§ Основные понятия и теоремы Пункт Деление с остатком

Вид материала

Документы

Содержание Пункт 26. Число e2,718281828459045... Лемма 2 (Тождество Эрмита). Теорема 2 (Эрмит, 1873). А – подходящее целое число, а над знаком суммы стоит число (m Пункт 27. Число 3,141592653589793... Теорема 2 (Линдеман, 1882) В - подходящее целое число. Если теперь взять n

Подобный материал:

• Элективный курс «Отработка основных методов и приёмов решения уравнений» 10класс. 2010/2011, 51.02kb.
• Календарно-тематическое планирование 10а,б класс, 185.33kb.
• Программа по математике для 5-6 классов преподавание по учебникам, 102.94kb.
• Тематика курсовых работ по методике преподавания математики, 19.38kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру математического факультета, 107.92kb.
• Программа для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое, 37.95kb.
• Программа по курсу «Уравнения в частных производных», 25.35kb.
• В. М. Шибков Ведение. Основные положения спектроскопии. Основные квантовые закон, 22.85kb.
• Счисления. Римская нумерация. Арифметические действия над натуральными числами. Степень, 88.12kb.
• Содержание: Введение, 134.15kb.

^

Пункт 26. Число e2,718281828459045...

Матушка-природа подарила нам несколько замечательных констант, весьма неожиданно появляющихся при попытках математического выражения и записи законов разных наук. С одной из таких констант - “основанием натуральных логарифмов” - мы познакомимся поближе в этом пункте.

Когда-то давно я учился в средней школе № 110 г. Свердловска. В школе нам страшно повезло - судьба послала нам великого учителя, сухощавого математика на железной ноге Николая Ивановича Слободчакова, по прозвищу “Колываныч”. Самым загадочным образом хулиганы и двоечники становились у него отличниками, а математика - любимым предметом. Еще в восьмом классе Колываныч говорил нам: “Дети! Запомните, что основание натуральных логарифмов обозначается буквой e в честь Леонарда Ейлера, а запомнить его десятичные знаки очень просто. Два и семь - помнят все. Дальше - 1828, - год рождения Льва Николаевича Толстого. Дальше - снова 1828, - год рождения Жюль Верна, а если вы тупые, то - опять год рождения Толстого. Потом идут углы равнобедренного прямоугольного треугольника - 45, 90, 45. А что идет потом - я сам не знаю...”. Потом Николай Иванович доказал нам, что 2<e<3 и загробным голосом сказал: ” Число e - трансцендентно!”. Этим словом мы потом обзывались на переменках. Когда я поступил в университет, я узнал, что

;
;
e - основание показательной функции, являющейся
решением задачи Коши: y =y, y(0)=1;

и многое многое другое. Вразумительный ответ на вопрос, почему именно число e наиболее естественно взять за основание логарифмов, которые с таким основанием сразу становятся натуральными и пригодными к употреблению даже в период беременности, я нашел в книжке Ф. Клейна “Элементарная математика с точки зрения высшей”, том 1 , “Арифметика, алгебра, анализ”. Настоятельно советую ее прочитать, так как считаю, что с подобными книжками должен быть знаком каждый мало-мальски грамотный математик, ибо такие книжки составляют золотой фонд литературы о любимой нами науке.

Ряд сходится быстро (чего нельзя сказать про известные ряды, например, для числа ). Это значит, что частичные суммы ряда , будучи рациональными числами, очень хорошо приближают число e, поэтому естественно ожидать, что трансцендентность e удастся доказать относительно легко (а исследование природы числа  потребует гораздо больших усилий). Эти эвристические соображения действительно находят свое подтверждение на практике, но не будем торопить события и начнем по порядку.

Теорема 1. Число e иррационально.

Доказательство. Рассмотрим числа

и
.

Очевидно, что A_n N, a_n>0. Оценим a_n сверху:



Итак, 0<a_n<1, т.е. a_n - всегда дробное число. Это означает, что при любом натуральном n, число n!e=A_n+a_n не является целым.

