Темы возможных курсовых работ по алгебре для нм-ii: 1
| Вид материала | Решение |
- Инструкция по работе с задачей «Темы курсовых работ», 22.38kb.
- Темы курсовых работ для студентов 2 курса Темы курсовых работ по курсу, 55.15kb.
- Методические указания по выполнению курсовых работ для студентов экономических специальностей, 1425.34kb.
- Темы курсовых работ и методические указания по их выполнению темы курсовых работ, 327.87kb.
- Темы курсовых работ студентов и магистрантов 2 курс, 11.22kb.
- Темы курсовых работ для 2 курса миэф гу-вшэ темы Курсовых работ для студентов 2 курса, 100.06kb.
- Темы курсовых работ для 2 курса миэф гу-вшэ темы Курсовых работ для студентов 2 курса, 102.11kb.
- Темы курсовых работ для 2 курса миэф гу-вшэ темы Курсовых работ для студентов 2 курса, 111.54kb.
- Темы курсовых работ для студентов 2-ого курса Темы курсовых работ для студентов 3-ого, 258.19kb.
- Темы курсовых работ для студентов 4 курса дневного отделения иф по кафедре Всеобщей, 24.55kb.
Темы возможных курсовых работ по алгебре для НМ-II:
1. Теорема Абеля о неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения 5-й степени.
Хорошо известно, что имеются общие формулы для решений уравнений третьей и четвертой степени, подобные формулам для решений линейного и квадратного уравнений. Однако для уравнений пятой степени и выше таких формул не существует. Разбор этого замечательного факта и составляет предмет предлагаемой темы. Пожалуй, это самая интересная, из предлагаемых, тема: по дороге к цели изучаются многие важные понятия и факты теории групп (например, разрешимость) и теории функций комплексной переменной (например, риманова поверхность функции).
Литература: В.Б.Алексеев. "Теорема Абеля в задачах и решениях".
2. ^ Поле разложения многочлена. Доказательство Гаусса основной теоремы алгебры.
Существует много разных доказательств основной теоремы алгебры. Ни одно из них не обходится без аналитических или геометрических (топологических) соображений. В данной теме предлагается разобрать доказательство, в котором такие соображения сведены до минимума (т.е. доказательство почти полностью алгебраично).
Литература: А.И.Кострикин "Введение в алгебру".
3. Базисы Гребнера и системы алгебраических уравнений.
Оказывается, (относительно) сложные теоремы Гильберта из т.н. коммутативной алгебры могут быть довольно просто интерпретированы, в терминах систем алгебраических уравнений. Предлагается разобрать эту интерпретацию.
Литература: И.В.Аржанцев. "Базисы Гребнера и системы алгебраических уравнений".
4. ^ Решение систем линейных уравнений в целых числах.
Довольно интересная (с моей точки зрения) тема: равить теорию (подобную обычному методу Гаусса) для решения систем линейных уравнений (с целыми коэффициентами) в целых числах. Предлагается следующая последовательность: от легко решаемого одного уравнения с одним неизвестным $ax=b$, перейти к одному уравнению с двумя неизвестными $ax+by=c$ (уже на этом этапе требуется применить знания об общих методах решений линейных задач - как выглядит общее решение любой линейной задачи?) Затем решить общее линейное уравнение с $n$ неизвестными: $a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b$ и лишь после этого сформулировать требуемый алгоритм. На мой взгляд, последняя задача в данной теме является самой простой.
Литература не рекомендуется: даже если этот вопрос где-либо изложен, едва ли стоит его изучать по книжкам - здесь тот самый редкий (для младших курсов) случай, когда можно и нужно развить теорию полностью самостоятельно (в этом случае от работы по данной теме будет наибольший эффект)
5. ^ Уравнение Пелля.
Уравнение Пелля - это уравнение вида $x^2-my^2=1$, где $m$ натуральное число, не являющееся точным квадратом. Требуется решить такое уравнение в целых числах. Несмотря на почти полную элементарность (т.е. выполнимость средствами элементарной математики) решения этой задачи, по пути к нему встречаются полезные и важные понятия, с которыми стоит познакомиться: цепные дроби, выпуклость, гиперболический поворот и т.д.
Литература: В.О.Бугаенко. "Уравнение Пелля".
6. Симплициальные комплексы. Гомологии и когомологии симлициальных комплексов.
Симплициальные комплексы - с одной стороны, обобщения понятия многогранника из школьной стереометрии, с другой - "хорошие" объекты, способные служить в некотором смысле приближениями топологических пространств и многообразий. С ними связаны любопытные инварианты (гомологии и когомологии), представляющие собой алгебраические объекты - группы. Предлагается разобрать определения всех указанных понятий и вычислить эти группы в нескольких основных примерах.
