Магические квадраты франклина вводные определения Традиционным

Вид материалаДокументы

Содержание


Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ.
Добавлено 27 октября 2008 г.
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


Рис. 19


Итак, полученный квадрат является пандиагональным, но не ассоциативным. Чтобы сделать его ассоциативным, достаточно выполнить следующие преобразования: переставить строки, причём некоторые из них “перевернуть” (то есть записать числа в строке в обратном порядке, начиная с последнего). Если внимательно посмотреть на квадрат, изображённый на рис. 19, легко заметить, что каждой строке соответствует строка, содержащая комплементарные числа, если её “перевернуть” и расположить эти строки симметрично относительно горизонтальной оси симметрии квадрата. Например, для первой строки такой строкой будет четвёртая строка (считая сверху). Исходя из этого, нетрудно найти те строки, которые надо переставить и “перевернуть”.

В результате этих преобразований получается идеальный квадрат 16-го порядка, который представлен на рис. 20.


1

240

225

223

210

63

50

80

65

176

161

159

146

127

114

16

254

19

30

36

45

196

205

179

190

83

94

100

109

132

141

243

2

128

113

160

145

175

162

79

66

64

49

224

209

239

226

15

253

131

142

99

110

84

93

180

189

195

206

35

46

20

29

244

7

234

231

217

216

57

56

74

71

170

167

153

152

121

120

10

252

21

28

38

43

198

203

181

188

85

92

102

107

134

139

245

8

122

119

154

151

169

168

73

72

58

55

218

215

233

232

9

251

133

140

101

108

86

91

182

187

197

204

37

44

22

27

246

11

230

235

213

220

53

60

70

75

166

171

149

156

117

124

6

248

25

24

42

39

202

199

185

184

89

88

106

103

138

135

249

12

118

123

150

155

165

172

69

76

54

59

214

219

229

236

5

247

137

136

105

104

90

87

186

183

201

200

41

40

26

23

250

13

228

237

211

222

51

62

68

77

164

173

147

158

115

126

4

242

31

18

48

33

208

193

191

178

95

82

112

97

144

129

255

14

116

125

148

157

163

174

67

78

52

61

212

221

227

238

3

241

143

130

111

98

96

81

192

177

207

194

47

34

32

17

256


Рис. 20


Подробно построение этого идеального квадрата изложено в [5]. Данным методом можно построить только идеальные квадраты порядка n = 8k, k = 1, 2, 3, …. [6].


4. Задачи

  1. Построить полумагические квадраты 4-го и 12-го порядка подобные полумагическим квадратам Франклина.
  2. Построить пандиагональные и идеальные квадраты 8-го, 24-го и 32-го порядков по схеме Франклина.
  3. Реализовать алгоритм построения пандиагональных и идеальных квадратов порядка n = 8k, k = 1, 2, 3 … по схеме Франклина, то есть составить программу для компьютерного построения таких квадратов.


5. Литература


[1] Harvey Heinz. Веб-сайт. «Franklin Squares» (на английском языке): ссылка скрыта

[2] Н. Макарова. Веб-сайт. «Квадраты Франклина»:

ссылка скрыта

[3] Н. Скрябина, В. Дубовской. Вебсайт «Магические квадраты»:

ссылка скрыта

[4] Веб-сайт «Дух времени». В. П. Лукоянов, В. В. Лукоянов, Шанти П. Джаясекара. «Модифицированные магико-магические квадраты Бенджамина Франклина»:

ссылка скрыта

[5] Н. Макарова. Веб-сайт. «Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)»:

ссылка скрыта

[6] Н. Макарова. Веб-сайт. «Метод построения идеальных магических квадратов порядка n = 8k»:

ссылка скрыта

[7] Н. Макарова. Вебсайт. «Волшебный мир магических квадратов»:

ссылка скрыта

[8] М. М. Постников. Магические квадраты. – М.: Наука, 1964

[9] Н. М. Рудин. От магического квадрата к шахматам. – М.: Физкультура и спорт, 1969

[10] Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995

[11] Ю. В. Чебраков. Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. – Санкт-Петербург: 2008. Электронная версия книги: ссылка скрыта

[12] Gardner, M. Magic Squares and Cubes. Ch. 17 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, 1988.

