Яковом Иосифовичем Абрамсоном, учителем математики в школах "Интеллектуал" и "Алеф". Беседа проходила в Филипповской школе в рамках Маркеловских лекций и была посвящена Высшей математике в начальной школе и других задача

Вид материалаЗадача
Подобный материал:
  1   2   3

Продолжая цикл видеобесед с учеными, деятелями культуры, общественными деятелями, ставшими национальным достоянием, - мы поговорили с Яковом Иосифовичем Абрамсоном, учителем математики в школах "Интеллектуал" и "Алеф". Беседа проходила в Филипповской школе в рамках Маркеловских лекций и была посвящена Высшей математике в начальной школе и других задачах.

Я.И.: Добрый вечер! Здесь мне многие знакомы. Имеется ввиду, что легче выступать для родителей своих учеников первых классов. Сегодня я планирую рассказать о двух вещах. Первое – это та программа начальной школы, которую здесь я впервые в полном объеме реализую. До этого я реализовал ее в частной школе, но не в полном объеме. Я объясню, почему и как возникла эта идея. Как я начал в начальной школе преподавать, так как я пытаюсь это делать. И так как это уже реализовано с 6 по 11 классы, где в прошлом году у меня состоялся выпуск, правда, всего 3-х человек, выдержавших все. Об очевидных недостатках и издержках процесса я буду говорить позже. Я очень надеялся, что один из трех выпускников сегодня придет. Но он не сможет.

Должен начать с того, что я случайно попал в школу «Интеллектуал», случайно попал в педагогику. Но как-то в разговоре с Евгением Владимировичем (Маркеловым) я сказал, что у меня есть программа, рассчитанная с 6-11 классы и то, что за это время можно добиться таких вещей, которые выглядят неправдоподобными. Когда зам. директора школы «Интеллектуал», Евгений Николаевич, попросил меня дать сводку по результатам моей работы за 6 лет, я стал скачивать все в один файл (экзамены). Скачав, я посмотрел и не поверил сам. Я увидел весь этот огромный материал, собранный в одном месте и превышающий во многом первые два курса мехмата по многим направлениям. Но ведь можно было бы сделать еще больше, начав не с 6-ого, а с 1-ого класса. Сначала у нас с Евгением Владимировичем шел разговор скорее в полемическом ключе, т.к. очень много было противников этой идеи. Но он загорелся и успел открыть начальную школу. Очень хотелось бы показать ему, какая получилась школа.

История и предыстория. С 1966 -1971 гг. я учился в школе Л2Ш. Почему возникла мысль преподавать так, как я это сейчас делаю? В меня в школе было 16 часов математики в неделю и еще надо было 2-3 часа делать домашние задания, при этом мы фактически в очень небольшой степени, характерной для математических школ, превышали школьную программу. Т.о. до 90% - это была школьная программа. А зачем так много часов, зачем такая интенсивность? Что же этим достигалось? А достигалась высокая степень автоматизма при решении сложных конкурсных задач. Была математика, которую стали называть конкурсной. Это сложные зубодробительные задачи, собранные за 20-30 лет, которые даются только для поступления, а скорее для не поступления. Это хитрые, фактически олимпиадные задачи. У многих моих одноклассников это отбило охоту заниматься математикой, многие занялись чем-то другим. Мне, поскольку я никуда не мог поступить, т.к. ничего больше не знал, пришлось пойти на мехмат МГУ. Но было сформировано представление, что математика - это решение сложных олимпиадных задач. А потом оказалось, что у нее совершенно другое лицо. И у меня возникла мысль не морочить голову детям, а сделать для них выбор будущей профессии сознательным. Во-первых, та математика, которую я преподаю совершенно другая. Например, школьная геометрия фактически больше нигде не используется, совершенно другие идеи, другая идеология, все другое. Почему нельзя все это сделать еще в школе? Да, психологи считают, что до определенного возраста человек не готов. В физике тоже когда-то считалось, что Земля стоит на трех китах, и все были в этом абсолютно уверены. Но оказалось, что это не так. А в психологии тем более. В РГГУ, в институте психологии, например, берутся 20 студентов, с которыми проводится эксперимент, затем делается вывод и все. Выборка совершенно недостоверная, маленькая и не представительная. Потому что, иначе дорого проводить исследования. Но мне кажется, стоило бы проверить. Я проверял с 1991-1998гг в частной школе «Алеф». Там мне предоставили возможность сделать все, что я хочу, но в ограниченном объеме. Во-первых, 2 раза в неделю и, во-вторых, там не было возможности отбирать детей. А я вовсе не утверждаю, что то, что предлагается, может быть растиражировано на 100-80% детского коллектива. В нашей стране и в мире такого нет. Это 15-20%, может 25-30%, но не больше. Это не для всех и не всем показано. В школе «Интеллектуал» имеется такая роскошь, как возможность отбирать и мы отбираем детей и у нас есть большой конкурс. Поэтому это тоже не совсем представительская выборка, т.е. это не случайные дети. Это дети высокой нормы. Это очень любознательные, обучаемые дети, из семей, в которых уделялось много внимания образованию. Т.е. благополучные дети, с которыми легко, которые хотят учиться, учиться всему, в т.ч. и математике.

