Концепция Москва 2008 Цель программы Магистерская программа «Математика» направлена на подготовку исследователей в области современной геометрии и топологии с упором на изучение топологии различных функциональных пространств
| Вид материала | Программа |
- Базовая учебная программа дисциплины «Основания геометрии» для студентов специальности, 51.22kb.
- Базовая учебная программа дисциплины «введение в математику» для студентов специальности, 72.7kb.
- Базовая учебная программа дисциплины «методика преподавания математики» для студентов, 108.53kb.
- Магистерская программа «Информационные технологии и информационные системы» по направлению, 34.28kb.
- Теория размерности общих топологических пространств, 31.25kb.
- Начинает работу просеминар по геометрии и топологии, 16.06kb.
- Продолжает работу просеминар по геометрии и топологии, 16.36kb.
- Практических: 34 Лабораторных, 16.83kb.
- Построение структурных сеток трёхмерных геологических сред произвольной топологии для, 27.27kb.
- Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра, 46.51kb.
Министерство экономического развития и торговли РФ
Государственный университет — Высшая школа экономики
Факультет математики
НАПРАВЛЕНИЕ 010100.68 «математика»
со специализациями «Геометрия и топология» и «Алгебра»
Степень (квалификация): магистр математики
Концепция
Москва 2008
Цель программы
Магистерская программа «Математика» направлена на подготовку исследователей в области
- современной геометрии и топологии с упором на изучение топологии различных функциональных пространств;
- алгебры с упором на изучение ее современных областей и областей пограничных с геометрией и топологией - алгебраической геометрии, гомологической алгебры, теории представлений групп и алгебр Ли.
Обучение в магистратуре могут проходить выпускники бакалавриата факультета математики и других факультетов ГУ-ВШЭ, математических факультетов других российских и зарубежных вузов, а также специалисты-математики. Программу предполагается открыть в 2009 году. Предполагаемое количество участников — 20 человек.
Магистерская программа разработана на основании государственного образовательного стандарта по направлению «Математика» 510100. Программа включает в себя учебные аннотированные программы базовых профессиональных курсов.
Наряду с углубленным изучением геометрических и топологических курсов, программа предполагает овладение курсами магистерских программ других факультетов ГУ-ВШЭ по смежным специальностям, что обеспечивает развитие кругозора и профессиональную эрудицию будущего магистра.
Геометрия и топология, а также алгебра лежат в основе многих ключевых вопросов современной математики, включая математическую физику. Уверенное владение этими областями науки обеспечивает востребованность выпускников на математических кафедрах вузов и в исследовательских центрах России и зарубежом, в том числе на механико-математическом факультете МГУ, в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН, НИИ системных исследований РАН, Институте проблем передачи информации РАН. Позиции российских математиков в мире здесь особенно сильны, что видно, в том числе, и по профессорско-преподавательскому составу магистерской программы.
Место программы в образовательной концепции факультета
Магистерская программа предназначена для подготовки исследователей с более конкретной специализацией в области геометрии и топологии, а также алгебры, чем это происходит на этапе бакалавриата. Она также призвана служить предварительным этапом перед поступлением в аспирантуру лиц, имеющих высшее образование, но недостаточно подготовленных для начала собственной исследовательской деятельности, необходимой при работе над диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук. Предполагается организация обменов участников программы — преподавателей и студентов — с аналогичными программами ведущих западных университетов, включая приглашение ведущих мировых специалистов для чтения лекций и руководства исследовательской работой магистров. Развитие программы предусматривает, что в ней будут участвовать на постоянной основе и иностранные студенты — как стран СНГ, так и из дальнего зарубежья. В последнем случае чтение части предлагаемых курсов будет происходить на английском языке. Программа основана на принципах межфакультетского образования и открыта для студентов и аспирантов всех факультетов ГУ-ВШЭ.