Пусть теперь e=p/q - рациональное число, p, qN. Тогда q!e=q!p/q=(q-1!p) - целое число, что вопиюще противоречит факту, установленному тремя строчками выше.



Для доказательства трансцендентности героя этого пункта потребуются две леммы.

Лемма 1. Если g(x) – многочлен с целыми коэффициентами, то для любого kN все коэффициенты его k-ой производной g^(k)(x) делятся на k! .

Доказательство. Так как оператор d/dx линейный, то утверждение леммы достаточно проверить только для многочленов вида g(x)=x^s, s 0.

Если k>s, то g^(k)(x) 0 и k!|0.

Если k s, то



биномиальный коэффициент (^s_k) является целым числом и g^(k)(x) опять-таки делится на k! нацело.



Ключевая идея доказательства трансцендентности числа e принадлежит Шарлю Эрмиту. Впрочем, идея Эрмита сработала и при доказательстве трансцендентности числа , а также некоторых других чисел специального вида, но это уже заслуга других математиков. А трансцендентность непосредственно числа e доказал Эрмит в 1873 году и это был исторически первый решительный прорыв в познание природы замечательных констант. Слава Эрмиту!!!!! (Это четыре восклицательных знака и один факториал.)

^ Лемма 2 (Тождество Эрмита). Пусть f(x) - произвольный многочлен степени k с действительными коэффициентами,

F(x)=f(x)+ f (x)+ f  (x)+…+ f^(k)(x) - сумма всех его производных. Тогда для любого действительного (и даже комплексного, но нам это пока не понадобится) x выполнено:



()

Доказательство. Интегрируем по частям:



Интеграл снова подвергнем процедуре интегрирования по частям, потом этой прцедуре подвергнем интеграл и так далее. Терпеливо повторив эту процедуру всего k+1 раз, получим:





^ Теорема 2 (Эрмит, 1873). Число е трансцендентно.

Доказательство. От противного. Ну пусть е - алгебраическое, степени m. Тогда

a_me^m+…+a₁e+a₀=0

для некоторого натурального m и некоторых целых a_m,…a₁,a₀, причем, очевидно, a_m 0 и a₀ 0. Подставим в тождество Эрмита () вместо х целое число k, попросим k принимать по очереди значения 0, 1, ... , m; умножим каждое равенство



соответственно на a_k, а затем все их сложим. Получим:



Так как (это наше противное предположение), то выходит, что для любого многочлена f(x) должно быть выполнено равенство:



()

Противоречие, которое углядел Эрмит в этом равенстве, сразу и не заметишь. Но Эрмит на то и Эрмит, чтобы превосходить интеллектом 15756 наугад вместе взятых китайцев и двух Мао Цзэ-дунов. Он сначала сердцем почуял, а потом и мозгами воткнулся, что за счет подходящего выбора многочлена f(x) можно сделать левую часть () ненулевым целым числом, а правая часть при этом окажется между нулем и единицей.

Возьмем многочлен , где n определим позже (n N, и n будет очень большое).

Число 0 - корень кратности n-1 многочлена f(x), числа 1, 2, ..., m - корни кратности n, следовательно:

f^(l)(0)=0, l=1,2,…,n-2
f^(n-1)(0)=(-1)^mn(m!)ⁿ
f^(l)(k)=0, l=0,1, …,n-1; k=1,2,…,m

Рассмотрим  (x)=x^n-1(x-1)ⁿ(x-2)ⁿ…(x-m)ⁿ - многочлен, ужасно похожий на f(x), но с целыми коэффициентами. По лемме 1, коэффициенты  ^(l)(x) - целые числа, делящиеся на l!, следовательно, при l  n, у производной ^(l)(x) все коэффициенты - целые числа, делящиеся на n, т.к. ^(l)(x) получается из  ^(l)(x) делением только на (n–1)! . Именно поэтому



где ^ А – подходящее целое число, а над знаком суммы стоит число (m+1)n-1 - степень многочлена f(x) и, хоть суммировать можно и до бесконечности, ненулевых производных у f(x) именно столько.

