Программа дисциплины «дифференциальные и разностные уравнения» Для направления 080100. 62 «Экономика» Курс 2

Вид материала

Программа дисциплины

Содержание Согласовано УМО Одобрено на заседании кафедры Пояснительная записка Учебная задача курса Формы контроля II. Содержание программы IV. Учебно-методическое обеспечение программы Часть 1. Обыкновенные диф. уравнения. Часть 2. Разностные (рекуррентные) уравнения

Подобный материал:

• Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления, 206.03kb.
• Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 02 «Дифференциальные, 37.38kb.
• Программа дисциплины «Территориальное стратегическое планирование» для направления, 384.7kb.
• Программа дисциплины Современные проблемы экономической науки: микроэкономика  для, 108.08kb.
• Программа курса "Дифференциальные уравнения " для специальности 010400 "Физика", 36.39kb.
• Программа дисциплины Инвестиции для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра, 578.6kb.
• Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика», 203.4kb.
• Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика», 230.6kb.
• Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 080100. 62 «Экономика», 400.03kb.
• Учебной дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения» для направления подготовки, 18.38kb.

Правительство Российской Федерации


Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Государственный университет – Высшая школа экономики»


Санкт-Петербургский филиал

Государственного университета – Высшей школы экономики


Кафедра математики


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Для направления 080100.62 «Экономика»


Курс 2

Авторы к.т.н., доцент Рейнов Ю.И., доцент Королев А.В.


^ Согласовано УМО Одобрено на заседании кафедры

_______________ Зав. кафедрой Рейнов Ю.И.__________

«___»_________200_г. «28» августа 2010г.


Утверждено УМС

_______________________

Председатель

_______________________

«___»______________2010_г.


Санкт-Петербург

2010г.

1. ^

   Пояснительная записка

Требования к студентам: Учебная дисциплина «Дифференциальные и разностные уравнения» использует материал, полученный студентами в курсах «Математический анализ» и «Линейная алгебра». Предполагается посещение студентами лекций и семинарских занятий, решение основных типов задач, включаемых в контрольные работы, домашнего задания и одного промежуточного теоретического тестирования.

Аннотация: Учебная дисциплина «Дифференциальные и разностные уравнения» читается в 1- м и 2-ом модуле второго курса. Курс будет использоваться в теории и приложениях теории вероятностей и математической статистики, математической экономики, эконометрики, микроэкономики, макроэкономики, комплексного экономического анализа хозяйственной деятельности, теории межотраслевого баланса и большей части спецкурсов по кафедрам финансов и экономической теоретии. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач.

Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования. При рассмотрении в курсе конкретных математических методов и алгоритмов главное внимание уделяется их применению в экономическом анализе, оперированию с данными экономической природы. Список литературы поможет студентам, осваивающим и создающим свой профессиональный исследовательский инструментарий.

^ Учебная задача курса: Актуальной практической задачей дисциплины является подведение студентов к творческому профессиональному восприятию последующих специальных дисциплин, явно или неявно связанных с подготовкой, анализом, принятием, реализацией, оцениванием последствий, корректировкой решений.

В результате изучения курса студенты должны:

- знать точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе свободно использовать дифференциальные и разностные уравнения в записи математических соотношений и моделировании экономических зависимостей;

- знать общие методы решения дифференциальных и разностных уравнений и систем таких уравнений, иметь понятие о задаче Коши и теоремах существования и единственности решения задачи Коши, как для разностных, так и для дифференциальных уравнений и систем;

- знать общие теоремы о структуре множества решений линейных уравнений и систем линейных уравнений (как дифференциальных, так и разностных), уметь применять специальные способы построения таких решений;

- уметь находить как комплексную, так и вещественную, фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального и разностного уравнения с постоянными коэффициентами для случая комплексных и кратных корней характеристического уравнения.

- уметь приводить матрицу линейной системы с постоянными коэффициентами произвольного порядка к жордановой форме и выписывать как комплексную, так и вещественную, фундаментальную систему решений линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами для случая комплексных и кратных корней характеристического уравнения, как в случае системы дифференциальных, так и в случае системы разностных уравнений.


- уметь находить частное решение неоднородного линейного дифференциального и разностного уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет вид суммы квазиполиномов, как в резонансном, так и в нерезонансном случаях.

- уметь находить частные решения неоднородных систем линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет вид суммы квазиполиномов, как в резонансном, так и в нерезонансном случаях.

- знать основные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, способы понижения порядка для уравнений высших порядков;

- иметь представление об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости

-уметь исследовать решения на устойчивость по Ляпунову и на асимптотическую устойчивость по линейному приближению решений п лижению ешений дифференциальных и разностных уравнений, критериях устойчивости и исследовании устойчивости по линейному приближению;

- обладать навыками работы и быть готовыми понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с применением обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем.

- Уметь находить все точки покоя автономной системы и определять тип устойчивости, уметь изображать фазовые портреты линеаризованной системы второго порядка как в случае системы дифференциальных, так и в случае системы разностных уравнений.

^ Формы контроля: Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. В течение модуля предусмотрены текущий контроль посещаемости и знаний студентов на семинарских занятиях, одна контрольная работа ( 90 мин.) как форма текущего контроля. Форма текущего контроля оценивается 10-балльной оценкой, которая выставляется в рабочую ведомость преподавателя. По результатам текущего контроля организуются индивидуальные консультации в рамках второй половины рабочего дня преподавателя. Форма итогового контроля  письменный зачет по окончании первого модуля второго курса, который оценивается по 10-балльной шкале. Продолжительность зачета 160 мин. Для получения результирующей оценки итогового контроля используются следующие весовые множители:

• за первую контрольную работу – 40% итоговой оценки;
  
• за текущую работу на семинарских занятиях – 10% итоговой оценки;
  
• за зачет – 50% итоговой оценки.
  

Экзаменационная оценка, в свою очередь, складывается из пяти составляющих со следующими весовыми множителями:

• за легкий теоретический вопрос на знание определений – 20% экзаменационной оценки;
  
• за легкий вопрос по теории – 10% экзаменационной оценки;
  
• за вопрос на доказательство теорем – 40% экзаменационной оценки;
  
• за легкую задачу – 10% экзаменационной оценки;
  
• за трудную задачу – 20% экзаменационной оценки;
  

Полученный после округления этой величины до целого значения результат и выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале по учебной дисциплине "Дифференциальные и разностные уравнения" в экзаменационную ведомость.


^ II. Содержание программы


Часть первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в нормальной форме). Уравнение первого порядка в дифференциалах и методы его решения (уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение, уравнение в полных дифференциалах). Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной. Уравнение Бернулли.
   
2. Комплексные числа. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая и экспоненциальная записи комплексного числа. Решение уравнений в комплексных числах.
   
3. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, задание начальных значений). Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Структура общего решения линейной неоднородной системы. Вариация постоянных.
   
4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частных решений неоднородного уравнения.
   
5. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Методы понижения порядка дифференциальных уравнений. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков.
   
6. Методы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
   
7. Количественный и качественный анализ автономных (стационарных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Общие понятия и свойства (решение системы, фазовая траектория, положения равновесия, циклы). Устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Полный анализ однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для случая двух неизвестных. Исследование нелинейных автономных систем вблизи положений равновесия по линейному приближению. Приложения к исследованию экономических моделей.
   

Часть вторая. Разностные (рекуррентные) уравнения.

1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.
   
2. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка. Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение рекуррентного уравнения подстановкой). Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).
   

3. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Решение уравнения подстановкой.
   
4. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения. Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.
   
5. Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений. Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, начальные условия). Решение подстановкой. Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Методы решения систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости нулевого решения линейной однородной системы. Структура общего решения линейной неоднородной системы. Частные решения. Элементы количественного и качественного анализа нелинейных разностных (рекуррентных) уравнений. Приложения к исследованию экономических моделей.
   

3. Тематика
   

Темы семинарских занятий:


1,2. Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Комплексные числа.

4,5,6. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Количественный и качественный анализ автономных (стационарных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.

7. Общие свойства систем линейных ОДУ.

8. Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.

9. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.

10. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.

11. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения.

12. Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений.


Типовые вопросы и задачи для контрольной и экзаменационной работ:


1. Решите задачу Коши и укажите промежуток наибольшей длины, на котором решение этой задачи определено.


2. Решите задачу Коши и вычислите для

решения этой задачи значение .


3. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее условию . Вычислите для этого решения значение .

4. Вычислите действительную часть числа .


5. Найдите все решения уравнения .


6. Решите задачу Коши и вычислите для решения этой задачи значение .


7. Для последовательности , удовлетворяющей рекуррентному уравнению и условию , вычислите величину .


8. Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений рекуррентного уравнения , для которых она определена.

9. Решите систему уравнений


10. Решите неоднородную систему уравнений

и изобразите фазовый портрет однородной системы.


11. Найдите все значения параметра , при которых нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво.

12. Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений уравнения , для которых она определена.


13. Решите уравнение .


14. Решите уравнение .


15. Решите систему уравнений


16. Решите систему уравнений




17. Решите уравнение .


18. Решите уравнение .


19. Решите задачу Коши .


20. Решите задачу Коши .


21. Решите уравнение .


22. Решите уравнение .


23. Решите уравнение .


24. Найдите положения равновесия системы уравнений


определите их характер и начертите фазовые траектории соответствующих линеаризованных систем.


Вопросы к экзамену:

1. ДУ первого порядка, его решение, геометрическое истолкование ДУ и его решений
   
2. Интегрирование некоторых типов ДУ первого порядка:
   
   1. с разделяющимися переменными
      
   2. однородные
      
   3. линейные
      
   4. Бернулли
      
   5. в полных дифференциалах
      
3. ДУ высших порядков, допускающих понижение порядка
   
4. Линейные однородные ДУ высших порядков, в частности, второго порядка:
   
   1. линейная зависимость и независимость функций
      
   2. вронскиан, необходимое и достаточное условие линейной зависимости функций
      
   3. определитель Вронского решений линейного однородного ДУ второго порядка
      
   4. теорема о структуре общего решения
      
5. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами:
   
   1. характеристическое уравнение, характеристические числа
      
   2. общее решение при и (вещ.)
      
   3. общее решение при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения, его вещественная форма
      
6. Линейные неоднородные ДУ второго порядка, теорема о структуре общего решения, теорема о суперпозиции решений
   
7. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Отыскание частного решения для правой части специального вида методом неопределенных коэффициентов
   
8. Обобщение результатов на линейные уравнения n-го порядка
   
9. Основные понятия о дифференциальных уравнениях n-го порядка
   
10. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости системы функций
    
11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение
    
12. Фундаментальная система решения. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка
    
13. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
    
14. Построение общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
    
15. Определение линейно зависимых и независимых функций. Первое свойство линейной зависимости
    
16. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
    
17. Уравнение Бернулли
    
18. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка
    
19. Уравнение в полных дифференциалах
    
20. Решение линейных неоднородных уравнений второго порядка со специальной правой частью
    
21. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
    
22. Построение фундаментальной системы решений для ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами (D=0)
    
23. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
    
24. Уравнения в полных дифференциалах
    
25. Теорема о суперпозиции решений линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
    
26. Задача Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение
    
27. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
    

^ IV. Учебно-методическое обеспечение программы

Базовые учебники

1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.
   

2. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и разностных уравнений. М.: Изд-во ГУВШЭ, 1998.
   

Базовые задачники

1. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению под редакцией Романко В.К..  М.-С.Пб.: Физматлит, 2002.
   
2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.  М.: Наука, 1992.
   

Основная литература

1. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и разностных уравнений. М.: Изд-во ГУВШЭ, 1998.
   
2. Гельфонд В.И. Исчисление конечных разностей.  М. : ГИФМЛ, 1959.
   

Дополнительная литература

1. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию. . М.: Изд-во ГУВШЭ, 2000.
   
2. Тарасевич Д.С., Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика. Учебник. С.Пб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета экономики и финансов. 1999.
   

5. №	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы		Сам. работа
   			Лекции	Семинары
   	^ Часть 1. Обыкновенные диф. уравнения.
   1	Простейшие обыкновенные дифференциальные (ОДУ) и разностные уравнения (РУ) первого порядка	8	2	2	4
   2	Комплексные числа	8	2	2	4
   3	Системы линейных ОДУ и РУ с постоянными коэффициентами. Общие свойства систем линейных ОДУ	8	2	2	4
   4	Линейные ОДУ и РУ с постоянными коэффициентами высших порядков	8	2	2	4
   5	Понижение порядка ОДУ	8	2	2	4
   6	Устойчивость решений. Фазовый портрет линейных и нелинейных	8	1	1	4
   	^ Часть 2. Разностные (рекуррентные) уравнения
   8	Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями	6	1	1	4
   9	Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка	6	1	1	4
   10	Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.	6	1	1	4
   11	Линейные разностные (рекуррентные) уравнения.	4	1	1	2
   12	Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений.	4	1	1	2
   Итого:		72	16	16	40

   Тематический расчет часов

Авторы программы __________________ Рейнов Ю. И.

__________________ Королев А.В.