Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных форм 01. 01. 06 математическая логика, алгебра и теория чисел

Вид материала

Автореферат

Содержание Быковский виктор алексеевич Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях

Подобный материал:

• Программы кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 "Математическая логика,, 50.44kb.
• Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальной дисциплине 01. 01., 67.09kb.
• Состав рабочих групп по разработке основных образовательных программ на основе требований, 497.64kb.
• Алгебра и теория чисел, 52.79kb.
• Алгебра, логика и теория чисел, 14.13kb.
• Вопросы по курсу: Математическая логика и теория алгоритмов (2 курс), 30.21kb.
• Аннотация программы учебной дисциплины «Дискретная математика и математическая логика, 55.65kb.
• Рабочая программа по дисциплине в 2-Математическая логика и теория алгоритмов шифр, 316.78kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины дв2 Математическая логика и теория алгоритмов, 50.1kb.
• Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов», 69.99kb.

На правах рукописи


Пачев Урусби Мухамедович


ПРИЛОЖЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ЭРГОДИЧЕСКОГО метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных форм


01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел


АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук


МОСКВА – 2009

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшей алгебры математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета


Официальные оппоненты:

Член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

БЫКОВСКИЙ ВИКТОР АЛЕКСЕЕВИЧ

доктор физико-математических наук,

профессор ГОЛУБЕВА ЕЛЕНА ПЕТРОВНА

доктор физико-математических наук,

профессор ГРИЦЕНКО СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ


Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова


Защита состоится ____ ________________ 2009 г. в _____ч.

на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу:

107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.


С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан ____ ______________ 2009г.


Ученый секретарь

диссертационного совета Муравьева О.В.


Общая характеристика работы


Актуальность темы Арифметика квадратичных форм является одним из активно разрабатываемых разделов современной теории чисел. В настоящее время наибольший интерес представляет случай целочисленных тернарных квадратичных форм, поскольку к ним не применимы те аналитические методы, которыми удалось полностью исследовать случай квадратичных форм от четырех и более переменных. Важнейшие результаты в рассматриваемой тематике получили акад. Ю.В. Линник и его школа. Ю.В. Линник для изучения вопроса о представлении целых чисел тернарными квадратичными формами разработал своеобразный аналитико-алгебраический метод, использующий некоммутативную арифметику, и названный впоследствии дискретным эргодическим методом (ДЭМ). Проблема представления чисел тернарными квадратичными формами, поставленная Ю.В. Линником, и имеющая связь и с другими важными проблемами математики, еще далека от своего завершения, хотя в последнее время в этом направлении получен ряд новых результатов, относящихся к случаю изотропных неопределенных тернарных квадратичных форм.

Цель работы: 1) полное завершение исследований по применению ДЭМ к вопросу о представлений целых чисел произвольной изотропной тернарной квадратичной формой; 2) исследование новых приложений ДЭМ в получении результатов, относящихся к арифметике бинарных квадратичных форм.

Общая методика выполнения исследований

В работе применяется матричный вариант ДЭМ.

Научная новизна

В работе имеются следующие новые научные результаты:

1. Получены эргодическая теорема и теорема перемешивания для потоков целых точек на изотропных гиперболоидах общего вида.
   
2. Получены асимптотические формулы для числа целых точек на изотропных гиперболоидах как по областям на них, так и по классам вычетов по заданному модулю, обобщающие ранее известные результаты в полном объеме.
   
3. С помощью ДЭМ получены новые асимптотические формулы для числа классов бинарных квадратичных форм заданного определителя с условием делимости первых коэффициентов на заданное число.
   
4. Получены новые асимптотические формулы для гауссовых родов бинарных квадратичных форм с условием делимости их арифметических минимумов.
   

Практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований в аналитической арифметике квадратичных форм, теории квадратичных полей и теории диофантовых уравнений и в ряде других областей математики.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по теории чисел и ее приложениям (Тбилиси, 1985), Всесоюзной школе по конструктивным методам и алгоритмам теории чисел (Минск, 1989), на Международной конференции по алгебре и анализу (Казань, 1994), на I-V международных конференциях по теории чисел (Тула, 1993, 1996, 2001, 2003), на VI международной конференции по теории чисел (Саратов, 2004), на семинарах по теории чисел МГУ.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и занимает, включая библиографию, 189 страниц. Библиография содержит 95 наименований.

Содержание работы

Основными результатами диссертации являются доказательства эргодической теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых примитивных точек в заданных областях на изотропных гиперболоидах общего вида и в классах вычетов по заданному модулю (теоремы 3.3 и 3.4, дающие полное обобщение исследований Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко)¹⁾, относящихся к случаю простейшей формы; доказательство асимптотической равномерной распределенности целых точек как по областям на поверхности изотропного гиперболоида, так и по классам вычетов по заданному модулю (теоремы 3.5 и 3.6), дающие полное решение вопроса о представлении целых изотропными тернарными квадратичными формами общего вида), доказательство эргодических теорем и асимптотической равномерной распределенности классов бинарных квадратичных форм по гауссовым родам (теорема 4.2), доказательство асимптотической формулы для числа классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа (теорема 4.4), доказательство асимптотической формулы для числа классов положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости произведения крайних коэффициентов (теорема 4.5), доказательство асимптотических формул для числа классов бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов на заданное число (теоремы 4.11-4.13, обобщающие и уточняющие соответствующие результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко).

