Программа по курсу " Математические методы теории самоорганизующихся систем и устройств " ( наименование дисциплины по учебному плану )
| Вид материала | Программа |
- Учебно-методический комплекс дисциплины математические методы в бизнесе и управлении, 423.86kb.
- Учебно-методический комплекс дисциплины экономико-математические методы и модели, 548.44kb.
- Рабочая программа наименование дисциплины Математические модели в теории, 197.61kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины тактика Сил рсчс и го (наименование дисциплины, 325.53kb.
- Рабочая программа дисциплины «математические методы и модели в экологии» Код дисциплины, 129.07kb.
- Рабочая программа дисциплины политология (указывается шифр и наименование дисциплины, 388.08kb.
- Рабочая программа дисциплины (указывается шифр и наименование дисциплины по учебному, 610.49kb.
- Рабочая программа дисциплины (указывается шифр и наименование дисциплины по учебному, 429.63kb.
- Рабочая программа дисциплины «экологический мониторинг» Код дисциплины по учебному, 254.39kb.
- Конспект лекций учебной дисциплины «Экономика фирмы» ( шифр и наименование дисциплины, 450.29kb.
Нижегородский государственный технический университет
Факультет ИРИТ
( наименование факультета )
УТВЕРЖДАЮ:
Декан факультета ИРИТ
Баранов В.Г.
« » ________2010 г.
Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А
по курсу “ Математические методы теории самоорганизующихся систем и устройств ”
(
наименование дисциплины по учебному плану )Направление подготовки 510200 Прикладная математика и информатика
(
шифр и наименование )Н
аправление специальности 010000 Естественнонаучные специальности( шифр и наименование )
С
пециальность 010200 Прикладная математика и информатика( шифр и наименование )
^
К
афедра “Прикладная математика “
( наименование )
К
урс 2
С
еместр 11О
бщая трудоемкость дисциплины 100 ( час )А
удиторные занятия 48 ( час )^
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры
« » ___________ 2010 г.
Зав. кафедрой ________________ ___ Митяков С Н.__
( подпись ) ( Ф.И.О.)
Председатель координационного научно-методического совета
п
о направлению подготовки 510200 Прикладная математика и информатика( шифр, наименование )
Митяков С Н.( подпись ) ( Ф.И.О. )
«
» 2010 г.П
редседатель НМС по блоку естественно-научных дисциплин( шифр, наименование специальности )
Раевский С.Б.( подпись ) ( Ф.И.О. )
«
» 2010 г.^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс "Математические методы теории самоорганизующихся систем и устройств" предназначен для магистров (изучается в первом и втором семестрах).
Целью данного курса является освоение современных теоретико-групповых подходов к исследованию явлений самоорганизации в естественных физических системах и в технических устройствах. Основу этих подходов составляют качественные математические методы исследования динамических систем, описываемых операторами дифференциального, интегрального и дискретного типов. В результате изучения данной дисциплины магистры овладевают основными методами решения многих практических задач, а именно методом нормальных форм уравнений, отображений Пуанкаре, методами возмущений, некоторыми подходами к исследованию стохастических дифференциальных уравнений и точечных отображений с «шумом». Знание и овладение перечисленными методами и понятиями необходимо исследователю, призванному решать сложные современные научно-технические задачи.
Для усвоения магистрами курса необходимо владение методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, решения задач алгебры и основных методов математической статистики. Курс состоит из одиннадцати разделов.
^
ОПИСАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ТЕМ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА
Тема 1. Введение
1.1. Что такое самоорганизация?
1.2. Примеры:
Физика (жидкости: образование динамических структур; лазеры: когерентные колебания; плазма: разнообразие неустойчивостей; твердое тело: мультистабильность, хаос);
Техника (строительная механика, сопротивление материалов, авиа- и ракетостроение: выпучивание после «выхлопа», флаттер и т. д.);
Электротехника и электроника: нелинейные колебания;
Химия: макроскопические структуры;
Биология (морфогенез; динамика популяций; эволюция; иммунная система);
Общая теория вычислительных систем (самоорганизация вычислительных машин (в частности, параллельные вычисления); распознавание образов машинами; надежные системы из ненадежных элементов);
Экономика;
Экология;
Социология.
1.3. Что общего между приведенными выше примерами?
1.3. Какие уравнения нам нужны? (дифференциальные уравнения; нелинейность;управляющие параметры; стохастичность; многокомпонентность и мезоскопический подход)
1.4. Как выглядят решения?
