Статья посвящена проблеме мониторинга жизненного цикла товаров. Предложена модель жизненного цикла и рассмотрены различные методы идентификации ее параметров. Выполнено моделирование и прогнозирование потребительского спроса на медиа-проигрыватель iPod

Вид материала

Статья

Содержание Метод 2. Линеаризация модели и решение ИВНК.

Подобный материал:

• Лекция: Жизненный цикл программного обеспечения ис: Понятие жизненного цикла по ис., 269.93kb.
• Жизненный цикл программного обеспечения, 126.07kb.
• Жариков В. В.,к т. н.,, 147.08kb.
• 3. Проблема периодизации жизненного цикла человека, 1438.75kb.
• Н. В. Берёза алгоритм принятия решения выбора рыночной стратегии для субъектов рынка, 377.15kb.
• «Процессы жизненного цикла программного обеспечения», 1222.87kb.
• Теоретические аспекты теории жизненного, 85.04kb.
• Задача стратегического управления заключается в том, чтобы свести до минимума продолжительность, 9.54kb.
• Разработка товаров: подход к разработке новых товаров и проблемам жизненного цикла, 417.15kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины «товароведение и экспертиза кондитерских товаров», 174.1kb.

Моделирование и прогнозирование жизненного цикла товаров на основе дробно-рациональных моделей тренда

© 2011 В.К. Семенычев, А.А. Коробецкая, Е.В. Семенычев^*

Ключевые слова: жизненный цикл товаров, дробно-рациональный тренд, идентификация модели, метод наименьших квадратов, объем продаж, спрос, коэффициент детерминации

Статья посвящена проблеме мониторинга жизненного цикла товаров. Предложена модель жизненного цикла и рассмотрены различные методы идентификации ее параметров. Выполнено моделирование и прогнозирование потребительского спроса на медиа-проигрыватель iPod.


Значительное внимание в современной экономике уделяется вопросам моделирования и мониторинга жизненного цикла товаров (услуг, организаций и т.д.). Определенное согласие исследователей имеется лишь по вопросам выделения таких основных фаз жизненного цикла, как возникновение (введение), рост, турбулентность, зрелость, упадок. Что же касается моделей жизненного цикла, то здесь можно говорить скорее о предложениях большого набора графиков. Они отражают различную динамику уровней показателей жизненного цикла товаров: объемов продаж, спроса, объемов добычи нефти и т.д. Графики жизненных циклов определены такими терминами, как «долгое обучение», «обучения нет», «всплеск» («мода», «фетиш»), «всплеск с остаточным рынком», «провал», «длинный цикл», «новые подъемы» и т.д. [1].

Немногочисленны и ограничены по области применения примеры аналитического описания жизненного цикла: например, произведением степенных функций на экспоненциальную [2]





или дробно-рациональной функцией вида [3]



где – параметры (в общем случае нецелые числа) модели, – шаг опроса (дискретизации) параметров, – номера наблюдений, n – объем выборки, _ – стохастическая компонента, - алгебраический многочлен степени n.

Для сглаживания _ и получения оптимальных (несмещенных, эффективных и состоятельных) оценок параметров моделей обычно применяют метод наименьших квадратов (МНК), считая справедливыми условия Гаусса-Маркова (центрированность, отсутствие автокорреляции, гомоскедастичность и нормальный закон распределения).

Из указанных выше трех моделей лишь вторая обладает возможностью идентификации с высокой точностью на коротких выборках, что зачастую характерно в реальных условиях эволюции динамики, но при малых значениях степени многочлена (n≤4) и на основе обобщенных параметрических моделях авторегрессии-скользящего среднего (ARMA-моделей) [3, 4].

Практика показывает многообразие кривых жизненного цикла: по наличию и числу точек перегиба анализируемого параметра , по асимметрии кривой относительно максимального значения, по значениям параметра в начальной и конечной фазах жизненного цикла, по наличию колебательной компоненты в уровнях параметра, по ее зависимости от тренда и т.д.

