Geum.ru

Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика»

Вид материалаОбразовательный стандарт

Содержание


Теория чисел
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
^
Теория чисел

Предмет курса; краткий исторический обзор развития теории чисел; основные направления исследований и основные методы; влияние теории чисел на развитие других разделов математики; применение теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях; роль русских и советских математиков в развитии теории чисел; простые числа: свойства делимости целых чисел; простые числа; решето Эратосфена; теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел; основная теорема арифметики о разложении целых чисел на простые сомножители; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное; некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии; арифметические функции; целая и дробная часть числа; разложение числа n! на простые множители; суммы, распространенные на делители числа; мультипликативные функции; функция Эйлера и ее свойства; сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа простых чисел, не превосходящих х; цепные дроби; конечные цепные дроби; подходящие дроби и их свойства; нахождение наибольшего общего делителя с помощью цепных дробей; бесконечные цепные дроби; разложение действительных чисел в цепные дроби; приближение действительных чисел рациональными числами; подходящие дроби как наилучшие приближения; признак иррациональности числа; иррациональность числа «е»; теорема Лагранжа о разложении квадратичных иррациональностей в цепные дроби; числовые сравнения: сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю m; кольца классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система вычетов; теорема Эйлера и Ферма; сравнения первой степени: сравнения с одним неизвестным; равносильные сравнения; решения сравнения; сравнения первой степени; теорема о существовании решений; простейшие приемы решений; решение сравнений с помощью цепных дробей; системы сравнений, их решения; теоремы о решении систем сравнений первой степени; сравнения n-ой степени: сравнения n-ой степени по простому модулю; теоремы о равносильности сравнений; теорема о числе решений сравнения; теорема Вильсона; сравнения n-ой степени по составному модулю; сведение сравнения по составному модулю к системе сравнений по простому модулю; сравнения второй степени: сведение сравнений второй степени к двучленному сравнению; двучленные сравнения по простому модулю; квадратичные вычеты и невычеты; число решений сравнения; критерий Эйлера для квадратичных вычетов и невычетов; символ Лежандра и его свойства; закон взаимности квадратичных вычетов; сравнения второй степени по составному модулю; первообразные корни и индексы; показатель числа по модулю m; свойства показателей; теорема о существовании первообразного корня по простому модулю; первообразные корни по модулям р и 2р; теорема об отыскании первообразных корней; индексы по модулям р и 2р; таблицы индексов; двучленные сравнения n-ой степени; существование решений; степенные вычеты и невычеты n-ой и степени; число степенных вычетов; критерий для отыскания степенных вычетов; решение двучленных сравнений с помощью вычетов; решение показательных сравнений; условие принадлежности числа показателю и, в частности, к классу первообразных корней; число классов принадлежащих показателю; число классов первообразных корней; арифметические приложения теории сравнений: отыскание остатков от деления некоторого числа на заданное число; установление признаков делимости чисел; понятие об алгебраических и трансцендентных числах: алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными числами; существование трансцендентных чисел.

117

ОПД.Р.00

Региональный (вузовский) компонент, в том числе дисциплины по выбору студента

500

ОПД.Р.1

Афинные преобразования

Понятие аффинной системы координат и ее связь с прямоугольной декартовой. Аффинная система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат. Ориентация пространства. Формулы преобразования координат в пространстве. Векторное произведение векторов. Площадь треугольника. Смешанное произведение векторов. Объем тетраэдра. Преобразование пространства. Аффинные преобразования. Движения. Подобия. Параллельный перенос. Поворот. Симметрии относительно точки, прямой и плоскости. Проективная плоскость. Понятие проективной плоскости. Модели проективной плоскости. Однородные координаты. Линии второго порядка в однородных координатах. Проективная система координат. Проективные преобразования. Проективная классификация линий второго порядка.

