Правительство Российской Федерации Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Факультет Бизнес-информатики Отделение Программной Инженерии программа дисциплины

Вид материала

Содержание

Пояснительная записка
Тематический план учебной дисциплины
Самостоя-тельная работа
Формы рубежного контроля и правила вывода оценок зачета и экзамена
Оценка за зачет (2 модуль) «О
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системам
Содержание программы
Векторная алгебра. Координаты.
Линейные пространства и их преобразования. Билинейные функции.

Подобный материал:

Правительство Российской Федерации

Национальный исследовательский университет –

Высшая школа экономики

Факультет Бизнес-информатики

Отделение Программной Инженерии

Программа дисциплины

Алгебра

Для направления 231000.62 «Программная инженерия»

подготовки бакалавра

(2010 – 2011 учебный год)

Автор программы:

к.ф.-м.н, доцент И.А. Чубаров

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

По бизнес-информатике Высшей математики

на факультете Экономики

Председатель Г.А. Левочкина Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров

__________________ ________________________________

«_____» __________________ 2010 г. «____»__________________ 2010 г

Утверждена Ученым Советом

Факультета Бизнес-информатики

Ученый секретарь В.А. Фомичев

_________________________________

« ____» ___________________2010 г.

Москва 2010

^ Пояснительная записка

Автор программы:

к.ф.-м.н, доцент И.А. Чубаров

Общие сведения об учебном курсе.

Курс читается студентам бакалавриата отделения программной инженерии факультета бизнес-информатики ГУ ВШЭ. Он входит в состав вузовского компонента блока общих математических и естественно-научных дисциплин, определяющих специализацию «Программная инженерия». Курс читается в 1 – 3 модулях первого учебного года. Количество кредитов – 6. Продолжительность курса составляет 104 аудиторных учебных часа (26 недель), в том числе 52 часа лекций, 52 часа семинарских занятий и 112 часов самостоятельной работы, всего 216 часов. Рубежный контроль включает 1 домашнее задание и 2 контрольные работы, зачет по окончании 2 модуля и экзамен по окончании 3 модуля.

Требования к студентам:

Освоение курса не требует никакой предварительной подготовки, помимо школьного курса алгебры и начал анализа, и доступно всем студентам, поступившим на 1 курс.

Учебная задача курса:

Развить математический кругозор и алгебраическое мышление студентов. Обучить студентов важнейшим теоретическим положениям линейной алгебры, началам абстрактной алгебры, матричным методам, выработать у них навыки решения задач, требующих исследования систем линейных уравнений, применения матричных вычислений, многомерной геометрии, линейных операторов.

В результате изучения курса студенты должны:

- знать точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах;

- знать основные понятия и теоремы о системах линейных уравнений, матрицах и определителях, уметь решать и исследовать системы линейных уравнений при помощи алгоритма Гаусса, вычислять ранги матриц, вычислять определители матриц, пользуясь свойствами определителей, выполнять операции над матрицами.

- знать основные понятия современной алгебры: группы, кольца, поля, важнейшие примеры алгебраических систем, изоморфизмы, гомоморфизмы, теоремы о строении групп, колец и полей, уметь выяснять, является ли данное множество группой, кольцом или полем, устанавливать изоморфизмы, гомоморфизмы между ними.

- знать основные понятия и теоремы, относящиеся к линейным пространствам: примеры пространств, подпространств, операции над подпространствами, линейные отображения и преобразования, собственные векторы, евклидовы пространства, квадратичные формы, уметь находить базисы конечномерных линейных пространств и подпространств, координаты векторов, решать задачи о линейных операторах при помощи матриц, решать простейшие задачи геометрии евклидовых пространств, приводить к простейшему виду квадратичные формы, исследовать их на знакоопределенность.

- знать элементы векторной алгебры и метод координат на плоскости и в трехмерном пространстве, уметь производить операции над векторами, составлять и преобразовывать уравнения прямых и плоскостей, решать метрические задачи о прямых и плоскостях.

Аннотация:

Курс соответствует государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавров 231000 – Программная инженерия. Он включает основы теории матриц, современной абстрактной и линейной алгебры, необходимые как для изучения других математических и естественно - научных дисциплин, так и для профессиональной деятельности бакалавра по направлению подготовки 231000 - Программная инженерия.

^ Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы		^ Самостоя-тельная работа
№	Название темы	Всего часов	Лекции	Семина- ры	^ Самостоя-тельная работа
	1 модуль
1 2	Системы линейных уравнений, матрицы Элементы общей алгебры	68	16	16	36
	2 модуль
3 4 5	Определители Векторная алгебра. Координаты. Линейные пространства: арифметическое пространство, ранг матрицы, системы линейных уравнений	68	16	16	36
	3 модуль
5	Линейные пространства (окончание) : аксиомы, размерность, подпространства. Билинейные и квадратичные функции. Линейные отображения и операторы Евклидово пространство, линейные операторы и квадратичные формы в евклидовом пространстве.	80	20	20	40
	Итого	216	52	52	112

^ Формы рубежного контроля и правила вывода оценок зачета и экзамена

Предусмотрены 2 контрольные работы (в первом и втором модулях) и 1 домашнее задание (для оценки выполнения домашнего задания проводится контрольная работа в третьем модуле). Во втором модуле проводится зачет, в третьем модуле – экзамен.

