Iii электрическое смещение

Вид материала

Документы

Содержание Электрическая сила E=f/q, причем предполагается, что помещение заряда q Силовыми линиями ОА продолжается от точки А А в бесконечность. Величина этого интеграла, вообще говоря, может зависеть от выбора пути перехода из точки А Градиент, потенциала. U=const Отсюда следует, что, избрав направление l Теорема Пуассона. Теорема Лапласа.

Подобный материал:

• Мониторинг 06. 12. 2011, 452.61kb.
• Пятая тема. Предпосылки возникновения теории относительности. Законы электродинамики, 513.06kb.
• Расчетно-графическое задание №5. Колебания, 246.73kb.
• «смещение потенциала нейтрали в четырехпроводной трехфазной электрической цепи», 108.07kb.
• Iii. Продукия, ее особенности 6 III описание продукции 6 III применяемые технологии, 2464.73kb.
• Проводников в виде участков металлизированного покрытия, размещенных на диэлектрическом, 34.38kb.
• Электрическое освещение, 430.8kb.
• Самолеты и авиация, 285.93kb.
• Базовая машина, 98.99kb.
• Лекция Космохимия и геохимия, 82.32kb.

ГЛАВА IV. Электрическое поле.

§ 57. Связь электрического поля с электромагнитными процес­сами. Область электростатики.

В самом начале предыдущей главы (§ 45) мы касались в общих чертах вопроса об электрическом поле и указывали, что его сле­дует рассматривать как одну из сторон того основного электро­магнитного процесса, другая сторона которого воспринимается нами как магнитный поток. В различных случаях эта вторая сторона явления может быть выявлена в большей или меньшей степени. Мы указывали, что даже в тех случаях, когда нам кажется, что существует лишь чисто электрическое поле, как самостоятельное явление, при чем никаких сопутствующих магнитных полей как будто бы не наблюдается, на самом деле в какой-либо части системы происходит электромагнитный процесс в скрытом виде. Так, на­пример, в случае заряженного металлического шара, неподвижно стоящего на какой-либо изолирующей стойке, электрическое поле в пространстве, окружающем шар, повидимому, представляет собою нечто в такой степени неизменное, что есть известное основание называть его электростатическим, между тем как это электро­статическое поле, так сказать, опирается на поверхность тела, где расположен электрический заряд, элементы которого мы не можем себе представить иначе, как в состоянии непрерывного движения. Весьма возможно, однако, что во многих случаях термин „электро­статическое поле" вполне отвечает существу дела, характеризуя собою какую-то статическую деформацию в пространстве, подобную, например, той упругой деформации, которая возникает в стенках резинового шара, когда во внутреннюю полость его будем нагне­тать воздух. Но и в приведенном примере статическая деформация в упругой среде не есть самостоятельное нечто, ни с чем не свя­занное, в действительности же она есть лишь проявление того кинетического процесса, который происходит в массе газа и обу­словливает давление на стенки заключающей его камеры.

190


В параграфах 58 и 59 мы подробнее остановимся на общих признаках; „электростатического поля", а теперь отметим лишь то обстоятель­ство, что подобное поле всегда рассматривается в каком-либо огра­ниченном объеме, за пределами которого обязательно имеет место основной процесс электромагнитного характера. Совершенно ана­логичную картину мы имеем и в случае магнитного поля, которое иногда нам кажется чем-то самостоятельным, не связанным с явле­ниями электрического характера. Пример подобного магнитного поля мы имеем в случае постоянного магнита, вне которого поле представляется самостоятельным магнитным полем, а внутрь которого, в область атомных и молекулярных процессов электромагнитного характера, мы мо­жем проникнуть только нашим умствен­ным оком. Та же картина будет и во внешнем пространстве и вокруг неко­торой цилиндрической камеры, изгото­вленной, скажем, из листовой меди, если внутрь этой камеры поместим соответ­ствующую катушку из изолированной проволоки без всякого железного сер­дечника и пропустим постоянный ток через катушку.

Для пояснения всего сказанного выше об электрическом поле рассмотрим случай, аналогичный опыту Фарадея с вращающимся магнитом (§ 4). Пред­ставим себе вращающийся вокруг оси цилиндрический магнит NS (рис. 116), простирающийся беспредельно далеко по обе стороны от плоскости PQ, пер­пендикулярной оси магнита, или же магнит конечной длины, но так распо­ложенный относительно другого непо­движного магнита, чтобы магнитный поток, пронизывающий данный магнит NS, замыкался полностью через неподвижный магнит.