100

ОПД.Р.2

Эконометрика

История создания и развития эконометрики. Основные понятия и особенности эконометрического метода. Связь эконометрики с другими дисциплинами. Методы исследования эконометрики и принципы их использования. Простейшие модели и этапы построения и сопровождения эконометрических исследований. Введение в эконометрический анализ, основные его категории и понятия. Понятие события и случайных величин. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, способы их оценок. Требования несмещенности, эффективности и состоятельности при характеристике числовых оценок случайных величин. Ковариация, механизм и правила ее расчета. Виды выборочной дисперсии, правила ее расчета. Механизм проведения дисперсионного анализа. Эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Понятие корреляции. Типы связей. Характеристика и методика расчета парных, частных коэффициентов корреляции и коэффициента множественной корреляции. Эконометрические модели и проблемы их оценки

Понятие модели, ее сущность. Типы моделей: модели временных рядов (модели тренда и сезонности), регрессионные модели с одним уравнением (линейные и нелинейные), системы одновременных уравнений (пример модели спроса и предложения). Понятие эндогенных и экзогенных переменных. Структурные и приведенные формы моделей (пример модели формирования дохода). Спецификация модели. Процедура пошагового отбора переменных в исследуемую модель. Идентифицируемость модели. Эконометрический анализ построения двумерной регрессионной модели. Модель парной линейной регрессии. Построение парной линейной регрессии методом наименьших квадратов. Качество оценивания модели парной регрессии. Свойства и оценка параметров линейного уравнения регрессии. Проверка гипотез о значимости регрессионной модели и проверка значимости ее параметров. Оценка значимости коэффициента корреляции. Критерии Стьюдента и Фишера. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии. Построение доверительных интервалов для прогнозируемых значений. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии. Средняя ошибка аппроксимации. Нелинейная регрессия. Схема применения метода наименьших квадратов в нелинейных моделях. Системы нормальных уравнений для нелинейных моделей. Корреляция для нелинейной регрессии. Эконометрическая модель многомерной регрессии. Модель множественной регрессии. Спецификация переменных в моделях множественной регрессии. Процедура пошагового отбора переменных. Отбор факторов при построении множественной регрессии. Матрица парных корреляций. Понятие мультиколлинеарности. Выбор формы уравнения множественной регрессии. Частные уравнения регрессии. Свойства, экономическая интерпретация и оценка коэффициентов уравнения множественной регрессии. Определение оценки надежности результатов множественной регрессии и корреляции. Проверка общего качества уравнения регрессии и выполнимости предпосылок метода наименьших квадратов. Статистика Дарбина-Уотсона. Понятие гетероскедастичности и автокорреляции. Стохастические и инструментальные переменные. Характеристика ошибок измерения. Фиктивные переменные во множественной регрессии. Нелинейные модели множественной регрессии. Прогнозирование в моделях множественной регрессии. Методы оценивания параметров эконометрических моделей Понятие и экономическая сущность оценки параметров эконометрических моделей. Оценка методом наименьших квадратов. Предпосылки применения метода наименьших квадратов. Двухшаговый, трехшаговый и косвенный методы наименьших квадратов, условия их применения и алгоритмы их реализации. Вычисление коэффициентов структурной формы модели через коэффициенты приведенной формы модели. Оценка параметров модели методом максимального правдоподобия и методом инструментальных переменных. Системы одновременных эконометрических уравнений. Определение, сущность и необходимость использования модели, задаваемой системой одновременных эконометрических уравнений. Составляющие систем уравнений. Классификация переменных системы одновременных уравнений. Проблемы спецификации и идентификации между структурной и приведенной формами модели. Необходимое и достаточное условие идентификации. Определение оценки систем одновременных уравнений. Основные направления прикладного использования систем одновременных уравнений. Эконометрическое моделирование динамических процессов. Временной ряд и его основные элементы. Определение тренда. Моделирование тенденции временного ряда. Линейные стационарные и нестационарные модели и их идентификация. Экстраполяция и прогнозирование. Определение оценки параметров моделирования динамических процессов: распределение Койка, частичные корректировки, адаптивные ожидания, гипотеза Фридмена, рациональные ожидания, предсказания, метод Бокса-Дженкинса, тесты на устойчивость (тест Чоу, F-тест на стабильность коэффициентов, оценка качества прогнозов, Коэффициент Тейла). Модели сезонных временных рядов. Общая процедура выделения трендовой и сезонной составляющей в аддитивных и мультипликативных моделях. Использование скользящего среднего за год и центрирования данных. Расчет средних значений сезонной компоненты в аддитивной модели. Коррекция сезонной компоненты. Прогнозирование по аддитивной модели с помощью метода наименьших квадратов. Расчет ошибок. Спектральный и гармонический анализ. Новые направления в анализе многомерных временных рядов.