Что характерно для действующей сейчас программы и какие в ней я вижу в ней недостатки. Во-первых, есть несколько разрывов. Разрыв между начальной и средней школой. В начальной школе формируется представление о математике, как о счете. Выходит после 4-ого класса ученик. Его ожидания - это дальнейшее совершенствование в счете. Сложение, вычитание, умножение, деление. Кто лучше считает, тот и лучший в математике. Только непонятно зачем это нужно в век компьютеров. В средней школе меняется представление, появляются буквы и много формул. И дальше уже формируется новое представление. Значит математик – это тот, кто знает больше формул. Получается разрыв уже с высшей школой. Правда есть один предмет - геометрия, где нужно очевидное доказывать. Но зачем, правда? Но больше нигде, только в геометрии это нужно.

В «Интеллектуале» существует два вида отборов. Отбор в 5-6 класс. Но этого я сейчас касаться не буду, потому что это отдельная история. А вот по поводу отбора в первый класс и открытия начальной школы было очень много возражений. Понятно, что отсутствуют тесты, т.к. дети, идущие в 1-ый класс, не обязаны ничего знать. Ребенок идет, чтобы его всему обучили. Я понимал, что не надо открывать начальную школу, т.к. ничего в этом возрасте определить нельзя. Лучше всего конечно брать в 8-ой класс, например, победителей олимпиад. Т.к. там всем понятно, что это человек с уже определившимися интересами. А первокласснику интересен весь мир. Но есть все равно некоторые вещи, которые можно увидеть и здесь. Я наблюдаю. Мне не важно, решит он задачу или не решит в данной ситуации. А мне важно, сколько времени ребенок способен ее решать. Потому что очень многие дети попробовали, не получилось, бросили. Интерес пропал. А у некоторых нет. Ему хочется попробовать и так и сяк. Вот это как раз наш ребенок. Вот этот вот нужен. Получилось – не получилось – не так уж важно. Важно, что у него есть способность фокусироваться на какой-то задаче. Дальше. Люди привыкли оценивать человека по тому, что он говорит и как он говорит. Я считаю, что важнее посмотреть, как человек слушает. Умеющих говорить, существенно больше, чем умеющих слушать. Я наблюдаю, как слушают. Как слушают друг друга, как слушают учителя. Умение слушать встречается значительно реже. Кто-то отвлекся, а кто-то слушает, открыв рот, глаза, уши. Тоже записываю. Это можно увидеть. Но есть и формальные вещи, когда даю задачу на смекалку. Решил – не решил. Т.е. на самом деле в 1-ый класс вполне можно отобрать. Дети приходят очень разные. Более разные, чем взрослые. Потому что обычная школа нивелирует, т.е. усредняет. Школа подтягивает слабых учеников и оставляет вниманием сильных. Сильным скучно, нечего делать. Они могут даже создавать проблему для учителя. Трудно ведь ученику сидеть спокойно в 7-8 лет и ничего не делать. Это мы взрослые научились прекрасно ничего не делать. Можем сидеть на работе и ничего не делать и нам комфортно. А вот в 7-8-9 лет – это не комфортно. Если ничего не делать, то надо прыгать, отвлекаться, но ничего не делать очень трудно. Вот что-то делать, тогда еще можно сидеть. Сидеть вообще очень трудно, но еще не делать ничего – это просто пытка. А учитель в это время занят. Если у него тем более 30 человек в классе. Занят, ему мешают, если его внимание отвлекают. Так что потом потихонечку все становятся более или нее ровными.

