Программа дисциплины визуализация математических расчетов в matlab-2 для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра 1 модуль 2 курса

Вид материала

Содержание

Тематический план учебной дисциплины
Формы контроля знаний студентов
Содержание программы
Методы Ньютона и Ньютона-Рафсона. Визуализация бассейнов притяжения на комплексной плоскости (фракталы)
Оптимизация программ в MATLAB

Подобный материал:

Министерство экономического развития и торговли

Российской Федерации

Государственный университет -

Высшая школа экономики

Факультет экономики

Программа дисциплины

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ В MATLAB-2

для направления 010500.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра

1 модуль 2 курса

Автор: Ф.Л.Быков

Рекомендована секцией Одобрена на заседании кафедры

"Математические и статистические высшей математики методы в экономике" факультета экономики

Председатель Зав. кафедрой

__________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________

«_____» _______________ 200 г. «____»_____________________ 200 г.

Утверждена УС факультета

экономики

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________200 г.

Москва

^ Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего	Аудиторные часы		самост. работа
		часов	лекции	семинары	самост. работа
I	Матричная алгебра в MATLAB. Метод Гаусса для решения СЛАУ. Метод наименьших квадратов	4	0	4
II	Методы Ньютона и Ньютона-Рафсона. Визуализация бассейнов притяжения на комплексной плоскости (фракталы)	2	0	2
III	Визуализация для решений дифференциальных уравнений и систем. Методы Рунге-Кутты	4	0	4
IV	Интерполяция и аппроксимация функций	2	0	2
V	Графический интерфейс пользователя (GUI) в MATLAB	2	0	2
VI	Оптимизация программ в MATLAB	2	0	2
	Итого	16		16

^ Формы контроля знаний студентов

Промежуточный контроль: контрольные работы на занятиях.

Итоговый контроль: зачет (теоретический вопрос и задача, решение которой подразумевает использование компьютера с MATLAB, время зачета неопределенное).

Итоговая оценка О по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма О=0,3*К+0,7*З с округлением вверх до целого числа баллов. В формуле К обозначает среднее от 10-балльных оценок за контрольные работы, З - 10-балльную оценку за зачет. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:

• 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно,

• 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно,

• 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо,

• 8 ≤ O ≤10 -отлично.

^ Содержание программы

Тема I. Матричная алгебра в MATLAB. Метод Гаусса для решения СЛАУ. Метод наименьших квадратов

Способы задания матриц и многомерных массивов. Способы обращения к отдельным элементам массива, строкам или столбцам. Основные арифметические операции. Ограничения на размеры матриц. Поэлементные операции над матрицами. Использование операции \ для решения линейных систем. Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Построение базиса в пространстве решений. Матрица Гильберта. Простейший метод наименьших квадратов и его визуализация.

Задачи

Вычислите матрицу, обратную к матрице 30 порядка следующего вида:
.
Найдите максимальный порядок матрицы Гильберта a_ij=(1+i+j)^-1, для которой линейная система с правой частью, соответствующей решению из единиц, решается методом Гаусса с погрешностью не более 10^-3.
Пусть Y=1,2,…,10. При каких Y однородная система имеет нетривиальные решения? Постройте в этом случае базис в подпространстве решений системы.

Основная литература.

1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005.

2. В. П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — Численные методы, 2003

4. 4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'', 2001.

Дополнительная литература

ссылка скрыта

Тема II. ^ Методы Ньютона и Ньютона-Рафсона. Визуализация бассейнов притяжения на комплексной плоскости (фракталы)

Метод Герона поиска квадратного корня. Метод Ньютона поиска корней уравнения. Зависимость от начального приближения. Визуализация бассейнов притяжения на комплексной плоскости для поиска корней многочлена. Метод Ньютона-Рафсона. Примеры.

Задачи

Методом Ньютона приближенно вычислите корень уравнения sin(x)=ctg(x).
Методом Ньютона-Рафсона вычислите приближенно корень системы уравнений sin x=tg y, x²+y²=1.
Для функции arctg x найдите все начальные условия, для которых метод Ньютона сходится.

