Исследование механических характеристик нелинейно деформируемых сферических мембран

Вид материала

Исследование

Содержание Cоотношения для нелинейно упругих и пластических сферических оболочек.

Подобный материал:

• Определение динамических характеристик диссипативной механической системы на основе, 18.68kb.
• В. П. Николаев, 37.27kb.
• Липиды. Структура биологических мембран, 156.46kb.
• Проекта, 119.13kb.
• Фролова Маргарита Владимировна исследование, 316.1kb.
• Бакалавр по направлению 150400,62 ”Металлургия”, 64.83kb.
• Л. Ю. Грецкая московский инженерно-физический институт (государственный университет), 26.28kb.
• «исследование зависимости периода и частоты механических колебаний от параметров колебательной, 287.7kb.
• Текст лекций «Мировой и российский мембранный рынок». Содержание Раздел Введение. Рынок, 1644.63kb.
• Исследование фрактальных характеристик развития трещиноватости горных пород под действием, 333.68kb.

Исследование механических характеристик нелинейно деформируемых сферических мембран

Н. К. Галимов, С. Н. Якупов

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань, Россия

Введение. Работы, посвященные построению кривых деформирования для оболочечных пленок и мембран, встречаются редко. Еще реже можно найти публикации по экспериментальным работам, касающимся исследования прочности оболочечных пленок и мембран. Работы по изучению механических характеристик оболочечных пленок и мембран с различными дефектами практически отсутствуют.

Следует отметить невозможность исследования механических характеристик оболочечных пленок и мембран сложной структуры стандартным способом одноосного растяжения. Для исследования сложных структур не всегда применимы физические методы, в частности метод с применением индентора, предложенный Оливером-Фарром [1], или модификации метода [2].

Эффективным подходом определения механических характеристик оболочечных образцов является определение интегральных (приведенных) механических характеристик оболочечных пленок и мембран. Для получения достоверных результатов требуется применение синтеза экспериментальных исследований с теоретическими, как это сделано, например, для плоских пленок и мембран [3, 4].

Cоотношения для нелинейно упругих и пластических сферических оболочек. Рассматривается фрагмент круглой в плане сферической мембраны радиусом R, толщиной h₀, половиной угла раствора _, радиусом опорного круга а, закрепленный по контуру и нагруженный внутренним давлением р. Геометрия сегмента сферической оболочки представлена на рис. 1, где Н – высота подъема сегмента оболочки до нагружения, w₀ – прогиб центра оболочки, r – радиальная координата,  – текущая координата, отмеряемая от вертикальной оси.

Уравнения равновесия сферической мембраны, находящейся под действием внутреннего давления р имеют вид [5, 6]:

(1)

где Т₁ и Т₂ – радиальные и кольцевые усилия, К^*₁, К^*₂ – кривизны деформированного купола в радиальном и окружном направлениях, p – внутреннее давление, 0 £ r £ a; А^*₂ – параметр Ляме деформированной мембраны.

Соотношения для компонент деформаций в радиальном окружном направлениях ₁ и ₂ имеют вид

, , , ,

где u – радиальное перемещение; w – прогиб. При этом .

Кривизны купола в случае больших перемещений и деформаций в радиальном и окружном направлениях записываются, согласно работе [6], следующим образом:



Физические соотношения для резиноподобных материалов берутся в предложенном Каппусом [7] виде, учитывающем нелинейную зависимость между радиальными и кольцевыми усилиями и компонентами деформаций:

,

где E и  – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала мембраны, h₀ – первоначальная толщина мембраны.

Физические соотношения для пластических материалов берутся, как и в работе [1], в предложенном А. А. Ильюшиным [8] виде, учитывающем нелинейную зависимость между усилиями и компонентами деформаций , где _i и e_i интенсивности напряжений и деформаций соответственно, А и k – некоторые постоянные, характерные для рассматриваемого материала (0 £ k £1).

Задача по аналогии, как и для плоской мембраны [3], решается в перемещениях методом Бубнова–Галеркина, при этом перемещения задаются в виде , , , , , где c – искомая величина, характеризующая радиальные перемещения в процессе деформации мембраны, w₀ – определяемый из эксперимента прогиб в центре сферической мембраны.

Умножая первое уравнение (1) на величину искомого перемещения u, выполняя процедуру интегрирования по частям для первого члена, интегрируя по всей рассматриваемой области и подставляя в уравнение переменные u и du/d, получим первое уравнение равновесия мембраны

. (2)

Второе уравнение равновесия (1) умножается на величину искомого перемещения w и интегрируется по всей рассматриваемой области. С учетом осевой симметрии задачи второе уравнение равновесия с учетом (2) записывается в виде

. (3)

Из уравнения (2) при заданном w₀ определяется постоянная с, а из уравнения (3) – модуль упругости Е для линейно и нелинейно упругих материалов или, для пластических материалов, условный модуль упругости Е_усл.= d_ide_i , который предполагаем постоянным по поверхности мембраны.

Пример. Далее приведен пример определения условного модуля упругости для пластичного материала. Рассмотрена сферическая мембрана из мягкой пластичной пластмассы со следующими параметрами: Н = 25,6 мм, а = 36 мм, h = 1,373 мм,   . На рис. 2 и 3 приведены зависимости «давление Р(МПа) – прогиб w₀ (мм)» и «условный модуль упругости E (МПа ) – деформация », соответственно. Из рис. 3 видно, что уже при относительно малых деформациях наблюдается существенное падение условного модуля упругости, а при деформациях более 0,01 падение не столь значительно.




Рис. 2 Рис. 3


Литература

1. Oliver W., Pharr G. J. Mater. Res. Soc. Symp. Proc. – 1997. – 473. – 57.

2. Шугуров А.Р., Панин А.В., Оскомов К.В. Особенности определения механических характеристик тонких пленок методом наноиндентирования // Физика твердого тела. – 2008. – Т. 50. – Вып. 6. – С.1007–1012.

3. Якупов Н.М., Галимов Н.К., Леонтьев А.А. Экспериментально-теоретический метод исследования прочности полимерных пленок // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2000. – Т. 6. – № 2. – С. 238–243.

4. Якупов Н.М., Якупов С.Н. Методы расчета пленочных элементов конструкций: Учебное пособие. – Казань: КГАСУ, 2007. –117 с.

5. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. – Казань: Таткнигоиздат, 1957. – 431 с.

6. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях // ПММ. – Т. XV. – Вып. 6. – 1951. – С. 723–742.

7. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. Конструирование и расчет сооружений из тросов, сеток и мембран. – М.: Изд-во литературы по строительству. 1967. – 320 с.

8. Ильюшин А.А. Пластичность. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.
Рис. 3. Зависимость «приведенный модуль упругости – деформация»

Рис. 2. Экспементальная зависимость «давление - прогиб»

Рис. 1. Геометрия сегмента сферической оболочки