Аналогично



где B_k – подходящие целые числа, k = 1, 2, ..., m.

Пусть теперь n N - любое целое число, удовлетворяющее условиям:



Снова рассмотрим равенство ():



В сумме слева все слагаемые - суть целые числа, причем a_kF(k) при k = 1, 2, ..., m делится на n, а a₀F(0) на n не делится. Это означает, что вся сумма, будучи целым числом, на nне делится, т.е. не является нулем. Следовательно,



Уф-ф!

Оценим теперь правую часть равенства (). Ясно, что x-k  m на отрезке [0;m]. Поэтому на этом отрезке



Тогда:



где константы C₀ и C₁ не зависят от n. Известно, что



поэтому, при достаточно больших n, правая часть () меньше единицы и равенство () невозможно.



После прочтения такого серьезного доказательства я советую вам отдохнуть. Впереди предстоят еще более серьезные испытания.


^ Пункт 27. Число 3,141592653589793...

В этом пункте я расскажу вам правдивую историю про отношение длины окружности к ее диаметру, которое Эйлер обозначил греческой буквой , а еще Архимед, почти тысячу триста лет назад, вычислил, дойдя в приближении длины окружности правильными многоугольниками аж до 96 сторон, что



т.е. 3,1409< <3,1429. Среднее арифметическое верхней и нижней границ, найденных Архимедом, дает =3,14159... Очень неплохо для древнего грека!

Истинную природу числа  долгое время не удавалось распознать. Эйлер, занимаясь знаменитой древнегреческой задачей о квадратуре круга (или, что эквивалентно, задачей построения циркулем и линейкой отрезка длины  ), впервые высказал предположение, что число  не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, но доказать этого он не смог. Лишь в 1882 году, после работ Лиувилля и Эрмита, немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852 – 1939) весьма изощренными методами доказал трансцендентность  показав, тем самым, неразрешимость задачи о квадратуре круга. Но давайте не будем забегать вперед и пойдем, как и в предыдущем пункте, по порядку.

Теорема 1. Число  иррационально.

Доказательство. Сначала докажем аналог тождества Эрмита из леммы 2 предыдущего пункта.

Пусть f(x) – произвольный многочлен с действительными коэффициентами, F(x)=f(x)-f(x)+f⁽⁴⁾(x)-f⁽⁶⁾(x)+... - многочлен из производных f(x) четного порядка (очевидно, ряд для F(x) содержит лишь конечное число ненулевых членов). Очевидно:

d/dx(F(x)sinx - F(x)cosx)=(F(x)+F(x))sinx=f(x)sinx.

Проинтегрируем последнее тождество:

()

Это и есть тождество Эрмита с функцией sinx, справедливое для любого многочлена f(x).

Предположим, что =a/b; a,bN; (a,b)=1. Положим в тождестве Эрмита ()

,

где n N - достаточно большое число, которое определим несколько позже. Утверждается, что при таком выборе многочлена f(x), мы, как и в теореме 2 предыдущего пункта, снова прийдем к противоречию. Именно: покажем, что интеграл в () будет по модулю меньше единицы, а сумма F(0)=F() окажется прекрасным целым числом.

Возьмемся сначала за интеграл. Очевидно, что f(x)sinx>0 на интервале (0,), поэтому . Далее, на этом же интервале, xⁿ(-x)ⁿ²ⁿ, следовательно:



Ясно, что можно взять nN настолько большим, что наш интеграл станет меньше единицы.

Обратим теперь свой взор на правую часть тождества (). Многочлен f(x) имеет число 0 корнем кратности n, следовательно

f(0)=f(0)=f(0)=...=f^(n-1)(0)=0.

Рассмотрим похожий на f(x) многочлен (x)=bⁿxⁿ(-x)ⁿ с целыми коэффициентами. По лемме 1 из предыдущего пункта, все коэффициенты l-ой производной ^(l)(x) делятся на l! , следовательно, все производные многочлена f(x) порядка l n имеют целые коэффициенты. Это значит, что f ⁽ⁿ⁾(0),f⁽ⁿ⁺¹⁾(0),...,f⁽²ⁿ⁾(0) - целые числа. Итак, f^(l)(0) - целое число для любого l=0,1,2,... . Очевидно, что f(x)=f(-x). Поэтому f^(l)(x)=(-1)^lf^(l)(-x), т.е. f^(l)()=(-1)^lf^(l)(0) - тоже целое число для любого l=0,1,2,... .

Итак, F(0)+F() является целым числом, поэтому равенство



невозможно, что и завершает доказательство теоремы.



Смотрите, мы затратили на доказательство только иррациональности числа  почти столько же усилий, сколько на доказательство трансцендентности числа е. Это обстоятельство не должно вызывать удивления, особенно если вспомнить мои досужие рассуждения из предыдущего пункта о скорости приближения чисел  и е рациональными частичными суммами. Однако, я все равно предпочитаю относиться к числу  с суеверным почтением и верить, что в  заложена какая-то страшная тайна, разгадать которую можно в тридевятом царстве, в тридесятом государстве, только зная волшебные слова и истоптав тысячу кованых кроссовок системы Ади Даслера.

^ Теорема 2 (Линдеман, 1882) Число  трансцендентно.

Доказательство. Приводимое здесь доказательство потребует некоторых сведений из теории функций комплексного переменного, одного дополнительного определения, и весьма серьезных усилий для понимания. Но волка бояться - в лес не ходить.

Мы знаем, что e^i помним тождество Эрмита



выполненное для любого многочлена f(x), при этом,
F(x)=f(x)+f(x)+f(x)+...+f^(k)(x)

Определение. Пусть  - алгебраическое число. Тогда существует единственный неприводимый многочлен f(x)с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, такой, что f()=0. Такой многочлен называется минимальным многочленом числа , степень f(x) называется степенью числа  (обозначение: deg), все корни минимального многочлена числа  называются числами, сопряженными с .

Пример. i - мнимое алгебраическое число, degi=2, f(x)=x²+1 - минимальный многочлен, {-i;i} - числа, сопряженные с числом i .

Нетрудно доказать, что произведение двух алгебраических чисел снова будет алгебраическим числом. Действительно, пусть ₁, ₁ алгебраические числа, deg₁=n, deg₁=m; ₁,₂,...,_n; ₁,₂,...,_mсопряженные числа к ₁ и ₁ соответственно. Рассмотрим многочлен



Его коэффициенты суть основные симметрические многочлены от корней _i_i (теорема Виета). Значит они являются симметрическими многочленами от ₁,₂,...,_n; ₁,₂,...,_m (но уже не обязательно основными). Каждый симметрический многочлен от ₁,₂,...,_n; ₁,₂,...,_m является комбинацией основных симметрических многочленов от ₁,₂,...,_n; ₁,₂,...,_m (основная теорема о симметрических многочленах). Каждый основной симметрический многочлен от ₁,₂,...,_n; ₁,₂,...,_m является комбинацией симметрических многочленов отдельно от ₁,₂,...,_n и многочленов от₁,₂,...,_m. Последние, в свою очередь, построены из основных симметрических многочленов от ₁,₂,...,_n и от ₁,₂,...,_m, которые являются рациональными числами - коэффициентами минимальных многочленов чисел ₁ и ₁ соответственно. Это значит, что коэффициенты многочлена , корнем которого является ₁₁, суть рациональные числа и ₁₁ - алгебраическое число степени не выше mn.