Требования к выпускникам магистерской программы
Система подготовки магистров математики должна в целом соответствовать существующему государственному стандарту, при некотором смещении акцентов в обучении, направленном на более полное отражение специфики высшего учебного заведения, с учетом круга научных интересов предполагаемого состава преподавателей, а также их понимания современных тенденций развития математики. Магистр должен быть подготовлен к дальнейшему обучению в аспирантуре, а также к исследовательской деятельности в области геометрии, топологии, алгебры и смежных областях математики. Магистр должен владеть разнообразным арсеналом современных методов исследования, включая использование специализированных компьютерных программ для проведения разнообразных вычислений.
Кроме того, в соответствии с государственным стандартом, программа предусматривает формирование у студента следующих научно-методологических навыков и умений:
- формулировать проблему, цель и задачи исследования;
- выбирать адекватные задачам методы исследования;
- вести информационно-аналитическую и информационно-библиографическую работу с привлечением современных технологий;
- анализировать собранную информацию и объяснять полученные результаты;
- представлять итоги проделанной работы в виде отчетов, рефератов, статей, оформленных в соответствии с современными требованиями.
В качестве итоговой государственной аттестации выпускник магистратуры должен подготовить и защитить магистерскую диссертацию. Результаты защиты могут учитываться как результаты вступительных экзаменов в аспирантуру по соответствующей специальности.
Обеспеченность программы преподавательскими кадрами
Руководителем магистерской программы «Геометрия и топология» предлагается декан факультета математики доктор физико-математических наук С.К.Ландо. Он известен своими работами по топологии пространств комплексных алгебраических кривых и инвариантам Васильева узлов. В работе Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves, Invent. Math., vol. 146, 297—327 (2001) (написанной им совместно с T.Ekedahl, M.Shapiro, A.Vainshtein) выведена формула, дающая выражение некоторых топологических характеристик пространств комплексных кривых в комбинаторных терминах. В публикациях последних лет эта формула называется формулой ELSV — по первым буквам фамилий авторов. В недавней работе An algebro-geometric proof of Witten's conjecture, J. Amer. Math. Soc., vol. 20, no. 4, 1079—1089 (2007) (написанной С.К.Ландо совместно с М.Э.Казаряном) с помощью этой формулы было получено принципиально новое доказательство знаменитой гипотезы Э.Виттена. Совместно с А.К.Звонкиным Ландо является автором монографии Graphs on Surfaces and Their Applications, with an Appendix by D.Zagier, Springer, Berlin, 2004, дающей современное изложение разнообразных вопросов маломерной топологии и предназначенной для исследователей, магистрантов и аспирантов.
Руководить специализацией «геометрия и топология» будет выдающийся российский тополог академик РАН доктор физико-математических наук, зав. кафедрой геометрии и топологии факультета математики ГУ-ВШЭ В.А.Васильев. Он — автор более 100 научных работ, среди которых 10 монографий по самым разнообразным, в том числе весьма далеким друг от друга, разделам математики. Мировую известность ему принесла разработанная им в начале 1990-х теория инвариантов конечного порядка, называемых теперь во всем мире инвариантами Васильева. Основы этой теории заложили его работы Cohomology of knot spaces. In: Theory of singularities and its applications, 23—69 и Topology of complements to discriminants and loop spaces. In: Theory of singularities and its applications, 9—21, Adv. Soviet Math., 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1990. Впоследствии теория получила полное изложение в его монографии Топология дополнений к дискриминантам, М., ФАЗИС, 1997, дважды изданной и на английском языке. В.А.Васильеву также принадлежит учебник для студентов Введение в топологию, М., ФАЗИС, 1997. Пять учеников В.А.Васильева стали кандидатами физико-математических наук.