[13] М. Гарднер. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990. Электронная версия книги:

ссылка скрыта

[14] Paul C. Pasles (2001) «The Lost Squares of Dr. Franklin». American Mathematical Monthly 108(6), 489-511. Вебсайт. ссылка скрыта (на английском языке)

[15] C. Bragdon (1936) «The Franklin 16x16 Magic Square», Scripta Mathematica 4, 158-159. (на английском языке)

[16] B. Rosser, R.Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal, 5, 1939, pp. 705-728.

[17] Cor Hurkens. Веб-сайт. ссылка скрыта

[18] Н. Макарова. Веб-сайт. ссылка скрыта


26 сентября 2008 г.

г. Саратов


Примечание: рецензент статьи высказал сомнение в том, что в [4] приведён оригинальный полумагический квадрат Франклина 32-го порядка, в связи с тем, что авторы назвали публикацию “Модифицированные магико-магические квадраты Бенджамина Франклина”. При написании статьи для сайта я тщательно исследовала структуру данного квадрата и установила, что он подобен полумагическому квадрату Франклина 16-го порядка. Хотя преобразованный квадрат тоже может иметь похожую структуру. Однако полагаю, что если авторы указанной статьи преобразовали оригинальный квадрат Франклина, они привели бы сам оригинал. Но и это могло быть не выполнено. Непонятно и другое: зачем квадрат Франклина надо было модифицировать. Цель этого в указанной публикации не объясняется. Найти полумагический квадрат Франклина 32-го порядка в других ресурсах мне не удалось.


Добавлено 27 октября 2008 г.


Найдена ссылка на журнал “Дух времени”, фрагментом которого является [4]:

ссылка скрыта


В этом журнале приведена подробная статья о полумагическом квадрате Франклина 32-го порядка. Из этой статьи явствует, что данный квадрат действительно был построен по алгоритму Франклина Виталием и Виктором Лукояновыми и Шанти П. Джаясекаром. Авторы заявили о приоритетном праве на этот квадрат в 2003 году, и квадрат считается авторским.

Как уже отмечено выше, квадрат действительно имеет структуру, полностью совпадающую со структурой полумагических квадратов Франклина 8-го и 16-го порядков. Поэтому вряд ли стоит говорить о модификации квадрата. Можно даже с большой вероятностью предположить, что данный квадрат был построен самим Франклином, но не дошёл до нас или дошёл в незаконченном виде.

Интересно привести цитату из указанного журнала:


“Необходимо заметить,

что Бенджамин Франклин оставил

уникальное научное и духовное наследство

следующим поколениям исследователей,

причем, видимо принципиально,

не раскрыл до конца ни одного из

своих алгоритмов по построению маги-

ческих квадратов, а в особенности для

своего легендарного магико-магического

квадрата 16 Х 16, который являлся в

то время высшим уровнем разработки

удивительной серии магических квадратов.

Поэтому авторам пришлось провести

для начала многолетнюю кропотливую

работу по нахождению своеобразного

«реперного ключа» и алгоритмов

по построению всех известных и

даже не законченных магических квадратов

Бенджамина Франклина, а затем

уже на базе накопленного материала

находить необходимые алгоритмы по

разработке своих авторских магических

квадратов. В данной работе авторам при

непосредственном взаимодействии с

Международной Высшей Аттестационной

Комиссией (МВАК) от Международного

Университета Фундаментального

Обучения (МУФО) под эгидой Великобритании-

США-России удалось впервые

разработать свой алгоритм, а также составить

авторский магический квадрат

32 Х 32 Виталия и Виктора Лукояновых

– Шанти П. Джаясекара …”