Специальная математика

Вид материала

Содержание

1. Теория множеств 1.1 Понятие множества
Жители Марса - множество марсиан.
U содержит все элементы. К сожалению, имеют место так называемые парадоксы теории множеств. Самый знаменитый – парадокс Рассела
Включать ли самого себя в множество
1.2. Операции над множествами
1.3. Диаграммы Эйлера - Венна

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 39

1. Теория множеств

1.1 Понятие множества

Множество - фундаментальное неопределяемое понятие. Множество понимается как объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.

Теорию множеств можно подразделить на аксиоматическую и интуитивную (наивную).

Аксиоматическая теория исходит из того, что множество определяется совокупностью аксиом, записанных обычно на языке логики (предикатов). Интуитивная теория множеств апеллирует к интуиции, к базовому понятию принадлежности элемента множеству, то есть к интуитивной понятности отношения принадлежности  ( а  A - элемент а принадлежит множеству A).

Для интуитивного понятия множества существенны два момента, следующие из "определения":

1. Различимость элементов.

2. Возможность мыслить их как нечто единое.

Студенты образуют группу. Деревья составляют лес.

Целые числа составляют множество целых чисел.

Жители Марса - множество марсиан.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается  или . Обычно именно фигурные скобки используются для выделения множества (отсутствие элементов в скобках и говорит о том, что это пустое множество).

Множество, заведомо содержащее все рассматриваемые элементы, называется универсальным или универсумом - U.

Было бы опрометчиво говорить просто, что U содержит все элементы. К сожалению, имеют место так называемые парадоксы теории множеств. Самый знаменитый – парадокс Рассела, который показывает невозможность построить множество всех подмножеств, не содержащих себя в качестве элемента. Более прост в понимании парадокс брадобрея, которому приказано брить в тридевятом государстве всех тех и только тех, кто не бреется сам. Перед брадобреем неразрешимый вопрос:

Включать ли самого себя в множество тех, кого он обязан брить?!

Способы задания множеств:

A = {a, b, c, d} - задание множества явным перечислением элементов.

Например, гвардия = {Иванов, Петров, Сидоров}

B = {x | С(x)} - задание множества (характеристическим) свойством С(x).

Например, студенчество = {x | x - студент} - множество таких х, что х - студент.

Отношение включения  . Множество А включено в множество В (А  В) или А есть подмножество множества В, если из х  А следует х  В.

Например, студенческая группа  студенты данной специальности

Отношение строгого включения : Если A  B и A  B , то можно написать

A  B.

Например:   множество отличников

Кстати, на что намекает это отношение?

Свойства отношения включения:

1. Рефлексивность: A  A

2. Принцип объемности: A  B и B  A следует B = A (на основе этого принципа и доказывается равенство двух множеств).

3. Транзитивность: A  B и B  C следует A  C

Полезные соотношения:

{ }=  ; 1  { 1 } ; {{ 1 }}  { 1 } ; { а, в }  { в, а }

1.2. Операции над множествами

1. Объединение множеств A и B

A  B = { x | x  A или x  B } (или - неисключающее)

2. Пересечение множеств A и B

A  B = { x | x  A и x  B }

3. Разность множеств A и B

A \ B = { x | x  A и x  B }

4. Симметрическая разность множеств A и B

A  B = { x | (xA и xB) или (xA и xB)}=( A \ B )  ( B \ A )

5

. Дополнение множества A

A

= { x | x A }

Пример.

Пусть А = {1, 2, 3} и B = {3,4}, тогда

A  B = {1, 2, 3, 4}

A  B = {3}

A \ B = {1, 2}

A  B = {1, 2, 4}

А

= множество чисел кроме 1, 2, 3.

1.3. Диаграммы Эйлера - Венна

Диаграммы Эйлера-Венна позволяют представить множества, как множества точек на плоскости, оганиченные замкнутыми кривыми круглой или овальной формы. Прямоугольная рамка ограничивает универсум. Обычно, если не требуется иное, рисуют так называемый общий случай: когда каждое из множеств имеет свои собственные точки и точки, общие с другими множествами.

U

II

III

I

A

B

AB – зоны I, II, III.

AB – зона III.

A

\B - зона I.

A - все, кроме круга А.

AB - зоны I, III.

Диаграмма для общего случая c тремя множествами будет иметь вид:

U

A B

C

Построение диаграммы Эйлера-Венна для общего случая с четырьмя и более множествами можно предложить для самостоятельных развлечений.