1.5. Качественные изменения: общий подход и: типичные явления (бифуркация из одного узла (или фокуса) в два узла (или фокуса); бифуркация из фокуса в предельный цикл (бифуркация Хопфа); бифуркации из предельного цикла; бифуркации из тора в другие торы; странные аттракторы; показатели Ляпунова)
1.6. Влияние флуктуаций (шумов). Неравновесные фазовые переходы
1.7. Эволюция пространственных структур
1.6. Дискретные отображения. Отображение Пуанкаре
1.9. Дискретные отображения с шумом
1.10. Пути к самоорганизации (самоорганизация через изменение управляющих параметров; самоорганизация через изменение числа компонент; самоорганизация через переходы)
^
Тема 2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
2.1. Примеры линейных дифференциальных уравнений; случай одной переменной (линейное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом, с периодическим коэффициентом, с квазипериодическим коэффициентом, с вещественным ограниченным коэффициентом)
2.2. Группы и инвариантность
2.3. Системы с вынуждающей силой
2.4. Общие теоремы об алгебраических и дифференциальных уравнениях
2.4.1. Вид уравнений
2.4.2. Жорданова нормальная форма
2.4.3. Общие теоремы о линейных дифференциальных уравнениях
2.4.4. Обобщенные характеристические показатели и показатели Ляпунова
2.5. Прямые и обратные уравнения: дуальные пространства решений
2.6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
2.7. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
2.8. Теоретико-групповая интерпретация
2.9. Теория возмущений
Тема 3. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с квазипериодическими коэффициентами
^
Тема 4. Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения
4.1. Дифференциальное уравнение Ито и уравнение Ито-Фоккера-Планка
4.2. Исчисление Стратоновича
4.3. Уравнения Ланжевена и уравнение Фоккера-Планка
^
Тема 5. Связанные нелинейные осцилляторы
5.1. Связанные линейные осцилляторы
5.1.1. Линейные осцилляторы с линейной связью
5.1.2. Линейные осцилляторы с нелинейной связью. Пример. Сдвиги частот
5.2. Возмущения квазипериодического движения в случае амплитуд, не зависящих от времени (квазипериодическое движение сохраняется)
5.3. Некоторые соображения о сходимости метода последовательных приближений
Тема 6. Осцилляторы с нелинейной связью: случай, когда квазипериодическое движение сохраняется
6.1. Постановка задачи
6.2. Теорема Мозера
6.3. Метод последовательных приближений
Тема 7. Нелинейные уравнения.
7. 1 Принцип подчинения
7.1.1. Адиабатическое приближение
7.1.2. Исключение переменной
7.2. Общая формулировка принципа подчинения. Основные уравнения
7.3. Формальные соотношения
7.4. Итерационный метод
7.5. Оценка остаточного члена. Проблема дифференцируемости
7.6. Принцип подчинения для дискретных отображений с шумом
7.7. Формальные соотношения
7.8. Итерационный метод для дискретного случая
7.9. Принцип подчинения для стохастических дифференциальных уравнений
^
Тема 8. Нелинейные уравнения. Качественные макроскопические изменения
8.1. Бифуркации из узла или фокуса. Основные преобразования
8.2. Простое вещественное собственное значение становится положительным
8.3. Кратное вещественное собственное значение становится положительным
8.4. Простое комплексное собственное значение пересекает мнимую ось. Бифуркация Хопфа
8.5. Бифуркация Хопфа (продолжение)
8.6. Взаимная синхронизация двух осцилляторов
8.7. Бифуркация из предельного цикла
8.8. Бифуркация из предельного цикла: частные случаи
8.8.1. Бифуркация в два предельных цикла
8.8.2. Удвоение периода
8.8.3. Субгармоники
8.8.4. Бифуркация в тор
8.9. Бифуркация из тора (квазипериодическое движение)
8.10. Бифуркация из тора: частные случаи
8.10.1. Простое собственное значение становится положительным
8.10.2. Комплексное невырожденное собственное значение пересекает мнимую ось
8.11. Иерархии неустойчивостей, сценарии и пути к турбулентности
8.11.1. Картина Ландау-Хопфа
8.11.2. Картина Рюэля-Такенса
8.11.3. Бифуркации торов. Квазипериодические движения
8.11.4. Путь к хаосу через удвоение периода. Последовательность Фейгенбаума
8.11.5. Путь через перемежаемость
^
Тема 9. Пространственные структуры
9.1. Основные дифференциальные уравнения
9.2. Общий метод решения
9.3. Анализ бифуркаций для конечных геометрий
9.4. Обобщенные уравнения Гинзбурга-Ландау
9.5. Упрощение обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау. Образование структур в конвекции Бенара
^
Тема 10. Влияние шума
10.1. Общий подход
10.2. Некоторые общие теоремы о решениях уравнения Фоккера-Планка
