Удк 519. 63 Метод атомарных рбф и их применение при решении задач теплопроводности
Подобный материал:
- «Применение информационных технологий при решении задач высшей алгебры», 159.09kb.
- Аналитическое и численное исследование некоторых задач теплопроводности (диффузии), 18.76kb.
- Решение. Из анализа схемы следует, что резисторы, 80.22kb.
- Факультативные занятия по физике «Решение творческих задач», 54.67kb.
- Удк 519. 2 Моделирование причинно-следственных связей, возникающих при анализе рисков, 67.41kb.
- Идеи В. К. Иванова об использовании априорной информации при решении некорректно поставленных, 84.46kb.
- Решение, 562.63kb.
- Вывод трехмерного уравнения теплопроводности. Постановка граничных задач, 20.07kb.
- Графический метод при решении задач с параметрами, 32.34kb.
- Урок по теме «Применение производной в различных областях науки», 150.03kb.
УДК 519.63
МЕТОД АТОМАРНЫХ РБФ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ О.Ю. Лисина
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет Современные подходы к построению решений краевых задач бессеточными методами связываются с использованием в качестве базисных атомарных функций. Начало исследованиям данного класса функций положили работы В.Л.Рвачева и В.А.Рвачева, построившим в 1971 году простейшую одномерную атомарную функцию

[1, 2]. Бесконечная дифференцируемость и финитность функции

позволила построить алгоритмически простые вычислительные схемы для решения задач аппроксимации функций. Атомарные функции использовались в качестве пробных при решении краевых задач на основе применения вариационных методов. Расширение понятия атомарной функции на случай многих независимых переменных (нетривиальные обобщения) связаны с исследованиями В.М.Колодяжного и В.А.Рвачева [3], которые предложили классы атомарных функций, порождаемых ФДУ специального вида [4, 1]:

,(1)
где

,

– дифференциальный оператор, в качестве которого можно рассматривать дифференциальные операторы различных видов

– оператор Лапласа;

– оператор Гельмгольца;

– бигармонический оператор и т.д.;

– граница выпуклой области,

- коэффициент сжатия. Выбор значений коэффициентов

осуществляется таким образом, чтобы обеспечивалось существование и единственность финитного решения соответствующих ФДУ. Функции, получаемые в результате решения ФДУ вида (1), являются бесконечно дифференцируемыми, что представляется важным при реализации численных алгоритмов решения задач математической физики. В частности, при решении задач теплопроводности такие функции могут использоваться в качестве базисных при построении приближенного решения.
Алгоритм бессеточной схемы численного решения 3D краевой задачи с помощью АРБФ

рассмотрим на примере построения решения краевой задачи для дифференциального уравнения Гельмгольца, к которому легко преобразуется уравнение теплопроводности. Пусть

куб в пространстве

. Пусть в ограниченной односвязной области

задано дифференциальное уравнение


(2)
а на границе

области

граничное условие Дирихле

(3)
Построим в области

множество точек

, задающее сеть. Обозначим через

множество из

узловых точек множества

, которые содержатся в области

(ограничены границей

). Через

обозначим множество узловых точек множества

, которые являются внутренними точками области

. Приближенное решение задачи (2)–(3) будем отыскивать в виде

, (4)
где

, что приводит к

уравнениям, необходимым для определения

коэффициентов

. Остальные

уравнений получим из условия приближенного удовлетворения граничному условию (3). Характерными особенностями предлагаемого метода является, с одной стороны, использование финитных функций (свойство локальности), а с другой – полученные решения исходной краевой задачи являются бесконечно дифференцируемыми, что немаловажно для решения задач некоторых классов.
Литература
- Колодяжный В.М. Атомарные функции. Обобщения на случай многих переменных и перспективные направления практических приложений / Рвачев В.А. // Кибернетика и системный анализ. – 2007. – 43, N 6. – С. 155–177.
- Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Теория атомарных приближений. Математика, кибернетика. – М.: Знание, 1978. – 62 с.
- Колодяжний В.М. Фінітні розв′язки функціонально–диференціальних рівнянь з частинними похідними/ Рвачов В.О. // Доповіді НАН України. – 2004. – № 5 – С. 17–22.
- Колодяжний В.М. Деякі властивості атомарних функцій багатьох змінних/ Рвачов В.О. // Доповіді НАН України. – 2005. – № 1 – С. 12–20.