Основная литература.

1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005.

2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.

3. В. П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — Численные методы, 2003

5. 5. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'', 2001.

Тема III. Визуализация для решений дифференциальных уравнений и систем. Методы Рунге-Кутты

Сведение дифференциального уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка. Порядок аппроксимации. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Правило Рунге. Экстраполяция по Ричардсону. Построение фазового портрета. Остановка в момент времени, когда выполняется условие типа равенства. Определение зависимости периода колебаний маятника от амплитуды. Визуализация колебаний математического маятника.

Задачи

Решите задачу Коши x’’+x’+1=0, x(0)=1, x^’(0)=2, -5
Постройте фазовый портрет системы x’’=-sin (x).
Найдите период решения системы Лотки-Вольтерра x’=x(1-2y), y’=y(-2+3x) для начальных условий (1,1).

Основная литература.

1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — Численные методы, М., 2003.

3. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

4. В.П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008.

5. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'', 2001.

Тема IV. Интерполяция и аппроксимация функций

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Построение кубического многочлена по значениям функции и производной на концах отрезка. Устойчивость интерполяционного многочлена к шумам в данных интерполяции. Оценка константы Лебега для данной сетки. Кубические сплайны и граничные условия для них. Скорость сходимости сплайна к интерполируемой функции.

Задачи

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа (степени N), принимающий в точках те же значения, что и функция при N=3,4…,10. Оценить погрешности аппроксимации функции интерполяционным многочленом в норме при различных N. Построить график зависимости погрешности от N.
То же, но дополнительно на краях отрезка многочлен (степени N+2) использует значения производной f’=1.
Те же задания, но норма погрешности определяется в смысле или .
Те же задания, но используется интерполяционный кубический сплайн с граничными условиями 1)S’(0)=S’(2pi)=0; 2) S’(0)=S’(2pi)=1; 3)S’’(0)=S’’(2pi)=0.

Основная литература.

1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005

2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.

3. В.П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008

4. 4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'', 2001.

Тема V. Графический интерфейс пользователя (GUI) в MATLAB

GUIDE - средство для создания GUI. Типы объектов GUI. Программирование GUI-приложений.

Задачи

В строке ввода пользователь может ввести символьное выражение для функции. В отдельных ячейках вводятся концы отрезка и шаг. Программа строит график погрешности интерполяции для выбранного переключателем метода интерполяции (по ближайшему значению, линейная, сплайн).
Тоже, но программа строит график первообразной функции по выбранному методу численного интегрирования (формула прямоугольников, трапеций, Симпсона).

Основная литература.

1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005

2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.

3. В.П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008

4. 4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'', 2001.

Дополнительная литература

ссылка скрыта

Тема V^ . Оптимизация программ в MATLAB

MATLAB как интерпретируемый язык программирования. Способы векторизации циклов для ускорения выполнения программы на языке MATLAB. Разреженные матрицы. Встраивание программ на языке C в MATLAB

Задачи

Не используя циклы на языке MATLAB (можно использовать циклы на языке C), напишите программу, которая по заданным n и m – размерам матрицы, строит матрицу, элементы которой вычисляются по формуле . Найдите ее собственные значения.
Не используя циклы на языке MATLAB (можно использовать циклы на языке C), напишите программу, которая по заданному n - порядку матрицы, строит матрицу следующего вида:

. Найдите ее собственные значения.

Не используя циклы на языке MATLAB (можно использовать циклы на языке C), напишите программу, которая по заданному n создает строку следующего вида: .
Не используя циклы на языке MATLAB (можно использовать циклы на языке C), напишите программу, которая по заданному вектору длины n вычисляет его дискретное преобразование Фурье: .

Основная литература.

1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005

2. В.П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008

3. 4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'', 2001.

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.

Кроме того на протяжении курса студентам выдаются домашние задания, где решение требует комбинированного подхода: аналитические соображения + численная компьютерная реализация. Задачи, как правило, содержащие индивидуальный параметр или параметры.

© В.А. Гордин, Ф.Л. Быков

Blog

Содержание