Магические квадраты франклина вводные определения Традиционным
Вид материала | Документы |
СодержаниеМагические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. Добавлено 27 октября 2008 г. |
- Магические квадраты удивительные представители воображаемого мира чисел, 62.97kb.
- 14. Матрицы. Магические квадраты. Sator arepo. Словесные квадраты Эберхарда Немецкого, 297.72kb.
- Магические квадраты Что такое «магический квадрат»?, 233.74kb.
- Цели: Обобщить и закрепить навыки сложения и вычитания смешанных чисел, 82.92kb.
- Магические квадраты, 137.91kb.
- Крамаренко Анна Павловна, Университетский лицей, 10 класс магические квадраты научный, 35.4kb.
- Конкурс по русскому языку «Таинственные надписи», 50.81kb.
- Автобиография Бенджамина Франклина жизнь вениамина франклина автобиография, 2100.71kb.
- Исследовательская работа магические квадраты, 111.12kb.
- «Магические квадраты магия или наука», 83.4kb.
Рис. 19
Итак, полученный квадрат является пандиагональным, но не ассоциативным. Чтобы сделать его ассоциативным, достаточно выполнить следующие преобразования: переставить строки, причём некоторые из них “перевернуть” (то есть записать числа в строке в обратном порядке, начиная с последнего). Если внимательно посмотреть на квадрат, изображённый на рис. 19, легко заметить, что каждой строке соответствует строка, содержащая комплементарные числа, если её “перевернуть” и расположить эти строки симметрично относительно горизонтальной оси симметрии квадрата. Например, для первой строки такой строкой будет четвёртая строка (считая сверху). Исходя из этого, нетрудно найти те строки, которые надо переставить и “перевернуть”.
В результате этих преобразований получается идеальный квадрат 16-го порядка, который представлен на рис. 20.
1 | 240 | 225 | 223 | 210 | 63 | 50 | 80 | 65 | 176 | 161 | 159 | 146 | 127 | 114 | 16 |
254 | 19 | 30 | 36 | 45 | 196 | 205 | 179 | 190 | 83 | 94 | 100 | 109 | 132 | 141 | 243 |
2 | 128 | 113 | 160 | 145 | 175 | 162 | 79 | 66 | 64 | 49 | 224 | 209 | 239 | 226 | 15 |
253 | 131 | 142 | 99 | 110 | 84 | 93 | 180 | 189 | 195 | 206 | 35 | 46 | 20 | 29 | 244 |
7 | 234 | 231 | 217 | 216 | 57 | 56 | 74 | 71 | 170 | 167 | 153 | 152 | 121 | 120 | 10 |
252 | 21 | 28 | 38 | 43 | 198 | 203 | 181 | 188 | 85 | 92 | 102 | 107 | 134 | 139 | 245 |
8 | 122 | 119 | 154 | 151 | 169 | 168 | 73 | 72 | 58 | 55 | 218 | 215 | 233 | 232 | 9 |
251 | 133 | 140 | 101 | 108 | 86 | 91 | 182 | 187 | 197 | 204 | 37 | 44 | 22 | 27 | 246 |
11 | 230 | 235 | 213 | 220 | 53 | 60 | 70 | 75 | 166 | 171 | 149 | 156 | 117 | 124 | 6 |
248 | 25 | 24 | 42 | 39 | 202 | 199 | 185 | 184 | 89 | 88 | 106 | 103 | 138 | 135 | 249 |
12 | 118 | 123 | 150 | 155 | 165 | 172 | 69 | 76 | 54 | 59 | 214 | 219 | 229 | 236 | 5 |
247 | 137 | 136 | 105 | 104 | 90 | 87 | 186 | 183 | 201 | 200 | 41 | 40 | 26 | 23 | 250 |
13 | 228 | 237 | 211 | 222 | 51 | 62 | 68 | 77 | 164 | 173 | 147 | 158 | 115 | 126 | 4 |
242 | 31 | 18 | 48 | 33 | 208 | 193 | 191 | 178 | 95 | 82 | 112 | 97 | 144 | 129 | 255 |
14 | 116 | 125 | 148 | 157 | 163 | 174 | 67 | 78 | 52 | 61 | 212 | 221 | 227 | 238 | 3 |
241 | 143 | 130 | 111 | 98 | 96 | 81 | 192 | 177 | 207 | 194 | 47 | 34 | 32 | 17 | 256 |
Рис. 20
Подробно построение этого идеального квадрата изложено в [5]. Данным методом можно построить только идеальные квадраты порядка n = 8k, k = 1, 2, 3, …. [6].
4. Задачи
- Построить полумагические квадраты 4-го и 12-го порядка подобные полумагическим квадратам Франклина.
- Построить пандиагональные и идеальные квадраты 8-го, 24-го и 32-го порядков по схеме Франклина.
- Реализовать алгоритм построения пандиагональных и идеальных квадратов порядка n = 8k, k = 1, 2, 3 … по схеме Франклина, то есть составить программу для компьютерного построения таких квадратов.