Покажем, что в значительной мере практике удовлетворяет использование для тренда довольно простой дробно-рациональной модели с четырьмя параметрами

(1)

и принятие аддитивной структуры вхождения стохастической компоненты

. (2)

При этом будем предполагать, что функция (1) не имеет разрывов, т.е. ее знаменатель не обращается в ноль:

, (3)

что приводит к ограничению на параметры: .

При выполнении ограничения (3) рассматриваемая дробно-рациональная функция имеет единственный ноль, один минимум и один максимум, три точки перегиба и при k→∞ стремится к нулю: .

При определенном выборе значений параметров модель (1) в первой координатной четверти принимает вид, соответствующий многообразию форм жизненного цикла (рис. 1). При этом значения параметров P₀, P₁, Q₂ должны быть положительными, Q₁ – отрицательным. Стрелками показано влияние на графики увеличения соответствующих параметров.





Рис. 1. Зависимость формы тренда (1) от значений его параметров

Запись модели в виде (1) удобна для выполнения преобразований, но, как видно из графиков, параметры модели оказывают на ее вид сложное и даже неоднозначное влияние, что затрудняет их выбор и анализ. Поэтому предлагается запись модели жизненного цикла в следующем, более удобном виде:

. (4)

Параметры α, A, B, C модели (4) однозначно связаны с P₀, P₁, Q₁, Q₂ и иллюстрируются рис. 2.






Рис. 2. Зависимость формы тренда (4) от значений его параметров

Сравним возможные методы идентификации параметров модели (2).

Метод 1. Численное решение нелинейного МНК.

Очевидным является применение МНК непосредственно к исходной модели:

.

Однако в этом случае требуется минимизировать нелинейную функцию ошибки. Обозначим ее , где – вектор параметров модели.

Оправдано использование не широко известных градиентных алгоритмов (наискорейшего спуска, Левенберга-Марквардта и др.), а эвристического алгоритма RPROP, разработанного в теории нейронных сетей [5]. Данному алгоритму присуща смысловая и вычислительная простота при хороших показателях сходимости.

Суть алгоритма RPROP состоит в том, что, если после предыдущего шага производная не изменила свой знак, то коэффициент увеличивается, а если изменила – то уменьшается. Другими словами, если на предыдущем шаге точка минимума не была достигнута, то шаг необходимо увеличить, а если алгоритм «прошел» точку минимума, то к ней необходимо вернуться с меньшим шагом. Подход к выбору начальных значений в самом алгоритме не оговаривается.

Метод 2. Линеаризация модели и решение ИВНК.

Другой подход заключается в линеаризации модели (2) путем домножения левой и правой частей на знаменатель:

,

.

В этом случае будет гетероскедастической стохастической компонентой и идентификацию следует проводить с помощью метода взвешенных наименьших квадратов (ВНК):

,

.

Поскольку значения весов зависят от самих параметров модели, на практике применяется итеративный метод взвешенных наименьших квадратов (ИВНК). При этом организуется итеративная процедура:

,

.

На каждом шаге веса оцениваются через значения параметров на предыдущем шаге, а в качестве начальных оценок параметров предлагается использовать решении МНК без весов.

Метод 2. Линеаризация модели и решение ИВНК с покоординатным спуском.

В модели (2) при заданных оценках , вхождение параметров P₁ и P₂ становится линейным, и они могут быть найдены с помощью МНК:

.

На практике такой пересчет линейных параметров, независимо от способа получения оценок , , показал высокую эффективность, поэтому предлагается следующая модификация предыдущего метода:

,

,

.

Такой подход условно можно считать «покоординатным спуском», поскольку выполняется минимизация по одним параметрам при фиксированных значениях других.

Таким образом, все предложенные методы являются итеративными и требуют задания начальных параметров. В методе ИВНК оговаривается способ выбора начальных значений, но на практике такой подход не всегда эффективен, поэтому перед применением всех изложенных выше методов предлагается использовать вероятностный алгоритм поиска области глобального минимума, известный под названием алгоритм «имитации отжига» [5].

Используя предложенную модель, выполним прогнозирование продаж портативного медиа-проигрывателя iPod по выборке поквартальных объемов его продаж, начиная с момента его выхода на рынок [6] (рис. 3).