100

ОПД.Р.3

Практикум по теоретической механике

Кинематика точки. Скоpость и ускоpение в естественном тpехгpаннике. Сектоpная скоpость. Абсолютное, относительное, пеpеносное пеpемещение. Движение твеpдого тела. Поступательное движение. Вpащательное движение. Винтовое движение. Уpавнение мгновенной винтовой оси. Аксоиды. Плоскопаpаллельное движение. Центpоиды. Вpащение вокpуг неподвижной точки. Ускоpения точек твеpдого тела. Фоpмула Ривальса. Теоpема Коpиолиса. Ускоpение Коpиолиса. Законы Ньютона. Уpавнения движения матеpиальной точки. Пpямая и обpатная задачи динамики. Теоpема о количестве движения. Теоpема о моменте количества движения (кинетическом моменте). Работа силы. Потенциальные силовые поля. Теоpема о кинетической энеpгии. Закон сохpанения энеpгии. Движение под действием центpальной силы. Фоpмулы Бине. Движение планет. Закон Кеплеpа. Вывод закона всемиpного тяготения из законов Кеплеpа. Движение несвободной матеpиальной точки. Голономные связи. Конфигуpационнное пpостpанство. Пpинцип освобождаемости от связей. Уpавнение движения точки по повеpхности и по кpивой. Аксиома идеальных связей. Закон сохpанеpия энеpгии. Движение по инеpции. Пpинцип возможных пеpемещений для неосвобождающих связей. Пpинцип Тоppичели. Теоpемы о pавновесии системы.Уpавнения pавновесия твеpдого тела. Пpинцип Даламбеpа-Лагpанжа для системы с идеальными связями. Уpавнение Лагpанжа пеpвого pода. Теоpема об изменении количества движения. Ускоpение центpа масс. Теоpема об изменении кинетического момента системы. Теоpема об изменении кинетической энеpгии системы. Интегpал энеpгии. Уpавнение Лагpанжа втоpого pода. Функция Лагpанжа. Канонические уpавнения Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические преобразования.

144

ОПД.Р.4

Методы оптимизации

Экстремальные задачи и методы их решения. Производная по направлению, вариация по Лагранжу, производные по Гато и Фреше. Строгая дифференцируемость. Экстремальные задачи без ограничений и с ограничениями. Классическое вариационное исчисление и методы оптимизации. Вывод уравнений Эйлера. Задачи Больца, Лагранжа, изопериметрическая задача, задача с подвижными концами. Сильный и слабый экстремум. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Принцип максимума в частном случае. Простейшая задача о быстродействии. Аэродинамическая задача Ньютона.

72

ОПД.Р.5

Теория устойчивости

Устойчивость линейных систем. Арифметические действия над матрицами. Экспоненциал матрицы и его свойства. Основные понятия теории устойчивости. Общие свойства решений линейной дифференциальной системы. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем. Устойчивость линейных однородных систем. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей. Характеристические показатели функций. Характеристические показатели функциональных матриц. Неравенства Важевского, Ляпунова. Теорема Перрона. Теорема Ляпунова-Пуанкаре. Неоднородные периодические системы. Метод малого параметра.


