Районная научно практическая конференция по математике «Шаг в науку»

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Старомаксимкинская основная общеобразовательная школа

Районная научно – практическая конференция по математике

«Шаг в науку»

Научно – исследовательская работа

« Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счет без калькулятора»

Автор: Мурзаев Александр, 7 класс

Руководитель: Забродина Елена Петровна,

учитель математики

с.Ст.Максимкино, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………..…………….3

Глава 1. История счета

1.1. Как люди научились считать……...............................................................................6

1.2. Чудо- счетчики……………………………………………………………………...9

Глава 2. Старинные способы умножения

2.1. Русский крестьянский способ умножения…..…………….……………….……...12 2.2. Метод «решетки»……………….…….. ………………………………….………..13

2.3. Индийский способ умножения……………………………………………………..15

2.4. Египетский способ умножения…………………………………………………….16

2.5. Умножение на пальцах……………………………………………………………..17

Глава 3. Устный счет – гимнастика ума

3.1. Умножение и деление на 4……………..……………………….………………….19

3.2. Умножение и деление на 5……………………………………...………………….19

3.3. Умножение на 25……………………………………………………………………19

3.4. Умножение на 1,5……………………………………………………………….......20

3.5. Умножение на 9……….…………………………………………………………….20

3.6. Умножение на 11…………………………………………………..…………….….20

3.7. Умножение трехзначного числа на 101……………………………………………21

3.7. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5 ………………………21

3.8. Возведение в квадрат числа, близкого к 50……………….………………………22

3.9. Игры………………………………………………………………………………….22

Заключение…………………………………………………………………………….…24

Список использованной литературы…………………………………………………...25

Введение

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому мы сочли важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счета, можно поспорить и с ЭВМ.

Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.

Задачи:

- раскрыть историю возникновения счета и феномен « Чудо - счётчиков»;

- описать старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;

- рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения?

При работе над докладом я пользовался следующими методами:

поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос. Было опрошено 20 учащиеся 5-7 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Результаты анкетирования:

(

На диаграммах представлены в процентах доли утвердительных ответов учащихся).

1) Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

2) а) Умеете ли вы умножать, складывать,

вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

б) Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?

3) а хотели бы узнать?

Глава 1. История счёта

1.1. Как возникли числа

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Ч

тобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан – булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли « боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Ещё в прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе..». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..», пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами- числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в 6 в. индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой, десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале 15 в. самаркандский математик и астроном аль- Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

1.2 « Чудо - счётчики»

Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.

Этот портрет написан отнюдь не с аналитика ЦРУ.
Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. За каких-то пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв , 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил свом рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. « Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.

Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовали молодой «счётчик-феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже несколько опередила ЭВМ.

Большенство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Но бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47-ой

степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.

Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.

Глава II . Старинные способы умножения.

2.1. Русский крестьянский способ умножения.

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. Метод «решетки».

1). Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально означает «из Хорезми», т.е. родился в г. Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

2). В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пусть нужно умножить 25 и 63.

Н

ачертим таблицу в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

1 2	3 0
0 6	1 5

Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху таблицы записываем число 987;

- слева таблицы число 12 (см. рисунок);

- теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;

- после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;

- результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);

987 ∙ 12=11844

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.3 Индийский способ умножения

Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.

Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

_х23

12

276

Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

Первый шаг: _х23 говорю: «2 х 3 = 6»

12

…6

Второй шаг: _х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

12

.76

Третий шаг: _х23 говорю: «1 х 2 = 2».

12 пишу 2 левее цифры 7

276 получаем 276.

Мы познакомились с этим способом на очень простом примере без перехода через разряд. Однако наши исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении чисел с переходом через разряд, а также при умножении многозначных чисел. Приведем примеры:

_х528 _х24 _х15 _х18 _х317

123 30 13 19 12

64944 670 195 342 3804

На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

2.4. Египетский способ умножения

Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения (попробуй, перемножь: ξφß*τδ).

Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т.к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т.е. 136 + 34 = 170.

2.5. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000

Движение пальца

А

вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

Еще пример:

Пусть требуется умножить 3 * 9.

Слева направо найдите третий палец, того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.

Справа от загнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите, 2 десятка и 7 единиц получится 27.

Сами пальцы показали это число.

// // /////

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

Глава 3. Устный счет – гимнастика ума

3.1. Умножение и деление на 4.

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

3.2. Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

3.4. Умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. Умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

45 * 11 = 495 87 * 11 = 967

4 (4+5) 5 8 (8+7) 7

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

3.7. Умножение трехзначного числа на 101.

Например 125 * 101 = 12625

(увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя)

125 + 1 = 126 12625

Этот прием дети легко усваивают при записи вычисления в столбик

_х _х125
101
₊ 125
125_
12625

_{х х}348
101
₊348
348_
35148

Еще пример: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

3.8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25

(6 * 7 = 42 Ответ: 4225)

Например:

9

5² = 9025

9 *10

1

25² = 15625

12 * 13

3.8. Возведение в квадрат числа, близкого к 50.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры:

1) 58² = 3364.

Объяснение: 58 – 25 = 33, 8² = 64, 58² = 3364.

2) 67² = 4489

Объяснение: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 17² =289,

67² = 4200 + 289 = 4489.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но меньшее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат недостатка данного числа до 50.

Примеры:

1) 48² = 2304.

Объяснение: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 2² = 4, 48² = 2304.

2) 37² = 1369

Объяснение: 37 – 25 = 12, 50 - 37 = 13, 13² =169,

37² = 1200 + 169 = 1369.

3.9. Игры

Отгадывание полученного числа.

Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа.

Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное.

У вас получилось 1.

Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное.

У вас получилось 2.

Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.

У вас получилось 8.

Угадывание задуманных чисел.

Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.

Полученную сумму пусть умножит на 3.

От произведения пусть отнимет 7.

Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.

Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3)

Заключение

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д.н.э.- Пифагора- «Всё есть число!».

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современный способ умножения прост и доступен всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.

Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Список использованной литературы

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом

«Фёдоров», 1999.

2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

3. Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.

4. Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.

5. y.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

6. od.ru/mod/1/6506/hystory.php

Blog

Районная научно практическая конференция по математике «Шаг в науку»

Содержание

Руководитель: Забродина Елена Петровна,

учитель математики