Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» Автор программы

Вид материала

Содержание

Москва Пояснительная записка
Учебные задачи курса.
Тематический план учебной дисциплины
Название темы
Рекомендуемая литература
Как это посчитать?
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями

Подобный материал:

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственный университет –

Высшая школа экономики

Факультет бизнес-информатики

Отделение прикладной математики

Программа дисциплины

Дифференциальные уравнения

Для направления 010500.62 – «Прикладная математика и информатика»

Автор программы: д.ф.-м.н. В.А. Гордин

Рекомендовано секцией УМС Одобрена на заседании

Математические и статистические кафедры высшей математики

методы в экономике на факультете экономики

Председатель Зав . кафедрой

__________А .С .Шведов __________Ф .Т .Алескеров

“___” __________ 200_ г . “___” _____ _____ 200_ г .

Утверждена УС

______________

Ученый секретарь

_________________

“___” __________ 200_ г .

^ Москва

Пояснительная записка

Требования к студентам: Изучение курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения» требует предварительные знания, по математическому анализу, алгебре и геометрии в объеме, предусмотренном программой обучения за 1 курс, а также навыков программирования. Он читается параллельно с продолжающимися курсами математического анализа и программирования – знания и навыки, получаемый там, будут использоваться в данном курсе. Содержание программы по математике за среднюю школу предполагается безусловно известным.

Аннотация.

Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» включает в себя основные теоремы, аналитические методы исследования уравнений и систем, дифференциальных и разностных, основные методы численного решения начальных и краевых задач, примеры практических задач, сводящихся к качественному исследованию или численному решению дифференциальных уравнений или систем.

Данный курс должен помочь студентам воспринимать динамические модели экономики и задачи оптимизации, изучаемые по данной специальности, а в будущем – самостоятельно разрабатывать, анализировать и обсчитывать аналогичные модели и задачи такого рода.

На третьем курсе студентам предстоит, в частности, изучать задачи оптимизации (вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина), сводящиеся к решению обыкновенных уравнений или систем. В частности, будут рассмотрены оптимальные методы усвоения больших объемов разнородной информации с шумами. Некоторые из методов, изучаемых в курсе, будут изучаться студентами более подробно в курсах оптимизации, численных методов и уравнений в частных производных. Данный курс должен дать для этого надлежащую подготовку.

^ Учебные задачи курса.

Одной из основных целей курса является знакомство студентов с основными идеями и конструкциями теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем, их геометрическими интерпретациями и приложениями к экономическим и другим прикладным задачам, методами их составления, анализа и численного определения решений.

В результате изучения курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения» студенты должны:

Знать основные свойства обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем;
Знать основные методы анализа и численного оценивания решений таких систем и уравнений;
уметь пользоваться методами обыкновенных дифференциальных уравнений для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических;

Ко многим разделам курса будут предлагаться геометрические иллюстрации и примеры экономического, экологического, социологического и физического содержания.

Предполагается курсовая работа, в которой нужно будет сопоставить результаты численного и аналитического решения дифференциального уравнения.

^ Тематический план учебной дисциплины

№	^ Название темы	Всего часов	В т.ч. лекции	В т.ч. семинары	Самост. работа
1	Простейшие дифференциальные и разностные уравнения и системы	36	8	6	22
2	Простейшие нелинейные уравнения	40	8	8	24
3	Качественная теория автономных уравнений	35	8	6	21
4	Конечно-разностные уравнения и итерационные процессы	35	8	6	21
5	Численные методы и краевые задачи	70	12	16	42
Итого		216	44	42	130

Алгоритм контроля успеваемости студентов.

Если в модуле не предусмотрена курсовая работа, то максимальный вклад домашних заданий составляет 0,3, а зачета – 0,7 от оценки за модуль.

Если предусмотрена, то, соответственно, 0,25 и 0,65, а на курсовую отводится 0,1 оценки.

Домашняя работа делается студентом в течение недели и оценивается в процентах. Если она сделана в течение второй недели, балл за нее делится пополам. После второй недели балл за сданную работу - нулевой.

Окончательный балл за год получается как среднее арифметическое отметок за год.

