Лекция №8
Вид материала | Лекция |
СодержаниеM принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда n M0 и перпендикулярную вектору n 2.1.2. Условия параллельности и перпендикулярности 2.1.3. Расстояние от точки до плоскости |
- «Социальная стратификация и социальная мобильность», 46.19kb.
- Первая лекция. Введение 6 Вторая лекция, 30.95kb.
- Лекция Сионизм в оценке Торы Лекция Государство Израиль испытание на прочность, 2876.59kb.
- Текст лекций н. О. Воскресенская Оглавление Лекция 1: Введение в дисциплину. Предмет, 1185.25kb.
- Собрание 8-511 13. 20 Лекция 2ч режимы работы эл оборудования Пушков ап 8-511 (ррэо), 73.36kb.
- Концепция тренажера уровня установки. Требования к тренажеру (лекция 3, стр. 2-5), 34.9kb.
- Лекция по физической культуре (15. 02.; 22. 02; 01. 03), Лекция по современным технологиям, 31.38kb.
- Тема Лекция, 34.13kb.
- Лекция посвящена определению термина «транскриптом», 219.05kb.
- А. И. Мицкевич Догматика Оглавление Введение Лекция, 2083.65kb.
Лекция № 8 (20.10.09)
Глава 2. Линейные уравнения на плоскости и в пространстве
§ 2.1. Прямая линия на плоскости и плоскость в пространстве
2.1.1. Основная теорема
Рассмотрим общий вид линейного уравнения (т. е. уравнения первой степени) в трёхмерном пространстве:
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
и на плоскости:
Ax + By + C = 0. (2)
Обозначим через n вектор {A; B; C} (в двумерном случае {A; B}).
Основная теорема. Если n ≠ 0, то уравнение (1) является уравнением плоскости, а уравнение (2) − прямой линии. При этом вектор n ортогонален этой плоскости или прямой.
Доказательство буду вести для трёхмерного случая, для двумерного рассуждение аналогично.
Обозначим через Γ множество всех тех и только тех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Нам надо доказать, что Γ есть плоскость, перпендикулярная n.
Убедимся прежде всего, что множество Γ непусто. Хотя бы одно из чисел A, B и C не равно 0. Пусть, например, B ≠ 0. (Для других случаев рассуждение аналогично.) Будем искать точку (x0; y0; z0), удовлетворяющую уравнению (1) и дополнительным условиям x0 = 0 и z0 = 0. Получаем уравнение
By0 + D = 0,
которое имеет (единственное) решение


Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. (1)
Вычитая из уравнения (1) равенство (1), мы получаем новое уравнение
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0, (1*)
очевидным образом равносильное уравнению (1) (т. к. мы можем вернуться к уравнению (1), прибавляя к уравнению (1*) равенство (1)). Значит, уравнение (1*) определяет то же самое множество Γ.
Возьмём теперь произвольную точку M = (x; y; z) из множества Γ и распишем координаты вектора

{ x − x0; y − y0; z − z0}.
Уравнение (1*) можно записать теперь так:
(n,

Это новое равенство (3) показывает нам, что точка ^ M принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда n


Следствие из теоремы. Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами (x0; y0; z0) и ортогональной данному ненулевому вектору с координатами {A; B; C}, имеет вид:
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
(в двумерном случае уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (x0; y0) и ортогональной данному ненулевому вектору с координатами {A; B}, есть A(x − x0) + B(y − − y0) = 0).
Примечания. 1. Заметим, что выполнение неравенства n ≠ 0 в условии теоремы существенно, ибо если n = 0, то в трёхмерном случае мы получим либо пустое множество (если D ≠ 0), либо всё пространство (если D = 0). Равным образом в двумерном случае получим либо пустое множество (если C ≠ 0), либо всю плоскость (если C = 0).
2. Верно и обратное утверждение: любая плоскость в трёхмерном пространстве обладает уравнением вида (1), а любая прямая на плоскости − уравнением вида (2).
Доказательство (для трёхмерного случая). Возьмём произвольный вектор n = {A; B; C} ≠ 0, ортогональный данной плоскости, и произвольную точку M0 = (x0; y0; z0), ей принадлежащую. Рассмотрим уравнение (1*). По основной теореме оно определяет плоскость, перпендикулярную вектору n. Очевидно также, что эта плоскость проходит через точку M0. Но такая плоскость единственна и совпадает с данной.
Определение. Уравнения (1) и (2) называются общими уравнениями соответственно плоскости и прямой.
^ 2.1.2. Условия параллельности и перпендикулярности
1. Условие компланарности двух плоскостей
Пусть даны две плоскости:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, n1 = {A1; B1; C1} ≠ 0; (1)
A2x + B2y + C2z + D2 = 0, n2 = {A2; B2; C2} ≠ 0. (2)
Когда они компланарны (т. е. параллельны или совпадают)? Очевидно, это будет тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны. Применяя критерий компланарности, получаем
Предложение 1. Две плоскости компланарны тогда и только тогда, когда векторное произведение их нормальных векторов равно нулевому вектору:
[n1, n2] = 0.
2. Условие совпадения двух плоскостей
Предложение 2. Плоскости (1) и (2) совпадают тогда и только тогда, когда все четыре их коэффициента пропорциональны, т. е. существует такое число λ, что
A2 = λA1, B2 = λB1, C2 = λC1, D2 = λD1. (3)
Доказательство. Пусть условия (3) выполнены. Тогда уравнение второй плоскости может быть записано так:
λA1x + λB1y + λC1z + λD1 = 0.
λ ≠ 0, иначе было бы A2 = B2 = C2 = D2 = 0, что противоречит условию n2 ≠ 0. Следовательно, последнее уравнение эквивалентно уравнению (1), а это означает, что две плоскости совпадают.
Пусть теперь, наоборот, известно, что данные плоскости совпадают. Тогда их нормальные векторы коллинеарны, т. е. существует такое число λ такое, что
A2 = λA1, B2 = λB1, C2 = λC1.
Уравнение (2) можно теперь переписать в виде:
λA1x + λB1y + λC1z + D2 = 0.
Умножим уравнение (1) на λ, получим равносильное уравнение первой плоскости (т. к. λ ≠ 0):
λA1x + λB1y + λC1z + λD1 = 0.
Возьмём какую-нибудь точку (x0, y0, z0) из первой (а следовательно, и второй) плоскости и подставим её координаты в последние два уравнения; получим верные равенства:
λA1x0 + λB1y0 + λC1z0 + D2 = 0 ;
λA1x0 + λB1y0 + λC1z0 + λD1 = 0.
Вычитая из верхнего нижнее, получим D2 − λD1 = 0, т. е. D2 = λD1, QED.
3. Условие перпендикулярности двух плоскостей
Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы были перпендикулярны.
Предложение 3. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение нормальных векторов равно нулю:
(n1, n2) = 0.
^ 2.1.3. Расстояние от точки до плоскости
Пусть дано уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0,
и точка M0 = (x0, y0, z0). Выведем формулу расстояния от точки до плоскости:

Возьмём произвольную точку Q = (x1, y1, z1), лежащую в данной плоскости. Её координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.
Заметим теперь, что искомое расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора



QED.
Аналогичная формула справедлива для расстояния d от точки M0 = (x0, y0) плоскости до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0:
