Geum.ru

Правительство Российской Федерации Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики программа дисциплины

Вид материалаПрограмма дисциплины

Содержание


Требования к студентам.
Учебные задачи курса.
Тематический план учебной дисциплины
Алгебраические многообразия. Кривые и поверхности 2-го порядка.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и системе зачет/незачет.
Содержание программы
Подобный материал:
Правительство Российской Федерации


Национальный исследовательский университет - Высшая школа экономики

Факультет бизнес-информатики


Программа дисциплины


Избранные главы линейной алгебры

(Направление 010500.62 «Прикладная математика и информатика»)

Авторы: В.А.Гордин, Д.И.Пионтковский, Г.Е.Пунинский

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры


Математические и статистические высшей математики методы в экономике на факультете экономики

Председатель Зав. кафедрой

__________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________

«_____» __________________ 200 г. «____»___________________200 г


Утверждена УС факультета

гос. и муниципального управления

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________200 г.


Москва


  1. Пояснительная записка

Авторы программы.

Доктор физико-математических наук В.А.Гордин, доктор физико-математических наук Д.И. Пионтковский, доктор физико-математических наук Г.Е.Пунинский.


Требования к студентам.


Изучение курса «Избранные главы линейной алгебры» требует предварительных знаний по элементарной теории множеств, линейной алгебре и математическому анализу в объеме первых трех модулей обязательных курсов «Геометрия и алгебра» и «Математический анализ».


Аннотация.


Дисциплина «Избранные главы линейной алгебры» предназначена для подготовки бакалавров по направлению 010500.


Первая часть курса посвящена приложениям методов общей алгебры, которые в последние десятилетия широко проникают в многочисленные области технических и гуманитарных исследований. Курс включает начала теории чисел, теории групп и конечных полей, а также их приложения к построению кодов, исправляющих ошибки, и к криптографическим протоколам. Изложение начинается с повторения определений и простейших свойств основных алгебраических структур (знакомых слушателям по курсу «Геометрия и алгебра») и их обобщение на языке универсальной алгебры; в частности, вводится понятие морфизма алгебраических систем. Свойства свойства колец вычетов и конечных групп используются в дальнейшем при описании криптографических протоколов, в частности, протокола RSA.


Вторая часть курса включает теорию решеток, которая предоставляет математические основы современных методов поиска зависимостей в данных – импликаций и ассоциативных правил на множествах признаков. Изложение начинается с повторения основных понятий теории отношений и теории графов. Важнейшим разделом современной прикладной теории решеток является анализ формальных понятий, исходным объектом которого служит бинарное отношение на множествах объектов и их свойств (признаков). На основе отношения определяется соответствие Галуа и оператор замыкания. Замкнутые множества объектов (признаков) образуют решетку (понятий), которая, с одной стороны, позволяет наглядно представлять иерархию классов объектов, а с другой – зависимости на признаках, определяемых в терминах импликаций и ассоциативных правил (частичных импликаций).


Учебные задачи курса.


Одной из основных целей курса является знакомство студентов с приложениями линейно алгебры и ее связями с теорией приближений, теорией возмущений основными конструкциями абстрактной алгебры, элеменарной терии чисел и теории решеток, используемых в прикладных исследованиях.

В результате изучения курса «Современная прикладная алгебра» студенты

должны:
  1. уметь пользоваться методами абстрактной алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе в некоторых задач криптографии и теории кодирования;
  2. иметь представление об основных алгебраических структурах, используемых в перечислительных и алгоритмических задачах, в том числе о конечных группах и полях Галуа;
  3. овладеть математическими основами современной прикладной теории решеток, используемой в ряде методов представления и анализа информации.



Тематический план учебной дисциплины

№
Название темы
Всего
часов
Аудиторные часы
Сам.
работа

Лекции
Семинары


Метрики и нормы
3
2
2
6


Многочлены Чебышева
3
2
2
6


Матричные нормы
3
2
2
6


Функции от матриц
3
2
2
6


Элементы теории возмущений
6
2
2
6


Основные структуры общей алгебры
6
4
2
10


Полилинейные формы
6
2
2
6


Алгебра функций. Дифференциальные формы.
6
4
4
12

9

Алгебраические многообразия. Кривые и поверхности 2-го порядка.
6
2
2
8

Итого 108 22 20 66


Формы контроля


Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде контрольной работы. Итоговый контроль осуществляется в виде зачетной контрольной работы. Итоговая оценка Оитог по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма Оитог=0,4*Ок.р.+0,6*Озач., округленная до целого числа баллов. Ок.р. и Озач. обозначают оценки по 10-балльной шкале за контрольную работу и зачет соответственно.


Таблица соответствия оценок по десятибалльной и системе зачет/незачет.