Детей можно считать одаренными, если они любознательные. Не у всех 100% детей существует такая черта как любознательность, но у тех, у кого она есть – их всех можно научить. Много ли таких детей? Например, в частной школе «Алеф», где я работал последние годы, конкурса не было, брали всех. Но в каждый класс все равно попадали 1-2 ребенка, которых можно было учить. Трудно конечно учить в одном классе, где есть разные ученики. Но что делать? Все равно получалось. Проблема с учителями. Гораздо меньше учителей, которые могут по этой программе учить, чем детей, которые могут по ней учиться. Если я говорю, что детей от 15-30%, то учителей, боюсь, что не больше 1 %. А идея сама очень заманчива – взять в 1-ом классе и выпустить в 11-ом. Но я, к сожалению, слишком поздно получил такую возможность, поэтому не знаю, удастся ли это реализовать. Мне хотелось бы иметь молодых последователей, которые смогли бы это реализовать в своей программе, которым это было бы интересно, и которым хватило бы на это времени в жизни.

Цели и задачи. У нас в 1-ом классе в настоящий момент 16 учеников, из которых 7 девочек и 9 мальчиков. В основном они все старше 7 лет, но моложе 8. Четыре раза в неделю с ними занимаюсь я. Один раз в неделю у них проходит занятие по олимпиадной математике. И еще пару часов в неделю у них бывает обычная государственная математика. Также у них много развивающих кружков, например, биология, естествознание, музыка с ее половинками, четвертинками, долями и т.д. Происходит комплексное воздействие на учеников. Чем бы ребенок ни занимался, все его развивает.

У нас модульная система обучения. Что удалось сделать за 5 модулей? Запись чисел в различных системах исчисления, перепись из одной системы исчисления в другую, сложение-вычитание в разных системах исчисления, умножение многозначных чисел почти в столбик, т.е. почти закончили. Все алгоритмы они выводили сами. Я не давал никаких алгоритмов, сами постепенно к ним пришли. Почти дошли до умножения в столбик. Строим гараж, чтобы в уме не держать, не запоминать. В уме мы не любим запоминать. Все пишем. Деление уголком многозначных чисел на однозначные. Степени прошли, обратные операции, т.е. корни – логарифмы. Планиметрию немножечко взяли, доказательства, понятия доказательства. Что такое доказательство от противного. Доказали несколько теорем для тренировки, например, признаки равенства треугольников. Посчитали на клетчатой доске площади многоугольников. Но главное достижение, я считаю, это эмоциональная увлеченность, они просят сами домашнее задание. У меня в старших классах домашние задания не просят. А эти просят еще пока, но может скоро перестанут (смех в зале).

