основы науки геометрии, в которой каждое утверждение обосновывалось строгим доказательством. Лишь основные понятия – аксиомы были приняты как истины, не требующие доказательств. Такой строго обоснованной науки до этого не было ни у одного народа.
^ Какая музыка звучала в школе Пифагора? Кто первым употребил слово «космос»?
В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали огромную школу и создали государство, названное «Великая Греция», в основу которого были положены законы и правила Пифагора, почитаемые как божественные заповеди.
Любимое детище великого эллинского мудреца – пифагорейский союз. Это был союз истины, добра и красоты. Обучение в школе Пифагора было двухступенчатым. Одни ученики назывались математиками, т. е. познавателями, а другие – акусматиками, т. е. слушателями. Пифагорейская система знаний состояла из четырех разделов:
- Арифметика (учение о числах).
- Геометрия (учение о фигурах и их измерениях).
- Музыка (учение о гармонии и теории музыки).
- Астрономия (учение о строении Вселенной).
«Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?»
«Вот сколько, - ответил философ. – Половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины».
В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория музыки.
Не музыкантов готовила школа Пифагора, она готовила людей, которые искали гармонию мира, живущего в тени звезд. Искали в себе человека, искали музыку небесных сфер. Дни и ночи в школе великого грека связывались точными аккордами. «Две есть поры, самые важные для мышления: когда идешь ко сну и когда встаешь ото сна». Утром сонное оцепенение снималось напевами – минутным сочетанием лиры и голоса. Потом ученики совершали прогулки в местах тихих и безлюдных, там, где отбрасывают тени храмы, священные рощи, где пламенное море, шум крыльев, оливковые деревья, тат, где нет ни одной скользящей тени, кроме твоей, потому что не следует встречаться с кем-либо, пока не приведешь в порядок собственную душу и не настроишь разум на соразмерный лад.
После измеренной шагами тишины – занятия.
Гимнастика, бег, борьба.
Изучение разных законодательств, чужеземных и необычных.
Опять прогулка, во время которой новички – с первого по пятый класс, видимо, плелись молча, пиная камешки, а остальные, по совету учителя, беседовали друг с другом, обсуждая только что услышанное. Потом математика, изучение путей звезд и познание летучих секретов души. А вечером огромная школа внимала торжественным песнопениям, примирявшим с мыслью о мироздании.
В свою школу Пифагор принимал тех, кто очистил душу музыкой и тайной гармонией чисел. С Пифагора в математике стал господствовать греческий стиль мышления – это явилось главной причиной ее сегодняшнего расцвета. В важнейшем философском вопросе о природе первоначал Пифагор избрал путь, который из античности вел прямо в современность.
Пифагор назвал звездный мир словом «космос», что на языке его далекой родины означало: порядок, совершенство, прекрасная обустроенность. У пифагорейцев было понятие о числе человека, лошади, собаки. Подобными значками человек стал заниматься недавно – с открытием информатики.
^ Когда и где родился Пифагор? Кто были его родители?
В VI веке до нашей эры средоточием греческой науки и искусства стала Иония – группа островов Эгейского моря, расположенных у берегов Малой Азии. Там в семье золотых дел мастера, резчика печатей и гравера Мнесарха родился сын. По преданию, однажды Мнесарх со своей женой Парфенисой приплыл в неурожайный год на остров Самос в 576 г. до н. э. по своим торговым делам. Там на острове и родился его сын Пифагор, которого отец часто брал с собой в деловые поездки. Благодаря им у мальчика развились любознательность и желание познать новое. Мнесарх дал сыну хорошее воспитание и образование. Как всякий отец, он мечтал, что сын будет продолжать его дело – ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.
Прожил Пифагор 80 лет. Умер в 496 г. до н. э.
^ Пифагор – философ.
Пифагор был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией (любомудрием). Пифагор был «выдающимся философом», т. е. учителем мудрости. «Ум сам по себе все видит и все слышит, прочее же слепо и глухо!». Не перечислить всего, чему учили в школе Пифагора, а учили там хорошо. Правители и народы доверяли свои государства ее выпускникам. Человечество на протяжении своей истории вновь открывает те идеи, которые пифагорейцы обсуждали еще два с половиной тысячелетия назад. Сам Пифагор не был особенно озабочен тем, как прославить и увековечить свое учение. Он создавал не только учение, но и творил образ жизни, при котором оно могло быть правильно воспринято.
^ Как понимать слова «Все есть число»?