Перейдем теперь к более подробному изложению содержания диссертации.

Первая глава носит предварительный характер и в основном посвящена арифметике матриц второго порядка – аппарату, существенно используемому при приложении ДЭМ к задаче представления целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами.

В §1 этой главы приводятся стандартные сведения из теории бинарных квадратичных форм и алгебры матриц второго порядка и взаимосвязь понятий вектор-матрицы второго порядка и бинарной квадратичной формы, существенно используемая в ДЭМ.

В §2 излагается элементарная теория делимости матриц второго порядка, используемая в остальных главах при применениях ДЭМ.

Из теории делимости матриц наиболее существенным для ДЭМ являются предложение 1.10 о делении с остатком и предложение 1.12, представляющее собой матричный аналог основной теоремы арифметики для целых чисел.

В §3 даются основы теории поворотов вектор-матриц также существенно используемой в гл. III при приложении ДЭМ к простейшей форме

(1)

и к изотропной форме общего вида, определяемой соотношением

(2)

где - некоторое целое число ; - целые числа; .

Теория поворотов вектор-матриц позволяет строить потоки вектор-матриц второго порядка, а значит и потоки целых точек на гиперболических поверхностях.

Частично теория поворотов вектор-матриц была развита Ю.В. Линником в цитированной выше работе и в полном виде в совместной работе [7] А.В. Малышева и автора. В теории поворотов вектор-матриц рассматриваются равенства вида

(3)

где – целые вектор-матрицы одинаковой нормы ; – целая невырожденная матрица, осуществляющая поворот в .

Последовательное выполнение преобразования вида (3) позволяет строить поток вектор-матриц второго порядка нормы m и соответствующих им точек гиперболоида , лежащих в области приведения, причем этот поток состоит из r(m) цепочек вектор-матриц длины s порядка log |m|, где r(m) – число целых точек в области приведения. Цепочки (траектории) потока целых примитивных точек гиперболоида можно разделить на две категории: «хорошие» цепочки (траектории), обладающие свойством эргодичности, приводящие к асимптотическому равномерному распределению целых точек на гиперболоиде и «плохие» цепочки, которых мало и оценивается o(r(m)) (эта взаимосвязь подробно изложена в §1, главы II на модельном примере в случае целых точек на сфере).

Наконец, в §4 гл. I приводится, полученное с помощью асимптотической формулы Е.В. Подсыпанина¹⁾ предложение о делимости матриц большой нормы, используемое в гл. III и IV.

Глава II диссертации относится уже к ДЭМ и состоит из четырех параграфов.

В §1 рассматривается идея ДЭМ на модельном примере, относящемся к случаю примитивных представлений целых чисел суммой трех квадратов.

В гл. II (§§2, 3) изложены различные варианты ключевой леммы ДЭМ для вектор-матриц второго порядка, используемые при получении основных результатов гл. III и IV. Ключевая лемма, являющаяся центральной частью ДЭМ, ведет свое начало с замечательной работы Ю.В. Линника [9], где были заложены основы этого метода (и где, по-существу, доказан ослабленный вариант этой леммы для кватернионов).

Первоначальный вариант доказательства ключевой леммы ДЭМ, восходящий к идее Ю.В. Линника [9], использован в монографии [12] к кватернионам (случай сферы) и к матрицам второго порядка (случай двуполостного и однополостного гиперболоидов), причем в последнем случае возникли затруднения, которые были преодолены Б.Ф. Скубенко своей теоремой о циклах неопределенных вектор-матриц второго порядка.

Другой подход, использующий элементарные эргодические соображения, намечен Б.М. Бредихиным и Ю.В. Линником¹⁾ для изучения асимптотической геометрии решений уравнений Харди-Литтлвуда p+x²+y²=m, где p пробегает последовательность простых чисел.

В развитие ДЭМ дальнейший вклад внес также немецкий математик М.Петерс²⁾, получивший оценки для числа представлений чисел положительными тернарными квадратичными формами общего вида.

Более завершенные исследования по применению ДЭМ к вполне положительным тернарным квадратичным формам в случае алгебраического поля проведены Ю.Г. Тетериным³⁾.

После появления работы А.И. Виноградова и Ю.В. Линника⁴⁾ появилась возможность дать другой вариант доказательства ключевой леммы ДЭМ. А именно А.В. Малышевым предложено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для кватернионов, не использующее теории поворотов Б.А. Венкова. Новый вариант ключевой леммы для кватернионов был использован в совместной работе автора и А.В. Малышева [8].