Профессор кафедры геометрии и топологии факультета математики доктор физико-математических наук Б.Л.Фейгин — автор более 120 научных работ. Основные его интересы сосредоточены вокруг бесконечномерных алгебр Ли и их представлений. Полученные им многочисленные результаты находят широкое применение при изучении топологии различных пространств, играющих принципиальную роль в современных математических конструкциях. Достаточно упомянуть его работы Schubert varieties and the fusion products, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 40 (2004), no. 3, 625-668 (совм. с Е.Фейгиным), Spaces of coinvariants and fusion product. I. From equivalence theorem to Kostka polynomials. Duke Math. J. 125 (2004), no. 3, 549-588 (joint with Jimbo, M.; Kedem, R.; Loktev, S.; Miwa, T.). Под руководством Б.Л.Фейгина подготовили и защитили кандидатские диссертации 10 аспирантов.
Руководить специализацией «алгебра» будет выдающийся российский математик доктор физико-математических наук, зав. кафедрой алгебры факультета математики ГУ-ВШЭ А.Н.Рудаков. Он – автор более 50 научных работ по различным областям алгебры и алгебраической геометрии. Широкую известность получили его исследования по изучению исключительных расслоений, спиралей и связанных с ними структур в конце 80-х начале 90-х годов. Об этом его приглашенный доклад на Международном Математическом Конгрессе ICM 94, Zurich: Rigid and Exceptional vector bundles and sheaves on a Fano variety. In: Proc.ICM94, Birkhauser Verlag, v.1(1995), 697-705, а также Helices and Vector Bundles: Seminaire Rudakov, Cambridge Univ.Press (1990), pp.143. Под руководством А.Н.Рудакова подготовлено восемь кандидатов физико-математических наук, один из них – потом стал доктором физико-математических наук, также под руководством А.Н.Рудакова защищена диссертация на степень Ph.D в университете Тронхайма (Норвегия).
В реализации программы также будут участвовать
- профессор факультета математики к.ф.-м.н. А.Л.Городенцев. Он известен своими работами по гомологической алгебре и исключительным векторным расслоениям: Gorodentsev A.L., Rudakov A.N. Exceptional vector bundles on projective spaces. Duke Math. J. 54 (1987) p.115-130, Gorodentsev A.L., Kuleshov S.A. Helix theory. Moscow Math. J. v.4 (2004) 377-440, Gorodentsev A.L., Kuleshov S.A. On finest and modular t-stabilities. In: Advances in Math.Sci.60, AMS (2007), 121-146, а также по комплексной геометрии, и своими курсами в Московском Независимом Университете.
- к.ф.-м.н. М.В.Финкельберг, имеющий степень доктора философии, присужденную Гарвардским университетом, США. Яркие исследования профессора М.В.Финкельберга по алгебрам Верлинде в теории представлений (An equivalence of fusion categories, Geom. Funct. Anal. 6:2 (1996), 249-267) принесли ему международную известность. Он также работает в области алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел.
- И.В.Артамкин, профессор кафедры дискретной математики, д.ф.-м.н., автор известных работ по деформациям пучков;
- доцент кафедры геометрии и топологии к.ф.-м.н. Ю.М.Бурман (целый ряд его работ посвящен вопросам геометрии и топологии, в том числе Geometry of Whitney-Type Formulas, Moscow Math.J., 3, no.3 (2003) (совм. с М.Поляком); Triangulation of surfaces with boundary and the homotopy principle for functions without critical points Annals of Global Analysis and Geometry, 17, no.3 (1999), p.221. Morse theory for functions of two variables without critical points Functional Differential Equations, 3, no.1--2 (1995), p.31.
Условия зачисления на программу
Прием на программу магистерской подготовки производится на основе конкурсного отбора по результатам вступительных экзаменов. К вступительным экзаменам допускаются граждане России и других стран, имеющие диплом о высшем профессиональном образовании (бакалавра или магистра). Вступительные экзамены проводятся по следующим дисциплинам:
математика (письменно);
математика (устно);
иностранный язык.
Аннотации учебных дисциплин
В этом разделе приводятся аннотации базовых профессиональных учебных дисцилин, составляющих ядро программы. Предполагается, что помимо этих дисциплин участники программы получат возможность в качестве дисциплин по выбору изучать курсы, предлагаемые как другими магистерскими программами факультета математики, так и другими факультетами ГУ-ВШЭ.
