Geum.ru

Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальной дисциплине 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

Вид материалаПрограмма

Содержание


2. Вопросы для вступительного экзамена
3. Список рекомендуемой литературы
Подобный материал:
ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ

ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

01.01.06 - «Математическая логика, алгебра и теория чисел»


1. СОДЕРЖАНИЕ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА


№
Тема и содержание раздела
Рекомендуемая литература

1
2
3


Пространства и формы: размерность и базис, двойственное пространство, билинейные и квадратичные формы
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1. Основы алгебры. – М.: МЦНМО, 2009.


Линейные операторы: алгебра линейных операторов, инвариантные пространства и собственные векторы, жорданова нормальная форма
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986. – 304 с.; СПб.: «Лань», 2008.


Векторные пространства со скалярным произведением: евклидовы векторные пространства, эрмитовы векторные пространства, линейные операторы на пространствах со скалярным произведением, комплексификация и овеществление, ортогональные многочлены
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – 5-е изд. – М.: «Добросвет»: МЦНМО, 1998. – 320 с.; М.: «Добросвет»: Изд-во «КДУ», 2006


Аффинные и евклидовы точечные пространства: аффинные пространства, евклидовы (точечные пространства), группы и геометрии, пространства с индефинитной метрикой
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – 4-е изд. – М.: Наука, 2005. – 470 с.


Квадрики: квадратичные функции, квадрики в аффинном и евклидовом пространствах, проективные пространства, квадрики в проективном пространстве
Халмош П.Р. Конечномерные векторные пространства. – М.: Мир, 1970. – 264 с; М.−Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика», 2002


Тензоры: начала тензорного исчисления, свёртка, симметризация и альтернирование тензоров, внешняя алгебра
Артин Э. Геометрическая алгебра. – М.: Мир, 1970. − 284 с.


^ 2. ВОПРОСЫ ДЛЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

  1. Теорема о базисе конечномерного векторного пространства над полем.
  2. Закон измерения координат вектора при переходе к новому базису.
  3. Изоморфизм пространств одинаковой конечной размерности.
  4. Теорема о размерности суммы подпространств.
  5. Когда сумма подпространств является прямой?
  6. Теорема о размерности двойственного векторного пространства. Рефлексивность.
  7. Геометрическая интерпретация решений линейной однородной системы.
  8. Задание линейных отображений векторных пространств матрицами. Преобразование координат вектора.
  9. Критерий биективности линейного отображения в терминах ядра (в терминах образа).
  10. Алгебра линейных операторов. Минимальный многочлен. Критерий невырожденности оператора.
  11. Теорема о связи между матрицами линейного оператора в различных базисах.
  12. Инвариантные подпространства: общие факты; теорема об операторе проектирования.
  13. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен.
  14. Теорема о геометрической и алгебраической кратности. Свойства следа оператора.
  15. Теорема о диагонализируемости линейного оператора с простым спектром.
  16. Инвариантные подпространства комплексных и вещественных линейных операторов.
  17. Теорема о приведении комплексного линейного оператора к треугольному виду.
  18. Теорема Гамильтона-Кэли и её следствие.
  19. Формулировка теоремы о ЖНФ матрицы и её следствия (критерий диагонализируемости).
  20. Теорема о ЖНФ нильпотентной матрицы.
  21. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.
  22. Единственность ЖНФ матрицы.
  23. Матрицы билинейной формы в различных базисах.
  24. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Квадратичные формы.
  25. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду.
  26. Однозначная определённость сигнатуры вещественной квадратичной формы (закон инерции).
  27. Метод Якоби приведения невырожденной симметричной билинейной формы.
  28. Положительно определённые формы и матрицы. Критерий Сильвестра.
  29. Канонический вид кососимметричной билинейной формы.
  30. Евклидовы векторные пространства. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия.
  31. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс Грама-Шмидта.
  32. Теорема об ортогональном разложении пространства.
  33. Естественный изоморфизм евклидова векторного пространства и двойственного пространства.
  34. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы. Группы О(n) и SO(n).
  35. Связь между линейными операторами и билинейными формами на евклидовом векторном пространстве. Свойство самосопряжённости.
  36. Теорема о диагонализируемости самосопряжённого оператора.
  37. Приведение квадратичной формы к главным осям. Матричная формулировка.
  38. Теорема о приведении пары квадратичных форм.
  39. Теорема о каноническом виде матрицы ортогонального оператора.
  40. Теорема о представлении невырожденного оператора в виде композиции самосопряжённого и ортогонального операторов.
  41. Эрмитовы формы и пространства. Существование ортонормированного базиса.
  42. Эрмитовы и унитарные линейные операторы. Группы U(n) и SU(n).
  43. Аффинные пространства: изоморфизм; системы координат.
  44. Аффинно-линейные функции и системы линейных уравнений. Задание подпространств.
  45. Теорема о расстоянии от точки до плоскости в евклидовом пространстве.
  46. Метод наименьших квадратов. Понятие об аппроксимации функций. Переопределённые линейные системы.
  47. Теорема о расстоянии между плоскостями евклидова пространства.
  48. Определитель Грама и объём параллелепипеда. Понятие ориентации вещественного пространства.
  49. Разложение аффинного преобразования точечного пространства в произведении сдвига, движения с неподвижной точкой и растяжения во взаимно перпендикулярных направлениях.
  50. Определитель аффинного преобразования как коэффициент изменения ориентированного объёма.
  51. Классификация движений прямой и плоскости.
  52. Классификация движений трёхмерного евклидова пространства.
  53. Квадратичные функции на аффинном пространстве. Свойство центральности.
  54. Приведение квадратичной функции к каноническому виду.
  55. Соответствие между квадриками и квадратичными функциями.
  56. Типы квадрик.
  57. Малый и большой ранг квадрики. Свойства конусов и цилиндров.
  58. Понятие о тензорах. Тензоры валентности ≤ 2.
  59. Координаты тензора. Понятие о свёртке.
  60. Кососимметричные тензоры. Свойства операции альтернирования.
  61. Внешнее умножение и внешняя алгебра.
  62. Базис внешней алгебры.
  63. Внешнее умножение и определители.


^ 3. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


а) основная

  1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1. Основы алгебры. – М.: МЦНМО, 2009.
  2. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986. – 304 с.; СПб.: «Лань», 2008.
  3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – 5-е изд. – М.: «Добросвет»: МЦНМО, 1998. – 320 с.; М.: «Добросвет»: Изд-во «КДУ», 2006
  4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – 4-е изд. – М.: Наука, 2005. – 470 с.
  5. Халмош П.Р. Конечномерные векторные пространства. – М.: Мир, 1970. – 264 с; М.−Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика», 2002
  6. Артин Э. Геометрическая алгебра. – М.: Мир, 1970. − 284 с.


б) дополнительная

  1. Сборник задач по алгебре: В 2-х т. / Под ред. А.И. Кострикина. – М.: Физматлит, 2007. – Т.1: 264 с., Т.2: 168 с.
  2. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. – М.: Наука, 1956. – 304 с.
  3. Фаддев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.: Наука, 1963; СПб.: «Лань», 2002. – 733.
  4. Стренг Г. Линейная алгебра и её применения. – М.: Мир, 1980. – 454 с.
  5. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры.− М.: Наука, 1991.
  6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1976. – 368 с.
  7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2004. – 559 с.
  8. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. – 269 с.