В дальнейшем автором [6] (см. гл. II, §2, предложение 2.1) доказана ключевая лемма ДЭМ для вектор-матриц второго порядка положительной нормы, используемая нами в гл. IV.

В §2 гл. II рассматривается также вариант ключевой леммы ДЭМ для вектор-матриц положительной нормы, который наиболее удобен при оценке остаточных членов в эргодических теоремах, а также в теоремах равномерного распределения для целых точек на двуполостных гиперболоидах (см. [16]).

Пусть , , –положительные функции аргумента с условием

при , , – вещественные постоянные. Следующее утверждение будем называть ключевой леммой ДЭМ типа .

Утверждение. . Пусть в кольце целых матриц второго порядка выполнены матричные равенства

, (4)

где – целые вектор-матрицы нормы , и пусть выполнены условия

, (5)

НОД, (6)

, (7)

где - число целых приведенных примитивных вектор-матриц нормы , – число неассоциированных справа матриц нормы .

Обозначим через w число неассоциированных справа матриц в равенствах (4). Тогда

, (8)

где постоянные, входящие в оценку (8), зависят только от и постоянных, входящих в оценки (5)–(7).

Для оценки остаточных членов в получающихся асимптотических формулах необходимо привлекать некоторые гипотезы о поведении L-функции Дирихле, существенно более слабые, чем расширенная гипотеза Римана. Отметим, что исследования Ю.В. Линника, Б.Ф. Скубенко и Е.П. Голубевой¹⁾ по проблеме распределения целых точек на гиперболических поверхностях проведены при сходных предположениях. В связи с этим отметим также, что

В.А. Быковский²⁾ с помощью спектральной теории автоморфных функций получил безусловное степенное уточнение остаточного члена в асимптотической формуле для числа целых точек на двуполостном гиперболоиде 4xy-z²=D, когда D делится на достаточно большой квадрат натурального числа.

Пусть - вещественный характер Дирихле, имеющий наименьший модуль среди характеров, для которых

, если НОД, (здесь – символ Кронекера),

есть L-функция Дирихле, определяемая рядом

, .

Обозначим

,

где

,

.

Следующие две гипотезы для L-функции Дирихле используются в гл. IV в доказательствах асимптотических формул с остаточными членами.

Гипотеза (K). При

.

Гипотеза (Y ). В области



комплексной переменной при достаточно больших m нет нулей .

На следующей ключевой лемме типа (см. [16]) основаны доказательства основных результатов гл. IV §2; 5.

Теорема 2.1. (ключевая лемма типа ). Для любых и при и любых , имеет место ключевая лемма типа , где



при этом – некоторая постоянная.

Отметим, что доказательство ключевой леммы для случая даже простейшего однополостного гиперболоида, довольно сложно (см. исследования Б.Ф. Скубенко о циклах приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм), что значительно затрудняло применение ДЭМ к произвольным изотропным тернарным квадратичным формам. Ввиду этого и в связи с полным решением в гл. III с помощью ДЭМ задачи об асимптотике числа представлений целых чисел произвольной целой изотропной тернарной квадратичной формой мы будем использовать новый вариант ключевой леммы для вектор-матриц второго порядка, полученный А.В. Малышевым и Б.М. Широковым¹⁾ и охватывающий оба случая гиперболоидов.

Основной результат главы II представляет собой полученное в [11] уточнение ключевой леммы для вектор-матриц второго порядка.

В кольце целых матриц второго порядка рассматриваем матричные равенства

, (9)

, - все приведенные собственно примитивные вектор-матрицы нормы ; - нечетное число; – целая примитивная матрица, а  – целая матрица.

Тогда имеет место:

Теорема 2.3. (об уточнении ключевой леммы). Пусть среди матричных равенств (9) произвольно выбраны равенств

, (10)

где – целое число с условием

,

причем , где – нечетное число; – целое число, для которого

,

здесь .

Пусть w - число неассоциированных справа матриц , которые встретятся в равенствах (10). Тогда, если

,

где – некоторая постоянная, то при

, (11)

где ; постоянные, входящие в (11), зависят только от и .

Основные результаты диссертации содержатся в гл. III и IV.

Глава III диссертации, состоящая из краткого введения и четырех параграфов и написанная на базе статей [1, 9], посвящена полному решению с помощью ДЭМ задачи об асимптотике числа представлений целых чисел произвольной целой изотропной тернарной квадратичной формой (см. ниже теоремы 3.5 и 3.6).

Первый основной результат диссертации представляет собой эргодическая теорема 3.3 для потоков целых примитивных точек на изотропном гиперболоиде, на которой базируется полное решение вопроса о представлении целых чисел изотропными неопределёнными тернарными квадратичными формами.

Теорема 3.3 даёт полное обобщение результатов Ю.В. Линника (гл. 5 и 6), Б.Ф. Скубенко, А.В. Малышева и самого автора [9]. Сформулируем эту теорему, чтобы сопоставить её с результатами перечисленных авторов.