Планы. Мы в первом модуле 2-ого класса построим Z-целые числа, т.е. у нас появятся отрицательные числа, соответственно функции и графики. Но графики у нас будут состоять из отдельных точек, т.к. у нас нет ни дробей, ни вещественных чисел, поэтому это будут не линии, а отдельные точки. Но все равно это графики, графики на множестве целых чисел. Преобразования этих графиков, графики прямых линий, модули, абсолютная величина, квадратичная функция. Потом будут преобразования графиков, сдвиг графиков вверх, вниз, влево вправо, переворачивание, F от х, модуль F от х. Сложение, умножение функций, многочлены, сложение, умножение многочленов, формулы сокращенного умножения, их применение для быстрого счета. Техника быстрого счета. Во 2-ом классе научимся быстро, как следует считать. Появятся двоично-рациональные числа - половинки, четвертинки, восьмушки и т.д. Продолжим планиметрию, там будут вписанные, описанные окружности. Различные равенства треугольников по трем элементам - по трем медианам, по трем биссектрисам, т.д. Дальше будет язык математической логики, теория множеств. В 3-ем классе делимость, признаки делимости, линейные Диофантовы уравнения, построения рациональных чисел, система уравнений с 2-мя неизвестными, текстовые задачи на составление уравнений, соответственно, раз появились дроби – гомотетия, подобие, применение в геометрии. В 4-ом классе комбинаторика, метод математической индукции, вероятность, графы, т.к. очень много задач на математическую индукцию. Нам нужно поле для применения математической индукции. А применение на олимпиадных задачах. Векторы, матрицы на плоскости, векторы на плоскости, матрицы на плоскости, линейные преобразования плоскости, детерминант и его геометрический смысл, барицентрический метод решения геометрических задач. Все. Это то, что нам предстоит пройти за 4 года, т.е. программа начальной школы.

Особенности методики. (Написано на стенде). – III тип; быстрая смена задач, низкая повторяемость; отработка за счет «наложения» (сложение-умножение, вычитание-деление, системы-задачи); постоянный интеллектуальный стресс, работа на границе ЗБР; эмоциональное подкрепление (успех на внешних мероприятиях, статус в группе, конкурентная среда + взаимодействие; непрерывность(д/з на выходные, каникулы); развитие навыков самостоятельной работы; ничего не объяснять, не рассказывать решений; эффект Зейгарника.

Есть так называемых 2 типа. I-ый тип – проб и ошибок. II-ой тип – работа по готовому алгоритму. III-ий – построение алгоритма.

Я даю задачи такого типа, как, например, найдите закономерность. Например, выпишите квадраты 1, 4, 9, 16, 25 и попробуйте найти закономерность того, как эти числа растут. Задача открытого типа. Находят закономерность, не находят, постепенно все это делается. II-ой тип – работа по готовому алгоритму. Все алгоритмы, которые у нас были до сих пор, мы их все-таки вывели. И сложение-вычитание в столбик, умножение в столбик и деление уголком. И задачи по геометрии были. Правда, у нас всего 2 аксиомы. У нас не по Д.Гильберту. По Д.Гильберту будет в 7-ом классе. Построили все, что нам нужно и строим дальше. Но все равно мы доказываем, мы по III-ему типу доказываем, а потом пользуемся уже готовыми алгоритмами при решении задач.

За счет чего можно удерживать эмоциональную напряженность? За счет чего их можно заставлять все время бежать? Все время тянуться за знаниями, как за морковкой? Что нужно делать, чтобы все время держать их на дистанции? Все искусство состоит собственно в этом. Держать не слишком далеко, иначе их можно потерять, но и не слишком близко, иначе ослабнет темп. Найти ту границу, границу зоны ближайшего развития, границу их возможностей. Работая на пределе своих возможностей, они попадают в ситуацию эмоционального стресса. Именно в этой ситуации происходит резкий рост. Резкий рост интеллектуального развития. Можете просто обратиться к своему опыту, то, что мы хорошо помним, было связано с какими-то эмоциональными стрессами. Положительными, отрицательными, неважно какими. Это хорошо запоминается. Но можно создавать искусственно и поддерживать это поле все время. За счет чего это достигается?