72

СД.00

Специальные дисциплины и дисциплины специализации

1000

СД.Ф.1

Дифференциальные уравнения и включения

Дифференциальные уравнения, удовлетворяющие условиям Каратеодори. Основные требования к обобщенному понятию решения таких уравнений. Теоремы существования, продолжаемости, единственности решений. Непрерывная зависимость решений от правой части и начальных условий. Многозначные отображения в конечномерных пространствах. Расстояния по Хаусдорфу между множествами в конечномерном пространстве. Выпуклые множества, свойства выпуклых множеств. Среднее значение интеграла от функции, значение которой принадлежат заданному множеству. Понятие измеримого многозначного отображения. Критерий измеримости. Измеримость некоторых специальных многозначных отображений и интегралов. Дифференциальные включения. Дифференциальные уравнения с разрывной по фазовым переменным правой частью. Понятие дифференциального включения. Различные определения решения дифференциального включения. Интегрирование многозначных отображений. Понятие многозначного оператора Немыцкого, его свойства. Произведение оператора интегрирования и оператора Немыцкого. Его свойства. Теоремы существования решения, продолжаемости дифференциального включения с выпуклой правой частью. Зависимость множества решений от правой части и от начальных условий. Дифференциальные включения с невыпуклой правой частью. Квазирешения. Теоремы существования решений. Приближенные решения. Асимптотическое представление приближенных решений. Дифференциальные уравнения с разрывной по фазовой переменной правой частью. Определение решения. Существование решения. Теоремы единственности и продолжаемости. Вариация разрывных систем. Дифференциальные включения на плоскости. Ограниченные и периодические решения.

96

СД.Ф.2

Обобщенные функции

Обобщенные функции на пpямой. Основные функции. Обобщенные функции. Носитель. Действия над обобщенными функциями. Замена пеpеменной. Сходимость. Полнота пpостpанства обобщенных функций. Пеpвообpазная. Диффеpенциальные уpавнения с обобщенными функциями. Диффеpенциpование последовательностей и pядов обобщенных функций. Дельта - обpазные последовательности. Фоpмула суммиpования Пуассона. Обобщенные функции, связанные со степенной функцией. Свеpтка обобщенных функций. Интегpал Пуассона и фундаментальное pешение задачи Коши. Диффеpенциpование и интегpиpование дpобного поpядка. Пpеобpазование Фуpье основных функций. Аналитические функционалы. Пpеобpазование Фуpье обобщенных функций. Обобщенные функции нескольких пеpеменных. Основные функции. Обобщенные функции. Свеpтка. Пpиложения к диффеpенциальным уpавнениям.

100

СД.Ф.3

Геометрия и топология многообразий

Теория кривизны поверхности. Асимптотические линии на поверхности. Индикатриса Дюпена. Классификация точек поверхности. Главные направления. Главные кривизны. Линии кривизны. Формула Родрига. Полная и средняя кривизны поверхности. Формула Эйлера. Основные уравнения теории поверхностей. Основные уравнения теории поверхностей. Деривационные формулы. Формулы Гаусса - Петерсона - Кодацци. Существование и единственность поверхности с заданными первой и второй квадратичными формами. Теорема Бонне. Теорема Гаусса. Внутренняя геометрия поверхности. Геодезическая кривизна линии на поверхности. Изгибание поверхности. Теорема Гаусса - Бонне. Дефект геодезического треугольника. Поверхности постоянной кривизны. Реализация в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Параллельное перенесение вектора на поверхности.