Рис. 3. Объемы продаж iPod в мире

До 2004г. объем продаж был незначительным и эти данные не учитывались при моделировании. Сезонность (и эволюция модели) появляется только в 2006г. При этом сезонность является, как видно из рис. 3, пропорционально-мультипликативной по отношению к тренду.

Моделирование с учетом сезонного фактора выполним методом итеративной параметрической тренд-сезонной декомпозиции [7], причем для построения тренда будем использовать данные за 2004-2010гг., а для моделирования сезонности – за 2006-2010гг.

Определим модель следующим выражением:

,

, где – фиктивная переменная, отражающая отсутствие сезонных колебаний до 2006г.

Для идентификации параметров тренда применялось численное решение МНК с помощью алгоритма RPROP, для идентификации параметров сезонных колебаний – метод конструирования обобщенной параметрической ARMA-модели. Полученный результат представлен на рис. 4.



Рис. 4. Моделирование объема продаж iPod

Коэффициент детерминации модели оказался равен 0,991, а MAPE-оценка прогноза на 2011г. – 9,1%. Ошибка прогноза на 1 квартал 2011г. составила 6,6%. Максимум тренда приходится на 3 квартал 2008г.

Идентифицированные значения параметров тренда оказались равными:

.

Дополнительную информацию о динамике спроса можно получить из анализа частоты поисковых запросов в сети Интернет, которая отражает изменение интереса покупателей к товару. Сервис Google trends [8] позволяет получить информацию о частоте определенного запроса по неделям (рис. 5).



Рис. 5 – Индекс частоты запросов «iPod» через поисковый сервис Google

Сгруппируем данные по кварталам и выполним моделирование данного показателя. Вид модели выберем аналогичным, но для описания сезонных колебаний в данном случае достаточно одной гармоники:

.

Результат моделирования представлен на рис. 6. Коэффициент детерминации модели равен 0,878, MAPE-оценка прогноза на 2011г. – 5,8%. Ошибка прогноза на 1 квартал 2011г. составила 2,0%. Максимум тренда приходится на 3 квартал 2007г.



Рис. 6. Моделирование индекса частоты поисковых запросов «iPod»

Идентифицированы значения параметров тренда:

.

Таким образом, динамика поисковых запросов опережает изменение объемов продаж на один год, а форма динамики подтверждает правильность выбора модели.

Из представленных результатов видно, что предложение модели (1) и структуры (2) позволяют с высокой точностью моделировать и прогнозировать широкий класс типов жизненного цикла.

Список использованных источников

1. Ламбен, Ж.Ж. Стратегический маркетинг [Текст]/Ж.Ж. Ламбен. СПб. Наука, 1996 – 589 с.
   
2. Оразбаев, Б.Б. Задачи прогноза и идентификации нефтедобычи, математические методы и алгоритмы их решения. [Текст]/ Б.Б. Оразбаев, Л.Т. Курмангазева, Ж. М. Кабылхамит. Электронная библиотека Атырауского института нефти и газа, www.aing.kz/e-lib. 2007 - 5 с.
   
3. Семенычев, В.К, ARMA - моделирование уровня годовой добычи нефти из пласта и оценка геологического риска инвестиций в нефтегазодобывающей промышленности. [Текст]/ В.К. Семенычев, Е.И. Куркин, Вестник Самарского муниципального института управления. Самара. №2(13). 2010. – С.7 - 14.
   
4. Семенычев, В.К. Информационные системы в экономике. [Текст]/ В.К. Семенычев, Е.В. Семенычев. Эконометрическое моделирование инноваций. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та. 2006. – 216 с.
   
5. Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации [Текст]/ Пер. с польского И.Д. Рудинского. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.
   
6. Wikipedia, the free encyclopedia: IPod sales per quarter. [Электронный ресурс]. Режим доступа: ttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Ipod_sales_per_quarter.svg.
   
7. Семенычев, В.К. Метод параметрической итерационной декомпозиции тренд-сезонных рядов аддитивной структуры. [Текст]/ В.К. Семенычев, А.А. Коробецкая, Е.В. Семенычев. Вестник Самарского муниципального института управления. Самара. №1(12). 2010. – С.63 - 71.
   
8. Google trends. [Электронный ресурс]. Режим доступа: ogle.com.