Дополнительные главы топологии
цель курса: Познакомить студентов с имеющимися, в том числе и недавними, достижениями в области классификации многообразий малых размерностей (2-4), с проблемами, стоящими в этой области, и подготовить их к самостоятельным исследованиям .
задачи курса: Дать классификацию двумерных многообразий, описать различные способы представления многообразий более высоких размерностей и соотношений между этими способами, объяснить, как можно сравнивать между собой многообразия, в том числе заданные разными способами, и предъявить предназначенные для этого инварианты.
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология
состав курса:
- ориентируемость и ориентация;
- эйлерова характеристика и классификация двумерных поверхностей; скручивания Дена;
- примеры трехмерных многообразий; различные способы задания трехмерных многообразий; представление трехмерных многообразий с помощью оснащенных зацеплений и оснащенных узлов в сфере;
- исчисление Кирби; трехмерные многообразия как границы четырехмерных;
- параллелизуемость ориентируемых трехмерных многообразий;
- инварианты трехмерных многообразий; первый и второй классы Штифеля-Уитни;
- форма пересечений на четырехмерных многообразиях; сигнатура; теорема Уайтхеда;
- алгоритмические аспекты классификации.
Введение в симплектическую геометрию
цель курса: Симплектическая геометрия — и ее расширение контактная геометрия — представляет собой единый язык для описания механических и физических явлений разнообразного происхождения, а полученные при ее изучении результаты находят многочисленные применения. Цель курса состоит в том, чтобы познакомить студентов с объектами симплектической геометрии, научить методам работы с ними и подготовить к самостоятельным исследованиям в этой области.
задачи курса: Студенты должны освоить различные типы объектов, встречающихся в симплектической геометрии и научиться с их помощью описывать поведение механических и, более общим образом, физических систем.
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология, геометрия, группы Ли и алгебры Ли.
состав курса:
- линейная симплектическая структура и группа симплектических преобразований;
- симплектическая структура и симплектические многообразия; примеры; теорема Дарбу и канонические координаты;
- симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления алгебры Ли;
- отображение моментов;
- изотропные и лагранжевы подмногообразия, лагранжевы расслоения;
- скобка Пуассона и пуассоновы структуры;
- контактная геометрия;
- лагранжевы и лежандровы особенности.
Топология функциональных пространств и дискриминантов
цель курса: Один из ключевых подходов в современной топологии состоит в том, что многообразия описываются в терминах пространств отображений в них многообразий малых размерностей. Цель курса — познакомить студентов с методами описания таких функциональных пространств и подготовить к самостоятельной исследовательской работе с ними.
задачи курса: Студенты должны научиться работать с версальными деформациями простых особенностей как простейшими примерами функциональных пространств, уметь описывать дискриминанты в этих пространствах и их стратификацию, уметь обращаться с различными обобщениями этих пространств — пространствами узлов, пространствами мероморфных функций на алгебраических кривых.
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология, дифференциальные уравнения, топологические инварианты особенностей
состав курса:
- пространства деформаций изолированных особенностей и пространства орбит групп, порожденных отражениями; пространства Эйленберга-Маклейна;
- двойственность Александера;
- пространства узлов в сфере, трехмерных и многомерных многообразиях;
- пространства функций без сложных особенностей;
- принцип Смейла-Хирша; h-принцип;
- гомологии графовых комплексов;
- узлы старших размерностей;
- пространства мероморфных функций на алгебраических кривых;
- универсальные многочлены и характеристические классы особенностей.
Теория характеристических классов
цель курса: Научить студентов пользоваться характеристическими классами для изучения многообразий различного вида, в том числе функциональных пространств, и подготовить их к самостоятельным исследованиям.
задачи курса: научить студентов вычислять различные характеристические классы как элементы колец когомологий и колец Чжоу, давать характеристическим классам геометрическую интерпретацию и использовать алгебраические подходы для их вычисления.