Оценки выводятся по следующим формулам.

^ Оценка за зачет (2 модуль) «О_Зач» = 0,1 «О_Кр1мод» + 0,2 «О_Кр2мод» + 0,6 «О_{Зач.раб.}» + 0,1 «О_сем » («О_сем » - оценка за участие в семинарах и выполнение текущих домашних работ).

Оценка за экзамен (3 модуль) «О_Экз» = 0,1 «О_Зач » + 0,2 «О_Дз-3мод» + 0,6 «О_{Экз.раб.}» + 0,1 «О_{сем-3мод}»

по десятибалльной шкале.

Оценки выставляются в ведомость и зачетную книжку. В экзаменационную ведомость и зачетную книжку студента выставляется также и оценка по данной дисциплине по пятибалльной шкале, получаемая из оценки по десятибалльной шкале в соответствии с приведенной ниже таблицей соответствия (см. Приложение № 2 к приказу Ректора ГУ-ВШЭ № 1002 от 17.06.2002)

^ Таблица соответствия оценок

по десятибалльной и пятибалльной системам.

По десятибалльной шкале	По пятибалльной шкале
1  неудовлетворительно 2  очень плохо 3  плохо	неудовлетворительно  2
4  удовлетворительно 5  весьма удовлетворительно	удовлетворительно  3
6  хорошо 7  очень хорошо	хорошо  4
8  почти отлично 9  отлично 10 блестяще	отлично  5

Образцы типовых задач приводятся после программы.

^ Содержание программы

Системы линейных уравнений, матрицы (

Системы линейных уравнений (общий случай). Алгоритм Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Общее решение неоднородной системы.
Системы линейных уравнений 2-го и 3-го порядков. Определители 2-го и 3-го порядков, правило Крамера решения системы линейных уравнений 2 и 3 порядков.
Матрицы. Сложение матриц, умножение матрицы на число, свойства этих операций.
Умножение матриц и его свойства. Обратная матрица. Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения AX = B, XA = B.

Элементы общей алгебры

Множества, операции над ними, отображения множеств. Бинарные отношения, отношение эквивалентности. Подсчет числа элементов конечных множеств.
Алгебраические операции. Обзор алгебраических систем с одной и двумя бинарными алгебраическими операциями. Примеры.
Полугруппы и моноиды. Группы, подгруппы, изоморфизм групп. Циклические группы и порядки элементов. Группы классов вычетов по модулю n.

Примеры групп: группы вращений на плоскости, группы диэдра, группа кватернионов.

Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Гомоморфизмы групп.
Кольца. Примеры: числовые кольца, кольцо вычетов целых чисел по модулю n. Делители нуля и обратимые элементы. Подкольца и идеалы в кольцах. Кольцо квадратных матриц.
Кольцо многочленов от одной переменной. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя. Корни многочленов, разложение многочленов на неприводимые множители (в том числе над R и C). Теорема Виета.

Идеалы в кольце многочленов.*

Поля. Примеры: числовые поля, поле вычетов целых чисел по простому модулю, рациональные дроби. Понятие характеристики поля. Конечные поля.
Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая запись комплексных чисел. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Мультипликативная группа C* и ее подгруппы.

Определители

Перестановки и подстановки, их перемножение. Разложение подстановок в произведение транспозиций и независимых циклов. Четность перестановок. Симметрические и знакопеременные группы.
Определитель квадратной матрицы (формула полного разложения определителя). Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения, разложение определителя по элементам строки и столбца. Фальшивое разложение. Способы вычисления определителей.
Решение и исследование квадратной системы линейных уравнений по правилу Крамера.
Вычисление определителя матрицы с углом нулей. Определитель произведения двух квадратных матриц. Критерий существования и формула обратной матрицы.

^ Векторная алгебра. Координаты.

Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве, линейные операции над ними. Базис, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах.
Радиус-вектор точки. Декартова система координат. Полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат*. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении. Применения: середина отрезка, медиана треугольника, биссектриса треугольника.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и вычисление в координатах. Выражение ортогональной проекции одного вектора на другой. Критерий коллинеарности двух векторов. Объем ориентированного параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов.
Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Вычисление расстояний и углов.

^ Линейные пространства и их преобразования. Билинейные функции.

