Шошина Людмила Ивановна, учитель математики высшей квалификационной категории школы №887 зао урок

Вид материала

Содержание

I. Историческая справка.
II. Приращение функции.
V. Дифференциал.

Подобный материал:

Хуснутдинова Накия Гараевна, учитель географии и биологии высшей квалификационной категории, 231.92kb.
Зюхина Лариса Анатольевна, учитель биологии высшей квалификационной категории школы, 245.22kb.
Норкина Светлана Юрьевна, учитель математики высшей квалификационной категории, педстаж, 62.83kb.
Сечина Людмила Владимировна, учитель высшей категории моу «Петуховская средняя общеобразовательная, 612.61kb.
Старостина Ирина Ивановна, учитель французского и немецкого языков высшей квалификационной, 130.25kb.
Поваляева Галина Ивановна, учитель математики I(первой) квалификационной категории, 531.83kb.
Максимова Людмила Петровна, учитель высшей квалификационной категории Смотерчук Елена, 2287.25kb.
Барышева Ольга Ивановна, учитель истории и обществознания высшей квалификационной категории,, 83.43kb.
Калита Людмила Ивановна учитель информатики высшей категории сш №23 Ленинского р-на, 237.8kb.
Анализ работы рмо учителей иностранных языков 2010-2011 учебный год, 126.56kb.

Шошина Людмила Ивановна, учитель математики высшей квалификационной категории школы № 887 ЗАО

Урок-лекция с использованием компьютерных технологий по теме «Производная и дифференциал». 10 класс.

Цель урока: Познакомить учащихся с теоретической основой производной и дифференциала и практической направленностью этой темы.

Оборудование урока: компьютер, медиапроектор, экран, авторская презентация (слайды) к уроку, сделанная в программе Power Point. Лекция сопровождается демонстрацией слайдов на экране.

Продолжительность урока: 45 минут.

Эта тема в математике занимает важное место, именно здесь закладываются основы аналитического мышления, формируется соответствующая интуиция, развивается логика и культура использования функциональных обозначений и методов.

^ I. Историческая справка.

Предметом изучения математического анализа являются количественные соотношения действительного мира. Эти соотношения выражаются с помощью числовых величин, в арифметике это постоянные величины, а в анализе переменные величины. В основу изучения зависимости между переменными величинами кладут понятия функции и предела.

Методы математического анализа получили своё развитие в XVII веке. На рубеже XVII – XVIII веков Ньютон и Лейбниц, в общем и целом, завершили создание дифференциального и интегрального исчисления, а также положили основу учения о рядах и дифференциальных уравнениях. В XVIII веке Эйлер разработал последние два раздела и заложил основу других дисциплин математического анализа. К концу XVIII века накопился огромный фактический материал, но он был недостаточно разработан в логическом отношении. Этот недостаток был устранён усилиями крупнейших учёных XIX века, таких как Коши во Франции, Лобачевского в России, Абеля в Норвегии, Римана в Германии и других.

^ II. Приращение функции.

Определение:

Разность

называется приращением аргумента при переходе от

, а разность

– приращением функции

при этом переходе.

f(x) где

f(x)-f(a)

f(a)

0 ax x

h

Чтобы найти приращение функции f при переходе от a к a+h надо:

найти значение функции f в точке a;
найти значение функции f в точке a+h;
из второго значения вычесть первое.

Пример 1.

Найти приращение функции

при переходе от

Решение.

Ответ: .

III. Дифференцируемые функции.

Имеем график функции

Если мы будем рассматривать достаточно малые промежутки, то график этой функции будет почти совпадать с прямой, то есть мы будем говорить об этой функции, что она дифференцируема (то есть линейна в малом).

Определение:

Функция f называется дифференцируемой в точке а, если её приращение при переходе от

можно представить в виде:

где k – число, а функция α бесконечно мала при h→0.

Линейная функция дифференцируема при любых значениях х.

Пример 2.

Докажем, что функция

дифференцируема при любых значениях х.

Решение.

В примере 1 приращение функции

имеет вид

Если положить

то правая часть равенства примет вид

причём

.

Тем самым доказано, что функция

дифференцируема при всех х.

Следующий пример выполняется учащимися самостоятельно в классе.

Пример 3.

Докажем, что функция

дифференцируема при любых значениях х.

Решение.

;

То есть функция y=x³ дифференцируема при любых значениях х.

IV. Производная.

Если функция дифференцируема, то её приращение можно записать в виде:

Выразим из этого равенства k:

,

Но α→0 при h→0, следовательно,

.

Справедливо и обратное утверждение.

Итак, мы доказали теорему:

Теорема:

Функция f дифференцируема в точке х в том и только в том случае, когда существует предел

(1)

В этом случае , где

Значение k, даваемое формулой (1), зависит от выбора х. Поэтому, если функция f дифференцируема во всех точках промежутка Х, то каждому значению х из Х соответствует своё значение k. Этим определяется новая функция на Х, которую называют производной от функции f и обозначают f′.

Определение:

Производной функции f называется функция f′, значение которой в точке х выражается формулой

Значение производной от функции f в точке х равно пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Найти производную функции