Во-первых, быстрая смена задач, низкая повторяемость. Т.е. дети утомляются, если они совершают монотонные, однотипные действия. Человек устает от однообразия, от однотипных задач. Если ему все время ставят задачи, где он попадает в тупик, где надо находить какое-то решение, где все время есть элемент поиска, все время что-то новое, то время летит незаметно и вроде бы как ощущения субъективной усталости не наступает.

Во-вторых, отработка за счет наложения. Стандартно учителя достигают полной отработки какого-то одного материала. Т.е. тему не заканчивают до тех пор, а соответственно не переходят к следующей, пока все ученики не освоили ее на 100 %. Я делаю по-другому. Еще не достаточно отработали сложение, например, сложение столбиком. Недостаточно, ошибки еще делают, а я уже перехожу к умножению. Потому что при умножении приходится многократно все равно складывать. Они доделывают это сложения, но уже занимаясь другим. Происходит наложение, нахлест. Пока мы следующее будем осваивать, доосвоим предыдущее. Т.е. мы не дожидаемся, пока все 100% будут складывать безошибочно, 30-40% освоили, мы переходим дальше к умножению. А умножая, они доделывают сложение, т.к. многократно им приходится складывать. Также я не дожидаюсь, пока вычитание будет на 100% освоено. 60-70% получили, все, переходим к делению. А выполняя операцию деления, многократно происходит выполнение операции вычитания. Но зато это не создает монотонность и утомляемость, т.к. они не понимают, что делают вычитание. Также можно добиться решения системы линейных уравнений. Можно заниматься, заниматься, заниматься. Пока все прекрасно не начали решать систему линейных уравнений, потом перейти к текстовым задачам, которые приводят к составлению этих уравнений. Потом их решить. А можно добиться какого-то уровня решения линейных уравнений, потом перейти к текстовым задачам, которые приведут к системным уравнениям. Вот этот нахлест, это наложение позволяет еще выигрывать время. Это система максимально быстрого продвижения. За счет таких резервов можно ускорить темп, при этом на самом деле не снижая качество.

В-третьих, человек устроен так, что он любит успех. И здесь дети, которые опережают свое развитие, своих сверстников, обречены на успех на внешних мероприятиях, на олимпиадах и т.д. Им это нравится, они же любят грамоты, подарки, домой пришел, а там похвалили. Это естественная вещь. А это эмоциональное подкрепление. Это работает и на учителя. Этим предметом соответственно хочется заниматься. Потому что все любят получать пряники.

В-четвертых, непрерывность. Я даю домашние задания на все выходные, на каникулы, на лето. Это накапливается. Постоянная работа накапливается. Она не заметна на протяжении 2-3 месяцев, но на протяжении года очень заметна. Это приносит свои плоды.

В-пятых, за счет непрерывности развиваются навыки самостоятельной работы с текстом. Потому что приходится работать с теми конспектами, которые я даю. Но это уже позднее, это мостик уже в старшую школу, начиная с 6-ого класса.