Пифагор создал самую яркую и самую современную «религию»: воспитал в человечестве веру в могущество разума, уверенность в том, что ключом к тайнам мировоззрения является математика. Музыка для Пифагора стала даже не средством вдохновения, а предметом научных изысканий, и именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису: «Все есть число». 2500 лет назад Пифагор направил людей по пути торжества Разума.
Весь мир, утверждал Пифагор, есть распределенная по числам гармония. А числа эти образуют соотношения, что и интервалы между различными ступенями гаммы. Названиями интервалов в музыке служат латинские числительные, которые указывают порядковый номер ступени: октава – 8 , квинта – 5, кварта – 4 и т. д.
Издавна числа казались людям чем-то таинственным. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя и, вместе с тем, числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать... Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства. Основателем мистического учения о числах стал знаменитый древнегреческий философ VI в. до н. э. Пифагор. Он и его последователи считали, что все в природе измеряется, все подчиняется числу, и познать мир – это значит познать управляющие им числа. Пифагорейцы разбили числа на четные и нечетные. Четные числа считались мужскими, нечетные – женскими. Одни числа считались счастливыми, несущими добро и радость, другие – несчастливыми, несущими зло и горе. От Пифагора и его последователей и пошли всякие суеверия, связанные с числами.
^ Пифагор: Легенда или быль?
Пифагору повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных. Пифагор не только самый популярный ученый за всю историю человечества, но и самая загадочная личность, человек – символ и человек – фантом, философ и пророк. Основоположник дедуктивного научного знания – математики и родоначальник многих мистических знаний, учредитель религиозно-эпического братства и создатель научно-философской школы, ставшей воистину союзом Истины, Добра и Красоты. Пифагор – Учитель, повел за собой других, провозгласил учения, которые просуществовали тысячелетия и во многом определили будущую историю цивилизации. Математика Пифагора – неизвестная нам наука. Современная математика заняла бы в ней не больше одного раздела. Пифагор превратил математику в дедуктивную науку: ввел доказательство. Практическая геометрия, опиравшаяся ранее только на наблюдения и опыт, трудами древних греков получила строгие научные обоснования – доказательство каждого высказанного положения. Сами греки связывали рождение геометрии как науки с деятельностью Пифагора.
Особенно много суеверий связано с числом 3. Те, кто считает его счастливым, говорят: «Бог любит троицу». Другие, напротив, считают его несчастливым. Отсюда и ругательное слово «треклятый». Число 3 играло важную роль в магических обрядах. В сказках судьба испытывает героя трижды. В русских сказках у царя обычно три сына, есть и немецкая сказка «Три брата», японская – «Три сокровища» и другие.
Число 9 – утроенный вариант тройки. Во многих преданиях говорится о девяти музах. У многих народов 9 – символ опасности, отсюда идет выражение «девятый вал». Многие сказки начинаются со слов «за тридевять земель»? Утроенная девятка сулила большие приключения...
Другое «волшебное» число – 7: семь чудес света; семь дней недели; семь цветов радуги. Герои сказок надевают семимильные сапоги и сражаются с драконами о семи головах. Число 7 чаще других встречается в поговорках и пословицах: «Семь раз отмерь, один раз отрежь»; «Семеро одного не ждут»; Семь бед – один ответ»; «Семь пятниц на неделе»...
О «чертовой дюжине» слышали все. Это число 13. Его считают несчастливым. Все, кроме итальянцев. У них это число счастливое.
Есть еще одно очень «несчастливое» число – 41. Считается, что это число несет смерть. Зато число 40 – счастливое. По поверьям, убить паука – значит избавиться от 40 грехов. Число 40 играло большую роль в русской метрологии. Пуд содержал 40 фунтов, бочка – сорок ведер.
Особенно зловещим считали число 666. В Библии его называют «числом зверя». Под ним якобы скрывается освободившийся из заключения дракон.
С числами было связано много предсказаний. У древних евреев была даже наука – кабалистика. С помощью числовых гаданий они пытались узнать грядущую судьбу.
^ Пресс-конференция «ПИФАГОР И МУЗЫКА».
Цели: формирование познавательного интереса учащихся как определяющий
фактор в самореализации учащихся;
воспитание любви и уважения к своей национальной, современной
периодической литературе.
Технология: коммуникативных отношений (диалога).
Ход конференции.
Оформление: портрет Пифагора, портрет Баха, плакат «Музыкальные интервалы», герб города Саратова, фото ракеты «Вояджер», теорема Пифагора, рисунок треугольного числа, модели объемных геометрических тел.
