Лекция 13. Исследование функции, график функции
Вид материала | Лекция |
СодержаниеТеорема 3. (необходимое условие перегиба) |
- Элективный курс «Функции и их графики» (9 класс), 62.92kb.
- Лекция Производная функции, 30.86kb.
- Урок алгебры в 10 классе Тема: «Логарифмы, логарифмическая функция, её свойства и график», 66.6kb.
- Программа вступительного экзамена в аспирантуру цэми ран по специальности 08. 00., 84.35kb.
- Курс лекций. Лекция Финансы и их функции. План. Сущность финансов и их функции. Роль, 1021.27kb.
- Лекция 11. Индивидуальный и рыночный спрос, 58.12kb.
- Лекция 1 Среднеквадратичное приближение функции, 58.12kb.
- Тема: «Квадратичная функция, её свойства и график», 103.05kb.
- Лекция Виртуальные функции. Дружественные функции, 70.17kb.
- Лекция Дифференцирование функций, 25.58kb.
Лекция 13. Исследование функции, график функции.
П.1 Выпуклость функции.
ОПР. Функция
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-m7e45c912.gif)
ОПР. Функция
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-m317193d2.gif)
ОПР. Функция
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m331654da.gif)
ТЕОРЕМА 1 (ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ по первой производной)
(1) Если при всех
![](images/311352-nomer-6ca155e8.gif)
![](images/311352-nomer-m4429d32b.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-52986479.gif)
![](images/311352-nomer-m343bc083.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
ДОК.(1) На отрезке
![](images/311352-nomer-57454c8c.gif)
![](images/311352-nomer-5aa0e0a7.gif)
![](images/311352-nomer-m526bdef1.gif)
На отрезке
![](images/311352-nomer-56616d26.gif)
![](images/311352-nomer-547ea3ab.gif)
Тогда
![](images/311352-nomer-m508e12a0.gif)
Доказательство (2) самостоятельно.
ТЕОРЕМА 2. ( ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ по второй производной)
(1) Если для всех
![](images/311352-nomer-m2b5523c8.gif)
![](images/311352-nomer-m755523df.gif)
![](images/311352-nomer-m331654da.gif)
(2) Если для всех
![](images/311352-nomer-m2b5523c8.gif)
![](images/311352-nomer-m1710b187.gif)
![](images/311352-nomer-m331654da.gif)
ДОК. (1) Пусть
![](images/311352-nomer-4db9ae48.gif)
![](images/311352-nomer-m331654da.gif)
По формуле Тейлора:
![](images/311352-nomer-2942a8b5.gif)
для всех
![](images/311352-nomer-m45b0c372.gif)
![](images/311352-nomer-55ad76ab.gif)
(2) доказать самостоятельно.
Для нахождения интервалов выпуклости необходимо: 1) найти вторую производную функции ; 2) определить критические точки второго рода, т.е. точки в которых вторая производная равна нулю, либо не существует ; 3) расположить критические точки на числовой оси (на области определения функции) и разбить ее на интервалы, границами которых являются критические точки второго рода ;4) выяснить знак второй производной на каждом из интервалов и определить характер выпуклости.
П.2 Точка перегиба.
ОПР. Точка
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-31ab8d11.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
ТЕОРЕМА 3. (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА)
Если
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-m287524cb.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
ДОК. Если вторая производная не существует, то теорема доказана. Если она существует, но не равна нулю, то выражение
![](images/311352-nomer-5d978fb7.gif)
сохраняет знак в малой окрестности
![](images/311352-nomer-m109f613d.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
ТЕОРЕМА 4 (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА по второй производной)
Пусть функция
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-6290dfb7.gif)
![](images/311352-nomer-5d313af3.gif)
2)
![](images/311352-nomer-5d207ffe.gif)
![](images/311352-nomer-m764c34c3.gif)
( или
![](images/311352-nomer-6bee79a9.gif)
![](images/311352-nomer-41e49f49.gif)
Тогда в точке
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
ДОК. Из условия 1) теоремы следует, что
![](images/311352-nomer-31ab8d11.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-m7855e236.gif)
![](images/311352-nomer-m2bb78b5c.gif)
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
П 3. Асимптоты графика функции.