В-шестых, полезно ничего не объяснять. Я никогда не рассказываю, как решаются задачи, у доски никогда. Мне кажется, что чем меньше учитель говорит, тем лучше. Чем меньше он рассказывает на уроке, тем лучше. Не надо ничего рассказывать. Подсказать можно, но подсказки тоже бывают разные. У меня, например, ребята не могли решить довольно сложную задачу по геометрии. Вижу, что никак. Подхожу к доске и рисую окружность. И все. Т.е. не хватало какого-то толчка, не большого. По-минимуму надо. Есть у меня подсказки и такого вида – «Это просто». Это тоже подсказка. Это означает, что ищи решение на поверхности. Не уходи вглубь. Это значит надо отбросить сложные комбинации, надо посмотреть на задачу сверху, значит решение где-то на поверхности. Т.е. подсказки должны быть минимальными. Но подсказки должны быть. Т.е. когда я даю задачу, я предусматриваю, что ее не решат и даже не одну, а 2-3 подсказки, может быть, придется дать. А какие, я предусматриваю и пишу. Если не решат, я дам вот это, а если это не поможет, я дам вот это. Эффект Зейгарника - это эффект незаконченного действия. Не смогли решить задачу, но так скажите же. Нет. Она им не дает, она их мучает. Урок закончился, они так и не знают, они не могу ее выбросить. Как же она решается? Она как заноза. Вот и хорошо. Пускай как заноза. И если я вижу, что они достаточно помучались, я даю подсказку. Когда человек долго думал над задачей, ему совсем немного надо, чтобы все встало на место. Но эти усилия даром не проходят. Подсказать человеку, который думал над задачей, гораздо полезней, чем человеку, который над ней не думал. Никогда не подсказывайте тому, кто еще не подумал. Пусть сначала сами помучаются.

Недостатки программы.

Нынешняя школьная программа консервативна. Самая консервативная программа – это не институтская, а школьная. Она меняется очень медленно. Учебники построены в исторической последовательности, т.к. в исторической последовательности сначала были дроби, т.к. надо было что-то мерить. Я застал людей, которые учились в наших гимназиях до или вскоре после революции, так в то время отрицательные числа назывались относительными. К ним отношение было такое же. А название, мнимые числа, само за себя говорит. На самом деле, с логической, психологической, педагогической и т.д. точек зрения, отрицательные числа надо вводить раньше, чем дроби. Отрицательные числа - это очень простая вещь. Там всего лишь минус на минус равно плюс. Ничего запоминать не надо, потому что это очень естественная вещь. Объясняется с разных сторон, вполне доступно детям даже в 1-ом классе. Хотя у меня с этого начинается 2-ой класс. А дроби – это действительно сложное понятие. Здесь нужна математическая культура, прежде чем к нему перейти. Поэтому я стараюсь наработать эту математическую культуру как следует. Развить навыки абстрактного мышления, работу с буквами, с многочленами, с функциями и.т.д., прежде чем переходить к дробям.

Сейчас все совершенно разорвано в школьной программе. Так, например, появляется в 6-ом классе площадь круга. В площадь круга входит число П. Откуда взялось число П непонятно, потому что ничего кроме дробей до тех пор не было. Оно дробью не является. Чем оно является? Бесконечной десятичной дробью. А, что это такое? Принято считать, что никто не спросит. Потому что достаточно было бы спросить и все. Но этого вопроса нет. Что такое сложить бесконечное количество чисел? А что такое бесконечное количество чисел? Десятичная дробь – это сложение бесконечного количества десятичных дробей. Что такое сложение бесконечное количество объектов – это не то же самое, что сложить 20 или 30. Это понятие, которое надо как то определять. Не понятно только, зачем это в 6-ом классе делать. Это можно сделать, но не обязательно в 6-ом классе. Кстати мои 6-тиклассники не знают формулы площади круга и длины окружности. В этом они отстают от всех остальных. Они узнают, правда, это в 7-ом классе, когда построят вещественные числа с помощью Дедекиндова сечения, и тогда в свои права вступит число П. Правда все равно площадь круга и длина окружности не совсем еще легализованы, потому что не очень понятно, почему они, собственно говоря, есть. Или геометрия, она действительно учит изобретательности. Но не нужно думать, что современные разделы математики, такие как топология, линейная алгебра или факультативная алгебра этому не учат. И они, скорее всего больше понадобятся. Уж комплексные числа – это точно. В мое время были комплексные числа в программе, зато не было, начала анализа. Зачем нужно начало анализа? Потому что высшая школа начинает всегда с «забудьте то, чему учили вас в школе», потому что все делается заново. Уже не начало анализа, а анализ по-настоящему.