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология, дифференциальные уравнения
состав курса:
- векторные расслоения и классифицирующие пространства; спектральная последовательность в когомологиях расслоения; препятствия;
- характеристические классы Черна и теория пересечений; принцип расщепления и формулы Уитни; теорема Гротендика-Римана-Роха;
- исчисление Шуберта, циклы вырождений;
- применение классов Штифеля-Уитни к изучению топологии многообразий: квадраты Стинрода, формула У, соотношения в вещественных кобордизмах;
- формальная группа и операции Ландвебера-Новикова в комплексных кобордизмах;
- глобальная теория особенностей и многочлены Тома-Казаряна; сосуществование особенностей;
- применение универсальных многочленов от характеристических классов к решению перечислительных задач алгебраической геометрии.
Интегрируемые системы математической физики
цель курса: Познакомить студентов с геометрическими основами одной из наиболее важных и быстроразвивающихся областей современной математической физики, находящей разнообразные применения, и подготовить их к самостоятельным исследованиям в этой области.
задачи курса: В результате обучения студенты должны научиться описывать интегрируемые иерархии как в терминах коммутирующих потоков на пространствах функций, так и в геометрических терминах, строить пространства решений таких иерархий, использовать геометрические и комбинаторные подходы для построения специальных решений, обладающих требуемыми свойствами.
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология, дифференциальные уравнения, симплектическая геометрия
состав курса:
- симплектические многообразия и интегрируемые гамильтоновы системы;
- грассманианы и уравнения Плюккера;
- бесконечномерные грассманианы и уравнения Кадомцева-Петвиашвили;
- специализации уравнений КП — уравнения Кортевега-Де Фриза и их высшие аналоги;
- комбинаторные методы построения решений интегрируемых иерархий; многочлены Шура и характеры представлений симметрических групп;
- построение решений интегрируемых иерархий по алгебраическим кривым;
- интегрируемые системы и топология пространств модулей алгебраических кривых.
Гомологическая алгебра
цель курса: Познакомить студентов с основными методами современной гомологической алгебры и подготовить их к самостоятельным исследованиям.
задачи курса: Определить основные конструкции гомологической алгебры (комплексы и симплициальные объекты), сообщить об основных понятиях теории категорий (включая пределы и копределы), изложить определение и основные свойства классических производных функторов (с приложениями к категории модулей), изложить теорию производных и триангулированных категорий.
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра
состав курса:
- симплициальные множества и симплициальные объекты;
- комплексы: гомологии, цепная гомотопия, конус;
- категории, функторы, пределы и копределы;
- категория модулей: функтор Hom и тензорное произведение, проективные, инъективные и плоские модули, резольвенты, инъективная оболочка;
- классические производные функторы, Tor и Ext, применения к когомологиям групп и когомологиям алгебр Ли;
- спектральные последовательности;
- абелевы категории; производная категория абелевой категории;
- триангулированные категории;
- комплекс Кошуля и S-Λ двойственность.
Коммутативная алгебра
цель курса: Коммутативная алгебра представляет собой раздел математики, в котором свойства коммутативных колец рассматриваются с «геометрической» точки зрения, согласно которой кольца рассматриваются как кольца функций на пространстве даже в ситуации, когда они таковыми не являются. Цель курса состоит в том, чтобы ознакомить слушателей с соответствующей идеологией и снабдить их инструментарием, позволяющим самостоятельно работать с «геометрическими» методами теории коммутативных колец.
задачи курса: ознакомить студентов с геометрическим смыслом простых идеалов коммутативного кольца и обучить их технике, позволяющей обосновывать соответствующую геометрическую интуицию и эффективно работать с коммутативными кольцами.
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология
состав курса:
- Простые идеалы и спектр коммутативного кольца.
- Локализация.
- Тензорные произведения и их применения.
- Структура проективных и плоских модулей.
- Неприводимые компоненты и минимальные простые идеалы.
- Ассоциированные простые идеалы.
- Примарное разложение.
- Целая зависимость; теоремы Нётер о нормализации и Гильберта о нулях;
- Проективные многообразия;
- Дискретные нормирования, дедекиндовы кольца, нормальность.