В обоих слу­чаях внешнее магнитное поле в пространстве, непосредственно окру­жающей вращающийся магнит NS, будет совершенно отсутствовать. В то же время в радиальных элементах вращающегося магнита, по Фарадею, будет индуктироваться ЭДС, которая вызовет электри­ческое смещение в диэлектрике, окружающем магнит. При этом на поверхности магнита NS появятся электрические заряды соответ­ствующего знака. Мы получили бы тот же результат, рассуждая и по Прэстону, но только рассуждения эти в данном случае были бы несколько сложнее. Одним словом, вокруг рассматриваемого магнита появится электрическое поле, которое, в случае постоянной скорости вращения магнита и неизменности общих условий, можно считать

191


,,электростатическим" с таким же правом, как и поле вокруг заряжен­ного шара. При этом, в плоскости PQ силовые линии электрического поля будут расположены так, как это показано в нижней части рис. 116. Если бы мы взяли два подобных цилиндрических магнита, параллельных друг другу и так вращающихся, чтобы на их поверх­ностях образовались заряды разных знаков, то между ними должно наблюдаться притяжение, причем сила эта будет той же природы, что и сила механического взаимодействия между двумя бузинными шариками, противоположно наэлектризованными. Вследствие 'боль­шой сложности тех электромагнитных процессов, которые проте­кают внутри всякого заряженного тела и на его поверхности, в настоящее время затруднительно еще дать полную картину того, как зарождается „электростатическое поле" в обычных случаях, но только-что разобранный пример (рис. 116) в достаточной сте­пени выявляет сущность нашего утверждения, что всякое электри­ческое поле есть лишь одно из проявлений основного электромаг­нитного процесса.

Все, что было сказано в § 1 о роли промежуточной среды, имеет непосредственное отношение и к электрическому полю. Опыты Фарадея показали, что все электрические взаимодействия и явления необходимо понимать как результат распространения электрической деформации от одного элемента объема среды к дру­гому соседнему. И в то же время Максвелл выяснил, что между точкой зрения Фарадея и формальными достижениями учения об электрическом поле, основанного на законе Кулона, нет никакого противоречия.


§ 58. Закон Кулона и вытекающие из него определения и соотношения.

В настоящем параграфе мы даем краткую сводку основных определений и соотношений, относящихся к электрическому полю я вытекающих из закона Кулона. В первую очередь, конечно, напомним формулировку этого исходного закона.

а) Закон Кулона. Сила механического взаимодействия между двумя количествами электричества, q₁ и q₂, находящимися в двух точках на расстоянии r одно от другого, в любой однородной среде, направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки, и выражается следующим образом:



где k есть коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц и от свойств среды.

В абсолютной электростатической системе единиц принимают для пустоты k численно равным единице.

В таком случае закон Кулона для пустоты численно прини­мает следующий вид:



192


Для всякой однородной и изотропной среды, как показывает опыт,

k=1/,

где  есть диэлектрическая постоянная среды. И закон Кулона для однородной и изотропной среды выражается таким образом:



Ясно, что диэлектрическая постоянная пустоты, обозначаемая специальным символом ₀, в абсолютной электростатической системе единиц принимается равной единице, т. е. мы имеем:

₀=1.

Точная же формулировка закона Кулона для случая пустоты получает следующий вид:

б) Единица количества электричества. Обращаясь к формули­ровке закона Кулона для пустоты и полагая:

q₁=q₂=q, f=1, r=1, а также принимая во внимание соотношение:

₀=1,

получаем:

q=1,

т. е. за единицу количества электричества в абсолютной электро­статической системе единиц принимается такое количество электри­чества, которое в пустоте взаимодействует с силою, равною одной дине, с другим таким же количеством, расположенным на расстоянии одного сантиметра от первого.

Абсолютная электростатическая единица количества электри­чества связана следующим образом с абсолютной электромагнитной единицей и с практической электромагнитной единицей количества электричества, т. е. с кулоном:

1 абс. эл.-магн. ед. кол. электр.=3•10¹⁰ абс. эл.-стат. ед. кол. электр.

1 кулон=3•10⁹ абс. эл.-стат. ед. кол. электр.

Количество электричества, или электрический заряд, представляет собою некоторую физическую сущность, с которою мы в действи­тельности встречаемся на опыте. Если это сравнить с тем, что го­ворилось выше (§ 31) о магнитных массах, то станет достаточно ясно, что необходимо относиться с известной осторожностью к тем формальным сближениям между электрическим и магнитным полями, которые являются результатом применения в обоих случаях закона Кулона, как исходного положения. Хотя с формальной стороны

193


есть много общего между электрическим полем и полем магнитным и хотя они по природе своей теснейшим образом связаны основным электромагнитным процессом, тем не менее это—различные сто­роны основного процесса. Мы пользуемся при формальном описании этих полей аналогичными определениями и понятиями. Не следует забывать, что физическое содержание этих понятий в обоих слу­чаях совершенно различно.