10.2.1. Зависящие и не зависящие от времени решения уравнения Фоккера-Планка для случая, когда дрейфовые коэффициенты линейны по координатам, а коэффициенты диффузии постоянны
10.2.2. Точные стационарные решения уравнения Фоккера-Планка для систем, находящихся в детальном равновесии
10.3. Поведение нелинейных стохастических систем вблизи критических точек
^
Тема 11. Дискретные отображения с шумом
11.1. Уравнение Чепмена-Колмогорова
11.2. Влияние границ. Одномерный пример
11.3. Совместная вероятность и вероятность первого выхода на границу. Прямые и обратные уравнения
11.4. Связь с интегральным уравнением Фредгольма
11.5. Решение в виде интеграла по траекториям
11.6. Среднее время первого выхода на границу
11.7. Линейная динамика и гауссов шум. Точное, зависящее от времени решение уравнения Чепмена-Колмогорова
^ СЕТКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСОВ ПО ТЕМАМ
| | Наименование темы | Лекции | ^ Практич. занятия |
| 1 | Введение | 2 | 2 |
| 2 | Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения | 3 | 1 |
| 3 | Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с квазипериодическими коэффициентами | 3 | 2 |
| 4 | Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения | 3 | 2 |
| 5 | Связанные нелинейные осцилляторы | 4 | 2 |
| 6 | Осцилляторы с нелинейной связью: случай, когда квазипериодическое движение сохраняется | 2 | 2 |
| 7 | Нелинейные уравнения. | 2 | 2 |
| 8 | Нелинейные уравнения. Качественные макроскопические изменения | 2 | 1 |
| 9 | Пространственные структуры | 2 | 1 |
| 10 | Влияние шума | 2 | 1 |
| 11 | Дискретные отображения с шумом | 1 | 1 |
| | ^ Всего часов | 32 | 16 |
ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТEЛЬНОЙ РАБОТЫ
| ^ Виды самостоятельной работы | Объем самостоятельной работы по рабочему план (час) |
| 1. Проработка лекционного материала (а так же дополнительных тем, указанных лектором) | 20 |
| 2. Подготовка к практическим занятиям | 11 |
| 3. Подготовка к лабораторным занятиям. | |
| 4. Подготовка реферата по теме | |
| 5. Выполнение курсовой работы (проекта) | |
| 6. Выполнение расчетно-графической работы. | |
| 7. Подготовка к текущему контролю (тестированию и т.д.) | 10 |
| 8. Подготовка к промежуточному контролю | |
| 9. Подготовка к экзамену, зачету). | 11 |
Итого | 52 |
ЛИТЕРАТУРА
| | Автор(ы), наименование | Изд-во | Год изд. | Кол-во в НГТУ |
Основная | ||||
| 1 | Брюно А.Д., Ограниченная задача трех тел | М.:Наука | 1990 | |
| | Неймарк Ю.И., Ланда П.С., Стохастические и хаотические колебания | М.: Наука | 1987 | |
| | Маслов В.П. , Операторные методы | М.:Наука | 1973 | |
Дополнительная | ||||
| | Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн | М.: Физматлит | 2003 | |
| | Хакен Г. ,Синергетика | М.: Мир | 1985 | |
| | | | | |
Составил: Ковригин Д.А.
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
- Что такое самоорганизация?
- Бифуркация Хопфа
- Странные аттракторы
- Показатели Ляпунова
- Дискретные отображения. Отображение Пуанкаре
- Линейное дифференциальное уравнение с периодическим коэффициентом
- Линейное дифференциальное уравнение с квазипериодическим коэффициентом
- Группы и инвариантность
- Жорданова нормальная форма
- Теория возмущений
- Дифференциальное уравнение Ито и уравнение Ито-Фоккера-Планка
- Линейные осцилляторы с линейной связью
- Линейные осцилляторы с нелинейной связью. Сдвиги частот
- Возмущения квазипериодического движения в случае амплитуд, не зависящих от времени
- Теорема Мозера
- Адиабатическое приближение
- Общая формулировка принципа подчинения. Основные уравнения
- Принцип подчинения для дискретных отображений с шумом
- Итерационный метод для дискретного случая
- Принцип подчинения для стохастических дифференциальных уравнений
- Удвоение периода
- Субгармоники
- Бифуркация в тор
- Бифуркация из тора (квазипериодическое движение)
- Иерархии неустойчивостей, сценарии и пути к турбулентности
- Картина Ландау-Хопфа
- Картина Рюэля-Такенса
- Бифуркации торов. Квазипериодические движения
- Путь к хаосу через удвоение периода. Последовательность Фейгенбаума
- Путь через перемежаемость
- Обобщенные уравнения Гинзбурга-Ландау
- Образование структур в конвекции Бенара
- Зависящие и не зависящие от времени решения уравнения Фоккера-Планка для случая, когда дрейфовые коэффициенты линейны по координатам, а коэффициенты диффузии постоянны
- Точные стационарные решения уравнения Фоккера-Планка для систем, находящихся в детальном равновесии
- Линейная динамика и гауссов шум. Точное, зависящее от времени решение уравнения Чепмена-Колмогорова