Эпиграф: «О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух?
И опыт – сын ошибок трудных,
И гений – парадоксов друг»?
- (Звучат фуги Баха). ^ Вступительное слово учителя:
Сейчас вы слышали музыку, которую написал немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах, живший в 18 веке. Именно он развил основу музыкальной грамоты Пифагора – великого математика-философа, жившего в VI веке до н. э.
Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математическая теория музыки явилась вообще первой теорией музыки у греков. А Иоганн Себастьян Бах первым продемонстрировал достоинства темперированного строя.
Особый вклад в признание величия Баха находится в космосе, в тысячах миль от Земли. В 1977 г. (30 лет назад) был запущен космический корабль Вояджер, на борту которого находится золотой диск с музыкой Баха, готовый зазвучать, если этот корабль встретит жизнь на других планетах. И первыми звуками, представляющими наше человечество другим внеземным цивилизациям, будет «Бранденбургский концерт №2».
А 4 октября отмечалось 50 – летие запуска первого космического корабля (1957 г.), первого искусственного спутника Земли.
Ребята, сегодня мы с вами проводим пресс-конференцию, которая называется «Пифагор и музыка», в ходе которой вы познакомитесь с величайшим ученым – математиком, философом, творцом акустики, основоположником теории музыки, человеком высокой нравственности, личности интересной и загадочной. Я говорю о Пифагоре.
Прежде, чем начать нашу конференцию, я хотела бы сказать о том, что ранее у нас проходил конкурс на изготовление моделей многогранников, и лучшие работы вы сейчас можете видеть на выставке.
Среди представленных тел найдите тетраэдр.
В нашей конференции принимают участие – герои нашей программы – команда знатоков – учащиеся 9 «А» класса (перечислить их имена, они сидят за столами лицом к залу, в мантиях и шляпах мудрецов) и корреспонденты различных широко известных в области математики, информатики и физики газет и журналов, - учащиеся 6 «Б» класса (перечислить их имена).
Итак, начнем.
- Пресс-конференция.
- Корреспондент журнала «Математика в школе», Новикова Маргарита, ученица 6»Б» класса. Вопрос:
«Какая связь между математикой и музыкой? Между Пифагором и Бахом?»
Ответ: Чеснакова Екатерина и Енина Ракель.
2) Корреспондент газеты «Первое сентября», Лукашенко Наталья, ученица 6 «Б» класса. Вопрос:
«Когда и где родился Пифагор? Кто были его родители?»
Ответ: Данишина Мария.
3) Журнал «Знание – сила», собственный корреспондент Короваев Александр, ученик 6 «Б» класса. Вопрос:
«Что мы знаем о Греции VI в. до н. э.? Какие музыкальные инструменты были у древних греков?»
Ответ: Суровцева Марина.
4) Корреспондент журнала «Образование», Овсянникова Анастасия, ученица 6 «Б» класса. Вопрос:
«Что означает вторая буква «и» в имени Пифагор?»
Ответ: Борисова Наталья (показывает герб Саратова).
5) Газета «Учитель», собственный корреспондент Трушин Артем, ученик 6 «Б» класса. Вопрос: «Как назывался первый музыкальный инструмент Пифагора?»
Ответ: Борисова Наталья.
6) Корреспондент журнала «Техника молодежи» Баринова Мария, ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Как в дальнейшем изменялся монохорд?»
Ответ: Борисова Наталья.
7) Корреспондент журнала «Квант», Ткаченко Александр, ученик 9 «А» класса. Вопрос:
«Какие слова Пифагора нам известны? Какие математические открытия сделал Пифагор?»
Ответ: Сальхина Наталья.
8) «Соросовский образовательный журнал», корреспондент Максимова Дарья, ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Расскажите о Пифагоре – философе».
Ответ: Сальхина Наталья.
9) Корреспондент журнала «Наука и жизнь», Аникин Алексей, ученик 9 «А» класса. Вопрос:
«Как понимать слова «Все есть число»?»
Ответ: Бурмистров Григорий.
10) Корреспондент журнала «Открытый урок», Кондратьева Яна, ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Какая музыка звучала в школе Пифагора? Кто первым употребил слово «космос»?»
Ответ: Антонов Дмитрий.
11) Собственный корреспондент журнала «Древо познания», Бородин Сергей, ученик 9 «А» класса. Вопрос:
«Пифагор: легенда или быль?»
Ответ: Данишина Мария.