5. Литература
[1] Harvey Heinz. Веб-сайт. «Franklin Squares» (на английском языке): ссылка скрыта
[2] Н. Макарова. Веб-сайт. «Квадраты Франклина»:
ссылка скрыта
[3] Н. Скрябина, В. Дубовской. Вебсайт «Магические квадраты»:
ссылка скрыта
[4] Веб-сайт «Дух времени». В. П. Лукоянов, В. В. Лукоянов, Шанти П. Джаясекара. «Модифицированные магико-магические квадраты Бенджамина Франклина»:
ссылка скрыта
[5] Н. Макарова. Веб-сайт. «Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)»:
ссылка скрыта
[6] Н. Макарова. Веб-сайт. «Метод построения идеальных магических квадратов порядка n = 8k»:
ссылка скрыта
[7] Н. Макарова. Вебсайт. «Волшебный мир магических квадратов»:
ссылка скрыта
[8] М. М. Постников. Магические квадраты. – М.: Наука, 1964
[9] Н. М. Рудин. От магического квадрата к шахматам. – М.: Физкультура и спорт, 1969
[10] Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995
[11] Ю. В. Чебраков. Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. – Санкт-Петербург: 2008. Электронная версия книги: ссылка скрыта
[12] Gardner, M. Magic Squares and Cubes. Ch. 17 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, 1988.
[13] М. Гарднер. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990. Электронная версия книги:
ссылка скрыта
[14] Paul C. Pasles (2001) «The Lost Squares of Dr. Franklin». American Mathematical Monthly 108(6), 489-511. Вебсайт. ссылка скрыта (на английском языке)
[15] C. Bragdon (1936) «The Franklin 16x16 Magic Square», Scripta Mathematica 4, 158-159. (на английском языке)
[16] B. Rosser, R.Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal, 5, 1939, pp. 705-728.
[17] Cor Hurkens. Веб-сайт. ссылка скрыта
[18] Н. Макарова. Веб-сайт. ссылка скрыта
26 сентября 2008 г.
г. Саратов
Примечание: рецензент статьи высказал сомнение в том, что в [4] приведён оригинальный полумагический квадрат Франклина 32-го порядка, в связи с тем, что авторы назвали публикацию “Модифицированные магико-магические квадраты Бенджамина Франклина”. При написании статьи для сайта я тщательно исследовала структуру данного квадрата и установила, что он подобен полумагическому квадрату Франклина 16-го порядка. Хотя преобразованный квадрат тоже может иметь похожую структуру. Однако полагаю, что если авторы указанной статьи преобразовали оригинальный квадрат Франклина, они привели бы сам оригинал. Но и это могло быть не выполнено. Непонятно и другое: зачем квадрат Франклина надо было модифицировать. Цель этого в указанной публикации не объясняется. Найти полумагический квадрат Франклина 32-го порядка в других ресурсах мне не удалось.
Добавлено 27 октября 2008 г.
Найдена ссылка на журнал “Дух времени”, фрагментом которого является [4]:
ссылка скрыта
В этом журнале приведена подробная статья о полумагическом квадрате Франклина 32-го порядка. Из этой статьи явствует, что данный квадрат действительно был построен по алгоритму Франклина Виталием и Виктором Лукояновыми и Шанти П. Джаясекаром. Авторы заявили о приоритетном праве на этот квадрат в 2003 году, и квадрат считается авторским.
Как уже отмечено выше, квадрат действительно имеет структуру, полностью совпадающую со структурой полумагических квадратов Франклина 8-го и 16-го порядков. Поэтому вряд ли стоит говорить о модификации квадрата. Можно даже с большой вероятностью предположить, что данный квадрат был построен самим Франклином, но не дошёл до нас или дошёл в незаконченном виде.
Интересно привести цитату из указанного журнала:
“Необходимо заметить,
что Бенджамин Франклин оставил
уникальное научное и духовное наследство
следующим поколениям исследователей,
причем, видимо принципиально,
не раскрыл до конца ни одного из
своих алгоритмов по построению маги-
ческих квадратов, а в особенности для
своего легендарного магико-магического
квадрата 16 Х 16, который являлся в
то время высшим уровнем разработки
удивительной серии магических квадратов.
Поэтому авторам пришлось провести
для начала многолетнюю кропотливую
работу по нахождению своеобразного
«реперного ключа» и алгоритмов
по построению всех известных и
даже не законченных магических квадратов
Бенджамина Франклина, а затем
уже на базе накопленного материала
находить необходимые алгоритмы по
разработке своих авторских магических
квадратов. В данной работе авторам при
непосредственном взаимодействии с
Международной Высшей Аттестационной
Комиссией (МВАК) от Международного
Университета Фундаментального
Обучения (МУФО) под эгидой Великобритании-
США-России удалось впервые
разработать свой алгоритм, а также составить
авторский магический квадрат
32 Х 32 Виталия и Виктора Лукояновых
– Шанти П. Джаясекара …”