Таблица соответствия отметки за годовой курс и окончательного балла следующая:

Балл (x)	<0,6
Отметка	неуд	удовл	хорошо	отлично

Модуль 1. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения и системы

Простейшие дифференциальные и разностные уравнения: модель Мальтуса, дискретное и непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений.
Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Общие свойства. Теорема существования решения задачи Коши в малом (без док.). Примеры несуществования глобального решения.
Векторное поле – правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Устойчивость решения по отношению ко входным параметрам. Метрика и норма. Устойчивость решения задачи Коши по отношению к начальным данным и к правой части.
Устойчивость решения систем линейных алгебраических уравнений по отношению к возмущениям правой части и матрицы. Обусловленность матрицы.
Теория возмущений линейных операторов.
Полиномиальная интерполяция и ее устойчивость к ошибкам. Константа Лебега. Другие виды интерполяции.
Примеры уравнений неразрешенных относительно старшей производной.
Ядро линейного дифференциального оператора. Общее решение однородного и неоднородного линейного диф. уравнения и системы. Примеры.
Фундаментальная система решений. Определитель Вронского и решение неоднородного линейного уравнения.
Сопряженная система.
Уравнения с постоянными коэффициентами. Сведение уравнения высокого порядка к системе первого порядка и обратно. Характеристический многочлен. Общее решение однородного уравнения в случае простых корней характеристического многочлена. Функции от матриц.
Линейная модель динамики выравнивания спроса и предложения.
Линейная модель войны.
Общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического многочлена, когда правая часть многочлен, экспонента, синус. Динамика приспособления инерционного прибора к меняющейся реальности. Явление резонанса.
Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического многочлена.
Общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического многочлена, когда в правой части экспонента или синус. Простые и резонансные случаи.

Модуль 2. Простейшие нелинейные уравнения

Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты окончания процесса в зависимости от начальных данных.
Метод разделения переменных для решения уравнения и для уравнения . Примеры.
Метод интегрирования автономного дифференциального уравнения второго порядка . Уравнение идеального маятника. Фазовый портрет. Колебательный и вращательный режимы.
Маятник с линейным трением. Линейный и нелинейный варианты. Фазовый портрет. Анализ режимов затухания колебаний в зависимости от коэффициента трения. Отсутствие первого интеграла. Вынужденные колебания маятника.
Вывод и решение уравнения трактрисы.
Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным.
Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным.
Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение. Формула Эйлера.
Система уравнений Лотки - Вольтерра для хищников и жертв. Модель Лотки - Вольтерра для динамики численности конкурирующих за ресурс видов. Качественное исследование. Первый интеграл. Лемма Морса. Фазовый портрет. Стационарное решение. Период малых колебаний. Устойчивость малых колебаний. Сравнение с экспериментальными данными.
Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова.
Дифференциальное уравнение рекламной кампании. Постановка задачи оптимизации затрат на рекламу.
Интегрирующий множитель.

Модуль 3. Качественная теория автономных уравнений

Дифференциальное уравнение, зависящее от параметра. Уравнение в вариациях. Применение к методу стрельбы.
Качественное исследование поведения линейной системы в окрестности стационарной точки. Устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчивость.
Теорема Ляпунова.
Предельные циклы (выход на периодический режим). Устойчивость и неустойчивость циклов. Отображение Пуанкаре. Теорема Бендиксона. Автоколебания. Уравнения с периодическими по времени коэффициентами.
Жесткий и мягкий сценарии потери устойчивости стационарной точки.
Понятие «системы в общем положении». Классификация двумерных автономных систем в общем положении.
Модель Лоренца. Странный аттрактор.
Эргодичность динамических систем.
Показатели Ляпунова.

Модуль 4. Конечно-разностные уравнения и итерационные процессы

Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Модель Фибоначчи. Различные начальные условия. Однородные и неоднородные линейные уравнения.
Конечно-разностные уравнения - случай постоянных коэффициентов: характеристический многочлен с простыми или кратными корнями.
Итерационные процессы. Метод Герона и метод Ньютона.
Локальная сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости. Случай кратного корня.
Метод Ньютона – Рафсона. Бассейны притяжения.
Решение квадратного и кубического уравнений на комплексной плоскости методом Ньютона. Множества Жюлиа.
Фракталы.
Нелинейные конечно-разностные уравнения. Пример – схема Эйлера для логистического уравнения. Динамика Ферхюльста.
Потеря устойчивости стационарного решения для динамики Ферхюльста в пользу периодического решения с периодом 2. Потеря устойчивости этого периодического решения в пользу периодического с периодом 4.
Режим с переключениями на примере пружинного маятника с трением о стол. Определение числа колебаний.

Модуль 5. Численные методы и краевые задачи

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с помощью рядов Тейлора. Примеры.
Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами.
Уравнение Бесселя и построения ряда Тейлора для функции Бесселя нулевого индекса.
Аппроксимация Паде. Применение к решению дифференциального уравнения.
Аппроксимация дифференциального оператора разностным. Порядок аппроксимации. Компактные схемы.
Разностные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения: метод Эйлера, неявные методы, методы Рунге – Кутты. Метод Рунге – Кутты 4-го порядка (без вывода).
Приведение уравнения второго порядка к самосопряженному виду. Простота спектра задачи Дирихле для уравнения второго порядка.
Леммы о собственных числах и функциях: ортогональность собственных функций и ограниченность спектра снизу.

Blog

Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» Автор программы

Содержание

Рекомендуемая литература