в)^ Электрическая сила или напряженность электрическою поля (Е). Рассмотрим электрическое поле в пустоте. Если / есть механическая сила, действующая на количество положительного электричества q, помещенное в некоторой точке, то электрическая сила в данной точке определяется по величине и направлению следующим соотношением:

^ E=f/q,

причем предполагается, что помещение заряда q в данной точке не изменяет общего распределения электрических зарядов в системе. Таким образом, можно ска­зать, что электрическая сила в не­которой точке измеряется меха­нической силой, которую испытывала бы в этом месте единица по­ложительного электричества. Эле­ктрическая сила есть вектор.

Все оговорки, сделанные в пункте в параграфа 2 относительно определения магнитной силы, в полной мере сохраняют свое значение и при определении электрической силы с соответствующей, конечно, заменой магнитных величин электрическими.

г) ^ Силовыми линиями электрического поля называются такие линии, все элементы которых совпадают по направлению с векто­рами электрической силы в тех точках поля, где эти элементы расположены.

д) Электрический потенциал (U). Рассмотрим некоторую точку A, расположенную в электрическом поле (рис. 117).




Пусть произволь­ная линия ^ ОА продолжается от точки А в бесконечность. Возьмем линейный интеграл электрической силы Е от точки А вдоль этой линии до бесконечности:



Здесь а есть угол между направлением элементарного пере­мещения dl и вектором Е. Подинтегральная величина Ecosdl чис­ленно равна работе перемещения единицы положительного электри­чества вдоль пути dl, а весь интеграл представляет собою работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении еди­ницы положительного электричества (q=+1) по данному пути из

194


точки ^ А в бесконечность. Величина этого интеграла, вообще говоря, может зависеть от выбора пути перехода из точки А в бесконеч­ность. Так бывает, между прочим, всегда, когда в пространстве, в котором мы рассматриваем данное электрическое поле, проис­ходит электромагнитный процесс, связанный, например, с измене­ниями магнитного поля и с движением магнитных линий (см. § 59). Есть, однако, случаи, когда никаких явных электромагнитных про­цессов в поле не наблюдается, и все происходит так, как будто бы электрическое поле обусловлено только наличием электрических зарядов, так или иначе распределенных в системе. Такие случаи характеризуются независимостью величины линейного интеграла электрической силы от пути перехода. Поле, в котором соблюдается подобное условие, обычно именно и называется электростати­ческим. Итак, в электростатическом поле величина интеграла



имеет для каждой точки поля вполне определенное

значение. Это значение линейного интеграла электрической силы является мерой напряженности электрического состояния в точке А и называется электрическим потенциалом точки А. Его обычно обозначают знаком U. Таким образом, можем написать:



Как известно, в электростатическом поле потенциал любой точки может быть также вычислен в зависимости от распределения электри­ческих зарядов в системе. Именно, в среде однородной и изотропной



где dq есть элемент электрического заряда и r — расстояние его от данной точки А, причем во втором интеграле операция интегри­рования распространена на все электрические заряды, с которыми связано рассматриваемое электрическое поле.

Единица потенциала в абсолютной электростатической системе не имеет специального названия. Практическая электромагнитная единица потенциала называется вольтом. Связь между ними выра­жается следующим соотношением:

1 вольт =¹/₃₀₀ абс. эл.-стат. единицы потенциала.

Электрический потенциал, вообще говоря, различен для раз­личных точек поля и является функцией геометрических коорди­нат точки, т. е. U=f(x, у, z).

Эту функцию обычно называют потенциальной функцией, и электрический потенциал некоторой точки можно в таком случае определите как значение потенциальной функции в данной точке.

195


Кроме электростатического поля, есть еще и другие случаи, когда линейный интеграл электрической силы можно считать не зависящим от выбора линии интегрирования, при соблюдении, од­нако, некоторых специальных условий, которые должны быть особо оговорены. И в этих случаях можно еще пользоваться представле­нием об электрическом потенциале, как о некоторой определенной физической величине (см. § 59).

При изложении дальнейших пунктов настоящего параграфа мы будем иметь в виду всякое вообще электрическое поле, в пределах которого представление об однозначном электрическом потенциале сохраняет физический смысл.