Арифметическое (координатное) пространство (столбцов или строк): его размерность, примеры базисов. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований. Базисный минор. Вычисление ранга методом окаймления миноров. Критерий равенства определителя нулю.
Фундаментальная система решений и общее решение однородной и неоднородной системы линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли и ее следствие.
Линейное (векторное) пространство: аксиомы, их простейшие следствия. Примеры. Базис, размерность, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса.
Подпространства в линейном пространстве. Линейная оболочка конечного набора векторов и ее размерность. Задание подпространства системой линейных уравнений. Сумма и прямая сумма подпространств.
Билинейные функции, их матрицы. Изменение матрицы билинейной функции при замене базиса. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа). Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Положительно определенная квадратичная форма, критерий Сильвестра.
Линейные отображения и преобразования (операторы) линейных пространств. Ядро и образ (множество значений) линейного отображения. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса. Действия над линейными отображениями.
Собственный вектор и собственное значение линейного оператора и матрицы. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к базису из собственных векторов, условия диагонализируемости.
Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис, алгоритм ортогонализации (Грама-Шмидта). Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство, расстояние и угол между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов*.
Линейные операторы в евклидовом пространстве: самосопряженные (симметрические) и ортогональные, их свойства и свойства их матриц.
Приведение квадратичных форм к диагональному виду (к главным осям) при помощи собственных значений и ортогональной замены координат.

Список литературы

Основная

Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: МФТИ, 2006.
Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.– 3-е изд. СПб.: Лань, 2008 (2-е изд.: М.: Физматлит, 2003, имеется в библиотеке).

Дополнительная

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Наука, Физматлит, 2000.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра.

Ч. III. Основные структуры алгебры. – М.: Физматлит, 2000 – 2005 или МЦНМО, 2009 -2010.

Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. – М.: Физматлит или МЦНМО, 2009.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука или СПб.: Лань, 2007.
Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003.

Образцы задач для контрольных, зачетных и экзаменационных работ по алгебре

Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 1 модуль

Выполнить действия: .
Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы: .
Найти все решения системы линейных уравнений .
Исследовать и решить систему уравнений .
Решить матричное уравнение .
Вычислить все значения .
Найти корни многочлена и разложить его на множители над R и C .
Образуют ли группу матрицы вида относительно умножения (a,b,c,d из некоторого поля К, ad≠0)? Найти число элементов группы, если .
В циклической группе G порядка 288 найти: а) все элементы g такие, что g⁹⁰ =1; б) элементы g такие, что , и в каждом случае подсчитать их количество.
Образуют ли кольцо/ поле числа вида (x,y,z Q)?

Типовые задачи для подготовки к контрольной и зачетной работам

за 2 модуль

Решить неравенство
Найти ранг матрицы при всевозможных значениях параметра :
В ортонормированном базисе даны векторы . Найти вектор .

Даны вершины треугольника A(–5,3), B(7,8), C(–2,–1). Составить уравнения медианы, биссектрисы и высоты треугольника, проведенных из вершины А. (Система координат ортонормированная)
Найти точку , симметричную точке относительно прямой

или

5a. Найти точку

, симметричную точке

относительно плоскости

Даны точки . Найти: (а) объем пирамиды EFGH; (б) расстояние между прямыми (EF) и (GH);

(Ответы: (а) V= 2/3; (б) расст.

)

Найти общее решение системы линейных уравнений (представить его

как сумму частного решения и линейной комбинации линейно независимых решений соответствующей однородной системы)

Проверить, что данные векторы ,, , образуют базис в пространстве столбцов. Найти координаты вектора в этом базисе.
Найти размерность и базис линейной оболочки векторов в , выразить небазисные векторы через базисные.
Найти размерность и базис (т.е. фундаментальную систему решений) подпространства решений системы линейных уравнений

Типовые задачи для подготовки к контрольной и экзаменационной работам за 3 модуль

Найти базис и размерность линейного подпространства L в R⁴, заданного системой уравнений
Вычислить все значения .
Найти комплексные корни уравнения .
Вычислить матрицу перехода от базиса к базису в линейном пространстве R³ и определить координаты вектора в базисе .
Доказать, что пространство является прямой суммой подпространств и разложить вектор на сумму проекций на эти подпространства, где .
Найти матрицу линейного оператора, переводящего векторы соответственно в векторы в базисе, в котором даны координаты векторов.
В базисе линейный оператор  имеет матрицу . Найти матрицу оператора  в базисе .
Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей , привести ее к диагональному виду.
Вычислить матрицу , где .
В евклидовом пространстве R⁴ (со стандартным скалярным произведением) дано подпространство .Разложить вектор на сумму ортогональной проекции на L и ортогональной составляющей; найти расстояние от вектора x до L и угол между x и L.
Построить при помощи процесса ортогонализации ортонормированный базис линейной оболочки векторов .
Найти ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы
Привести квадратичную форму