Литература:
1. П.Хилтон, С.Уайли. "Теория гомологий"
2. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. "Современная геометрия. Методы теории гомологий".
3. В.В.Прасолов. Элементы теории гомологий.
7. Каноническая форма Фробениуса линейного оператора.
Жорданова форма не является единственным способом представить линейный оператор в "самом простом виде". Существуют и другие подобные представления, например, форма Фробениуса, в которой оператор выглядит "набором" т.н. циклических клеток. Предлагается выяснить существование и единственность такого представления, а также указать алгоритм приведения матрицы оператора к фробениусовой форме.
Литература: В.В.Прасолов. "Задачи и теоремы линейной алгебры".
8. ^ Фундаментальная группа топологического пространства. Теорема Брауэра о неподвижной точке (случай плоскости).
Предлагается доказать известную теорему из функционального анализа (о существовании неподвижной точки у отображения круга на себя), используя красивое и важное понятие фундаментальной группы топологического пространства.
Литература: ^ У. Масси, Дж. Столлингс. "Алгебраическая топология. Введение."
9. Алгебраические комплексы, их гомологии. Точные последовательности. Лемма о пяти изоморфизмах.
Совсем простая тема, предлагающаяся двоечникам, которые к концу декабря вспомнят о том, что есть курсовая работа по алгебре и нужно взять хоть какую-нибудь тему.
10. ^ Теоремы Силова.
Классические теоремы о конечных группах, часто входящие в основной курс алгебры.
Литература: А.И.Кострикин. "Введение в алгебру".
11. Линейные представления конечных групп.
Предлагается изучить начальные понятия теории представлений до теоремы Машке, теоремы о характерах и т.п. С разбором ряда классических примеров.
Литература: А.И.Кострикин. "Введение в алгебру".
12. Рациональные и эллиптические кривые.
Небольшой фрагмент начальной алгебраической геометрии.
Литература:
1. М.Рид. "Алгебраическая геометрия для всех".
2. В.Острик, М.Цфасман. "Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые".
13. Алгебра Ли. Когомологии алгебры Ли.
Предлагается познакомиться с понятием алгебры Ли и (казалось бы, всего лишь) разобрать определение понятия когомологий алгебры Ли. Тема является самым началом многих возможных дальнейших исследований. Она потребует знакомства с понятиями модуля, представления и др. (см. соседние темы).
Литература:
1. М.М.Постников. "Группы и алгебры Ли".
2. "Теория алгебр Ли. Топология групп Ли" ("Семинар «Софус Ли»"). - М., 1962.
14. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.
Как и предыдущая, эта тема посвящена (казалось бы) только определениям. Но и она повлечет за собой вовлечение во многие полезные разделы современной алгебры.
Литература:
1. М.М.Постников. "Группы и алгебры Ли".
2. "Теория алгебр Ли. Топология групп Ли" ("Семинар «Софус Ли»"). - М., 1962.
15. Модули.
Если кратко (и неформально), модуль - это "векторное пространство над кольцом". Тема предполагает подробное знакомство с понятием модуля и (хотя бы самое поверхностное) иссследование сходства и отличий этой теории от теории линейных пространств.
Литература: "Теория алгебр Ли. Топология групп Ли" ("Семинар «Софус Ли»"). - М., 1962. (Приложение.)
16. ^ Гиперкомплексные числа и теорема Фробениуса.
Оказывается, поле действительных чисел - единственное (с точностью до изоморфизма) полное упорядоченное поле. Расширение его до поля комплексных чисел уже утрачивает порядок. Комплексные числа в свою очередь могут быть расширены до кватернионов, но при этом утрачивается коммутативность умножения. Дальнейшее возможное расширение (числа Кэли) требует дальнейших же утрат. Теорема Фробениуса описывает единственность всех этих построений, требуя введения вместо понятия поля более широких: алгебры и тела. Предлагается разобраться в кругу этих вопросов.
Литература: И.Л.Кантор, А.С.Солодовников. "Гиперкомплексные числа"
17. ^ Неархимедовы поля. Нестандарнтый анализ.
Оказывается, понятие «бесконечно малая» можно формализовать несколько иначе, чем это делается в привычном курсе математического анализа. Иная формализация имеет «чисто» алгебраическую природу: упорядоченное поле действительных чисел расширяется до некоторого нового упорядоченного поля, в котором не выполнена аксиома Архимеда (срв. с комментарием к предыдущей теме). Такое расширение позволяет инча взглянуть на привычные теоремы анализа.
Литература: В.А.Успенский. "Что такое нестандартный анализ?"