Оценка по 10-балльной шкале
Оценка по 5-балльной шкале

1

незачет

2

3

4


зачет

5

6

7

8

9

10



Содержание программы


Тема I. Метрики и нормы.

Метрики в нормированных пространствах. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах, окрестности, связь с понятием предела. Эквивалентность норм и эквивалентность топологий. Теорема об эквивалентности норм в конечномерных пространствах.

Литература: основная: [КФ], с.48-66,

дополнительная: [Р] , с.493-103


Тема II. Многочлены Чебышева

Примеры норм и метрик в пространствах функций, связь с задачами аппроксимации.

Многочлены Чебышева как наименее уклоняющиеся от нуля, их графики. Ортогональность, разложение многочленов по базису из многочленов Чебышева.


Литература: основная: [БЖК], с.58-62,

дополнительная: [Д], с.25-58


Тема III. Матричные нормы.

Матричные нормы, их связь с векторными нормами. Нормы Гельдера и Фробениуса. Спектральный радиус, связь с нормами.


Литература: основная: [Б], с.67-86;

дополнительная: [АЛ], с.91-105.


Тема IV. Функции от матриц.

Функции от матриц (определение через спектр). Многочлены от матриц, минимальный многочлен матрицы. Многочлен Лагранжа. Матричные ряды. Представление элементарных функций рядами Тейлора. Вычисление матричных функций и оценка остаточного члена через спектральный радиус.


Литература: основная: [Б], с.56-113; [В], с.249-260;

дополнительная: [Г], с.64-75.


Тема V. Элементы теории

возмущений

Теорема Гершгорина. Число обусловленность матрицы. Связь с обусловленностью систем линейных уравнений. Примеры приближенного решения систем линейных уравнений.

Литература: основная: [Б], с.235-258;

дополнительная: [АЛ], с.125-128.


Тема VI. Основные структуры общей алгебры

Группы, кольца, поля. Алгебра над полем. Примеры: алгебра многочленов от одного и нескольких переменных (симметрическая алгебра), алгебра матриц, их подалгебры.

Литература: основная: [В], с.7-43,

дополнительная: [Ко], с.410-417.


Тема VII. Полилинейные формы


Полилинейные формы на линейном пространстве, связь с ориентированным объемом. Пространство n-линейных форм. Внешнее умножение, алгебра полилинейных форм. Двойственные пространства, внешняя алгебра как алгебра полилинейных форм на двойтвенном пространстве. Базис во внешней алгебре.


Литература: основная: [В], с.342-356;

дополнительная:[Ко], с.139-150.


Тема VII. Алгебра функций. Дифференциальные формы.


Алгебра гладких функций. Алгебра дифференциальных форм. Внешнее дифференцирование, комплекс де Рама в n-мерном пространстве. Внешнее интегрирование и

Иллюстрации к формуле Стокса.


Литература: основная: [C], с.15-33.


Тема VIII. Алгебраические многообразия. Кривые и поверхности 2-го порядка.

Алгебраические многообразия. Координатные кольца аффинных многообразий. Примеры: кривые второго порядка, гиперплоскости и сферы. Поверхности 2-го порядка, их сечения. Замена координат (примеры). Топологические n-мерные многообразия, атласы. Примеры атласов на аффинных многообразиях.


Литература: основная: [C], с. 342-370,

дополнительная: [КЛШ], с. 17-45; [ДНФ] с. 409-425;


Список литературы


Основная литература


[Б] Беклемишев Д.В., Дополнительные главы линейной алгебры, СПБ, изд. Лань, 2008.

[В] Винберг Э.Б., Курс алгебры, М., изд. МГУ, 2002.

[БЖК] Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Н., Численные методы, М., изд. Бином, 2003.

[КФ] Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М., изд. Наука, 1976.


Дополнительная литература


[АЛ] Артамонов В.А., Латышев В.Н., Линейная алгебра и выпуклая геометрия, М., изд. Факториал, 2004.

[Г] Гордин В.А., Как это посчитать, М., изд. МЦНМО, 2005.

[Д] Данилов А.Ю., Многочлены Чебышева, М., 2003.

[ДНФ] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, М., изд. Наука, 1979.

[КЛШ] Кокс Д., Литтл М., О’Ши Т., Идеалы, многообразия, алгоритмы, М., изд. Мир, 2000.

[Ко] Кострикин А.Н., Введение в алгебру, М., Наука, 1977.

[Кр] Кряквин В.Д, Линейная алгебра в задачах и упражнениях, M., изд. Вузовская книга, 2007.

[Р] Рудин У., Курс математического анализа, М., Мир, 1976.

[C] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, ,М., изд. Мир, 1970.


.


Типовой вариант контрольной работы





Типовой вариант зачетной контрольной работы





Авторы программы: В.А.Гордин

Д.И.Пионтковский

Г.Е.Пунинский