128

СД.Ф.4

Асимптотические разложения

Целая функция. Порядок и тип целой функции. Функции экспоненциального типа. Выпуклые множества на плоскости. Опорная функция выпуклого множества. Сопряженная диаграмма. Преобразование Бореля. Функции, ассоциированные по Борелю. Интегральное представление целой функции. Интеграл Лапласа. Интегральное представление функции, ассоциированной по Борелю. Индикатриса роста целой функции. Связь индикатрисы роста с опорной функцией сопряженной диаграммы. Ряды экспонент. Ряды экспонент с вещественными показателями. Абсцисса сходимости ряда экспонент. Абсцисса абсолютной сходимости и ее соотношение с абсциссой сходимости. Представление целых функций рядами экспонент. Формулы для коэффициентов. Ряды экспонент с комплексными показателями. Сходимость и абсолютная сходимость ряда экспонент с комплексными показателями. Асимптотическое поведение суммы ряда экспонент. Некоторые оценки для ряда экспонент с комплексными показателями. Нетривиальное разложение нуля в ряд экспонент. Пример такого разложения. Биортогональная система функций. Разложение функций в ряд экспонент с комплексными показателями. Формулы для коэффициентов. Ряды простых дробей. Их связь с рядами экспонент. Представление функций рядами простых дробей. Переполненность системы простых дробей в пространстве функций, аналитических в круге. Ряды функций многих комплексных переменных, аналитических в полной кратно-круговой области. Биортогональная система функций. Представление функций соответствующими функциональными рядами. Переполненность системы функций, образующей ряд, в пространстве функций, аналитических в соответствующей области.

64

СД.Ф.5

Теория представлений групп

Группы. Примеры. Подгруппы. Однородные пространства. Классы сопряженных элементов. Нормальные делители. Фактор-группы. Некоторые сведения из линейной алгебры (линейные пространства, линейные функционалы, линейные операторы, прямая сумма пространств и операторов, тензорное произведение пространств и операторов, унитарные операторы, сопряженные операторы, самосопряженные операторы). Групповая алгебра конечной группы. Центр групповой алгебры. Представления конечных групп. Эквивалентность. Прямая сумма и тензорное произведение представлений. Приводимость, неприводимость, разложимость представлений. Унитарные представления. Сплетающие операторы. Лемма Шура. Соотношение ортогональности для матричных элементов конечной группы. Характеры. Соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений конечной группы. Свертка матричных элементов и характеров. Разложение представлений на неприводимые с помощью характеров. Разложение групповой алгебры. Разложение центра групповой алгебры. Структура групповой алгебры конечной группы. Квазирегулярные представления. Преобразование Пуассона и Фурье. Сферические функции. Индуцированные представления. Теорема двойственности Фробениуса. Компактные группы. Мера Хаара. Представления компактных групп. Представления группы U(1). Группа SU(2), ее алгебра Ли. Группа SU(3). Неприводимые представления группы SU(2). Неприводимые представления группы SU(3). Сферические функции Лапласа. Разложение квазирегулярного представления на сфере.

72

СД.Ф.6

Дисциплины специализации «Математический анализ»

540

СД.Ф.6.1

Группы Ли и алгебры Ли

Многообразия (карта, атлас, дифференцируемая структура). Функции на многообразии. Лемма Урысона. Касательные векторы. Отображения. Касательное отображение (дифференциал отображения). Дифференциал функции. Касательное расслоение. Векторные поля. Кокасательное расслоение. Дифференциальные формы. Группы Ли. Группы матриц. Алгебры Ли. Присоединенное представление алгебры Ли. Алгебры Ли группы Ли (построение с помощью: a) левоинвариантных векторных полей, б) локальных координат, в) кривых, г) присоединенного представления) Экспоненциальное отображение. Подгруппы Ли и подалгебры Ли. Однородные пространства. Присоединенная группа. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Разрешимые алгебры Ли. Нильпотентные алгебры Ли. Полупростые алгебры Ли. Форма Киллинга. Критерий Картана. Разложение полупростой алгебры Ли в сумму простых. Присоединенная группа полупростой алгебры Ли. Алгебра Ли sl(2,C). Представления алгебры sl(2,C). Алгебра Ли sl(n,C). Подалгебры Картана. Корни. Классификация комплексных полупростых алгебр Ли.

100