ОПР. Прямая
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m6e81b096.gif)
ПРИМЕР 1. Для функции
![](images/311352-nomer-md5e313.gif)
![](images/311352-nomer-m4cd8016d.gif)
![](images/311352-nomer-69c4e849.gif)
ОПР. Прямая
![](images/311352-nomer-m1de8cf00.gif)
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-452c790f.gif)
ПРИМЕР 2. Прямая
![](images/311352-nomer-4c0721b2.gif)
![](images/311352-nomer-581ebb91.gif)
![](images/311352-nomer-34d3e50a.gif)
![](images/311352-nomer-6d1b9424.gif)
![](images/311352-nomer-m68cd1a29.gif)
![](images/311352-nomer-83b1c6f.gif)
Заметим, что на
![](images/311352-nomer-m26487343.gif)
ОПР. Прямая
![](images/311352-nomer-m54ee79d2.gif)
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m69bb577.gif)
ТЕОРЕМА 5. Если график функции
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m54ee79d2.gif)
![](images/311352-nomer-m6ed5353.gif)
![](images/311352-nomer-7d1de8bd.gif)
ДОК. По условию
![](images/311352-nomer-m45175065.gif)
![](images/311352-nomer-25da812d.gif)
![](images/311352-nomer-m78fd9441.gif)
![](images/311352-nomer-26e33d5b.gif)
![](images/311352-nomer-m6ed5353.gif)
![](images/311352-nomer-52397573.gif)
![](images/311352-nomer-7d1de8bd.gif)
ТЕОРЕМА 6. Если для функции
![](images/311352-nomer-370aa5e2.gif)
![](images/311352-nomer-m6ed5353.gif)
![](images/311352-nomer-7d1de8bd.gif)
![](images/311352-nomer-m54ee79d2.gif)
ДОК. По условию
![](images/311352-nomer-m344e4efd.gif)
![](images/311352-nomer-m72b68c13.gif)
ПРИМЕР 3. Функция
![](images/311352-nomer-581ebb91.gif)
![](images/311352-nomer-m26487343.gif)
![](images/311352-nomer-m1188d4e7.gif)
![](images/311352-nomer-m34c94323.gif)
![](images/311352-nomer-m34c94323.gif)
![](images/311352-nomer-5f489884.gif)
![](images/311352-nomer-m404c5e33.gif)
![](images/311352-nomer-7d1de8bd.gif)
![](images/311352-nomer-m6258da39.gif)
![](images/311352-nomer-m15e33f73.gif)
П.4 Схема построения графика функции.
При построении графика функции полезно следовать следующей схеме:1) Найти область определения функции.2) Определить особенности функции: четность, нечетность, периодичность или его отсутствие.3) Вычислить первую производную функции.
4) Отметить на области определения функции критические точки первого рода, отметить интервалы монотонности и определить характер монотонности (возрастание или убывание).
5) Среди критических точек отметить точки экстремума (максимума или минимума).6) Вычислить вторую производную функции.7) Отметить на области определения функции критические точки второго рода, отметить интервалы выпуклости и определить характер выпуклости (вниз или вверх).
8) Среди критических точек второго рода отметить точки перегиба.9) Установить асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные ).10) Построить график функции с учетом обнаруженных в пунктах 1)-9) особенностей.
ПРИМЕР 4. Построить график функции
![](images/311352-nomer-581ebb91.gif)
Решение. 1)
![](images/311352-nomer-m1dfbc405.gif)
![](images/311352-nomer-m669826bb.gif)
![](images/311352-nomer-m26d528db.gif)
![](images/311352-nomer-m4ac39b72.gif)
![](images/311352-nomer-4c182ec4.gif)
![](images/311352-nomer-m7af53a6.gif)
![](images/311352-nomer-m2a679080.gif)
![](images/311352-nomer-69c4e849.gif)
6)
![](images/311352-nomer-5968734.gif)
![](images/311352-nomer-m2a679080.gif)
![](images/311352-nomer-69c4e849.gif)
9) Вертикальных асимптот нет, прямая
![](images/311352-nomer-4c0721b2.gif)
![](images/311352-nomer-34d3e50a.gif)
![](images/311352-nomer-738143ec.gif)
![](images/311352-nomer-m26487343.gif)
![](images/311352-nomer-4acda6c4.gif)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Выпуклость функции, достаточное условие выпуклости по первой производной, достаточное условие выпуклости по второй производной.
2) Точка перегиба, необходимое условие перегиба, достаточное условие перегиба.
3) Асимптоты графика функции : вертикальные, горизонтальные, наклонные. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.
4) Общая схема исследования функции и построения ее графика. Проиллюстрировать схему на примере по выбору.