е) Поверхности уровня или равнопотенциальные поверхности. Приравняем потенциальную функцию к какой-либо постоянной ве­личине, т. е. положим:

U=(x, у, z)=const. (36)

Мы пришли, таким образом, к уравнению некоторой поверх­ности, все точки которой имеют один и тот же потенциал. Это и есть поверхность уровня, или равнопотенциальная поверхность. Придавая потенциалу U различные частные значения, например 1, 2, 3 или 100, 200, 300 и т. д. вольт, можно получить целый ряд поверхностей уровня, расположение которых характеризует элек­трическое поле в той же мере, как и система силовых линий. О связи поверхностей уровня с силовыми линиями см. следующий пункт „ж".

ж)^ Градиент, потенциала. Рассмотрим некоторый путь перехода от точки А в бесконечность (рис. 117). Допустим, что положение точки А на этом пути определяется расстоянием l от начальной .точки О. В таком случае можем написать:



Взяв частную производную от обеих частей этого равенства но нижнему пределу, получаем:



или



Это означает, что составляющая электрической силы в данной точке по какому-либо направлению равняется взятой с обратным знаком производной потенциала по этому направлению. Так как направление l было избрано совершенно произвольно, то, обозначая

196


через Е_х, Е_у и Е_z составляющие электрической силы Е вдоль ко­ординатных осей, можем, следовательно, написать:



Если направление l изберем вдоль вектора Е, то будем иметь:

cos=1,

и соотношение (37) обращается в следующее:



Очевидно, в последнем случае мы имеем наибольшее возможное

значение дU/дl. знак минус показывает, что положительное направле­ние вектора Е есть то, в котором потенциал уменьшается.

Если направление l избрать перпендикулярно вектору Е, т. е. по­ложить: =90º, то получим:



откуда получаем:

^ U=const

Отсюда следует, что, избрав направление l, перпендикулярное вектору Е, мы перемещаемся вдоль поверхности уровня. Таким образом, приходим к заключению, что поверхности уровня нор­мальны по отношению к силовым линиям. И обратно, в каждой точке электрического поля электрическая сила Е нормальна к по­верхности уровня, проходящей через эту точку.

На основании всего изложенного, избирая за направление l на­правление вдоль нормали к поверхности уровня в данной точке, можем написать:



т. е. электрическая сила в данной точке равна взятой с обратным знаком производной потенциала по нормали к поверхности уровня в этой же точке.

Величину дU/дn, т. е. наибольшее значение возрастания потенциала,

рассчитанное на единицу перемещения, называют градиентом потенциала и обозначают символом gradU. Таким образом,



197


Градиент потенциала есть вектор, направленный в сторону воз­растания потенциала. Практически градиент потенциала выражают л вольтах на сантиметр.

Из сопоставления (39) и (40) получаем:

Е=-gradU. (41)

з) Теорема Гаусса. Выведенная в глазе I теорема Гаусса для магнитного поля формально может быть распространена и на элек­трическое поле (см. примечание стр. 45). На основании указанного можем написать для случая пустоты:



и для случая однородной и изотропной среды вообще:



и) ^ Теорема Пуассона. Допустим, что в однородной и изотроп­ной среде с диэлектрической постоянной  распределено электри­чество с объемною плотностью , являющеюся функцией геометри­ческих координат х, у, z. Рассмотрим теперь элементарный объем dxdydz и приложим к нему теорему Гаусса. Левую часть соотно­шения, изображающего эту теорему, можно представить состоящею из шести слагаемых, соответственно шести граням параллелепи­педа dxdydz. Интересующие нас площадки будут равны dydz каждая, Если составляющая электрической силы Е вдоль оси х-ов для всех точек одной из двух площадок есть Е_х, то можно положить для этой площадки:

Ecos=-Е_х.

В таком случае для другой площадки необходимо принять:



и часть интеграла:



соответствующая рассматриваемым двум площадкам, получит сле­дующий вид:



Подобным же образом найдем две другие суммы для двух осталь­ных пар граней:



и



198


На основании этого, пользуясь теоремой Гаусса, можем напи­сать:



Отсюда получим:



Полагая =₀ (для случая пустоты), приводим выражение (42) к виду:



что собственно и составляет теорему Пуассона.

Принимая во внимание соотношение (38) пункта „ж" настоя­щего параграфа, можем ввести следующие преобразования:



н соотношения (42) и (43) принимают следующий вид:



Сумму вторых производных какой-либо функции по трем пере­менным х, у, z принято обозначать знаком А. Тогда соотношения (42') и (43') можно представить так:



к) ^ Теорема Лапласа. Во всех точках пространства, где объемная плотность электричества равна нулю, имеет место следующее со­отношение:



которое, как это явствует из предыдущего, может быть предста­влено еще в следующих формах:



199


или

U=0. (44")

Теорема Лапласа вытекает как следствие из соотношения (42), если в нем положить:

=0.