- Пополнение;
- Размерность коммутативного кольца. Теоремы о размерности.
Дополнительные главы алгебры
цель курса: Многие важные результаты коммутативной алгебры основываются на изучении гомологических свойств колец и модулей над ними. Цель курса состоит в том, чтобы научить слушателей пользоваться гомологической техникой для решения задач коммутативной алгебры и связанных с ними геометрических задач.
задачи курса: ознакомить студентов с классификацией колец по их гомологическим свойствам и взаимосвязями между гомологическими свойствами колец и различными свойствами «неособости».
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: коммутативная алгебра, гомологическая алгебра.
состав курса:
- регулярные последовательности и их связь с комплексом Кошуля;
- глубина локального кольца;
- кольца Коэна-Маколея;
- критерий нормальности по Серру;
- минимальные резольвенты и формула Ауслендера-Буксбаума;
- идеалы Фиттинга;
- кольца Горенштейна в нульмерном и общем случаях;
- дуализирующий модуль и двойственность.
Дополнительные главы алгебраической геометрии
цель курса: Ознакомить студентов с таким геометрическим разделом алгебры, как теория схем, и заложить основу для дальнейшего изучения и самостоятельной работы в области алгебраической геометрии.
задачи курса: научить студентов корректно работать со схемами и применять схемы к конкретным алгебро-геометрическим задачам
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: коммутативная алгебра, гомологическая алгебра, теория пучков
состав курса:
- определение схемы; конструкция схем Spec и Proj;
- определение алгебраического многообразия;
- отделимые и собственные морфизмы;
- плоские морфизмы и теорема о замене базы;
- дивизоры и формализм линейных систем;
- дифференциальные формы, присоединение и канонический класс;
- адели на гладких кривых и теорема Римана-Роха;
- теория пересечений на поверхностях;
- теорема Римана-Роха для поверхностей;
- регулярность по Мамфорду;
- уплощающие разбиения и конструкция схемы Гильберта.
Бесконечномерные алгебры Ли
цель курса: Ознакомить студентов с фундаментальными понятиями и конструкциями теории полупростых алгебр Ли, описать построение алгебр Каца-Муди и их первоначальные свойства
задачи курса: научить студентов работать с алгебрами Ли, освоить классические конструкции, изложить главные элементы структурной теории алгебр Каца-Муди
перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология
состав курса:
- алгебры Ли, простые алгебры Ли, sl_2 и алгебра Вирасоро;
- подалгебра Картана и корни, корневое разложение для sl_n и Вирасоро;
- построение бесконечномерной алгебры Ли по обобщенной матрице Картана;
- инвариантная билинейная форма и оператор Казимира;
- представления, весовое разложение, старший вес;
- интегрируемые представления, группа Вейля;
- классические простые алгебры Ли, алгебры Каца-Муди;
- евклидовы системы корней, группы порожденные отражениями;
- системы корней алгебр Каца-Муди.
Научно-исследовательская работа
Помимо прослушивания учебных курсов и сдачи экзаменов, каждый магистрант должен выполнить большой объем самостоятельной работы. У каждого магистранта будет научный руководитель, с которым они совместно разрабатывают индивидуальный план учебы и исследований. Основной формой исследовательского общения, помимо непосредственных контактов с научным руководителем, должны служить учебно-исследовательские семинары. Каждый магистрант должен принимать участие в работе учебно-исследовательского семинара по своей свециализации и одного из смежных семинаров факультета математики, выступать на семинаре с докладами и подготовить магистерскую диссертацию. Доклады на семинарах могут быть основаны на изучении исследовательских статей по направлению подготовки — по поручению научного руководителя или руководителя семинара, а также на результатах, полученных магистрантом самостоятельно. На факультете планируется сохранить традицию предварительного индивидуального прослушивания докладов с целью помочь студенту лучше выступать перед аудиторией. Качественное изложение собственных результатов может служить основанием для рекомендации их публикации в научной печати.