Доказательство теоремы Линдемана в математическом мире принято вести от противного. Ну пусть  - алгебраическое число. Тогда число =i тоже алгебраическое, как произведение двух алгебраических чисел. Пусть deg=v; ₁,₂,...,_v - сопряженные числа. Имеем e^+1=0, следовательно:



Я не поленюсь и в этом произведении раскрою скобки:



Показатели над буквой есправа бывают отличными от нуля (например, при ₁, ₂=₃=...=_v=0 и равными нулю (например, при ₁= ₂=₃=...=_v=0). Пусть среди этих показателей ровно m отлично от нуля, а остальные a=2^v-m равны нулю, a1. Обозначим отличные от нуля показатели через ₁,₂,...,_m и получим равенство:



Покажем, что ₁,₂,...,_m - в точности все корни некоторого многочлена (x) с целыми коэффициентами (разумеется, степень (x) равна m). Рассмотрим вспомогательный многочлен:



Поглядим на многочлен (x) как на симметрический многочлен от ₁,₂,...,_v. Он, конечно, представим в виде комбинации основных симметрических многочленов от ₁,₂,...,_v, правда, коэффициенты в таком представлении будут зависеть от х и ₁,₂,...,_v (Ну и пусть зависят, все мы от кого-нибудь зависим.) Но основные симметрические многочлены от ₁,₂,...,_v есть коэффициенты минимального многочлена числа  , т.е. являются рациональными числами. Следовательно, (x), как многочлен от х, имеет рациональные коэффициенты а многочлен r(x), где r - общий знаменатель коэффициентов (x), имеет целые коэффициенты. Корни (x) суть числа ₁,₂,...,_m и число 0, которое является корнем кратности а. Поэтому многочлен имеет целые коэффициенты, а его корни есть в точности числа ₁,₂,...,_m. Запомним этот многочлен, ибо именно его (правда чуть-чуть искалеченного) мы будем подставлять в тождество Эрмита для получения противоречия.

Положим в тождестве Эрмита

,

последовательно x=₁,₂,...,_m и сложим все получившиеся равенства:

,

т.е. (помним, что
)

, ()

Далее все будет катиться как по моторному маслу Shell, точнее, как в доказательстве трансцендентности числа е . Тождество () справедливо для любого многочлена f(x). Положим:

,

где (x)=(r/x^a)(x)=b_mx^m+...+b₁x+b₀, b_m>0, b₀0, - тот самый многочлен с целыми коэффициентами и корнями ₁,₂,...,_m, который мы построили выше а b_m=r его старший коэффициент. Видно, что:

,

а число n N мы определим позже и оно будет достаточно большим.

Сначала рассмотрим левую часть тождества (). Рассуждая как при доказательстве трансцендентности числа е , получим:

f^(l)(0)=0, l=0,1,...,n-2;
f^(n-1)(0)=b_m^mn-1b₀^m;

,

где А – некоторое подходящее целое число. Далее, так как _k корень f(x) кратности n, то

f^(l)(_k)=0, l=0,1,...,n-1, k=1,...,m.

По лемме 1 из предыдущего пункта, все коэффициенты l-ой производной многочлена x^n-1ⁿ(x) делятся на l!. Поэтому, при ln, многочлен f^(l)(x) имеет целые коэффициенты, делящиеся на nb_m^mn-1. Значит:

,

где Ф(z) – некоторый многочлен с целыми коэффициентами.

Сумма является симметрическим многочленом от ₁,₂,...,_m, следовательно она представляется в виде комбинации основных симметрических многочленов от ₁,₂,...,_m. Поскольку основные симметрические многочлены от ₁,₂,...,_m суть целые числа (коэффициенты (x)), то сумма является целым числом и это число делится на n. Значит, левая часть тождества () есть

,

где ^ В - подходящее целое число.

Если теперь взять n N таким, что

,

(или, на худой конец, просто n>ab₀^mb_m^mn-1), то левая часть () окажется целым числом, не делящимся на n, т.е. отличным от нуля целым числом. Значит,

,

Оценим теперь правую часть равенства (). Пусть все точки ₁,₂,...,_m содержатся в круге xR. Обозначим

.

Ясно, что С не зависит от n. Ну тогда

.

Значит, правая часть ()

.

Таким образом, при больших n N, правая часть () меньше 1 и равенство () невозможно.



Поздравляю Вас, дорогие товарищи, с прочтением предпоследнего пункта этой книжки.

Задачки

1. Докажите, что число 2 иррационально. 2. Докажите, что число 2 не является квадратичной иррациональностью. 3. Докажите, что число 2 трансцендентно.