Программа дисциплины «Динамические системы» Направление
| Вид материала | Программа дисциплины |
- Рабочая программа дисциплины «Дискретные динамические системы», 110.59kb.
- 14. Лекция: Позиционно-силовое управление в системе робота-станка, 113.23kb.
- Рабочая программа дисциплины «Динамические системы» од. А. 08; цикл од. А. 00 «Дисциплины, 126.64kb.
- Программа дисциплины «вычислительная математика» Индекс дисциплины по учебному плану:, 550.42kb.
- Рабочая программа дисциплины «Интегрированные системы проектирования и управления», 208.14kb.
- Рабочая программа дисциплины «Вычислительные машины, системы и сети» Направление подготовки, 231.13kb.
- Программа дисциплины «Операционные среды, системы и оболочки», 226.37kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины «Системы коммутации» Направление подготовки, 204.68kb.
- Программа дисциплины «Информационная безопасность и защита информации» Направление, 280.62kb.
- Программа дисциплины «информационные сети» Индекс дисциплины по учебному плану: опд., 123.28kb.
Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики
Программа дисциплины
«Динамические системы»
| Направление: | 010100.68 «Математика» |
| Подготовка: | магистр |
| Форма обучения: | очная |
Автор программы: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман
| Рекомендовано | | |
| секцией УМС по математике | | |
| Председатель | | |
| _____________________________________ | | |
| «___» ________________________2009 г. | | |
| | | |
| | | |
| Утверждена УС | | Одобрена на заседании |
| факультета математики | | кафедры геометрии и топологии |
| Ученый секретарь доцент | | Зав. кафедрой, академик |
| _________________________Ю.М.Бурман | | _______________________В.А.Васильев |
| «___» ________________________2008 г. | | «___» ______________________2008 г. |
Москва
2008
Рабочая программа дисциплины «Динамические системы» [Текст]/Сост. Ю.М.Бурман; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман (burman@mccme.ru)
| © | Ю.М.Бурман, 2008. |
| © | Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008. |
Тематический план учебной дисциплины
| № | Название темы | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоя-тельная работа | |
| Лекции | Семинарские занятия | ||||
| 1 | Динамические системы с дискретным временем. | 28 | 4 | 4 | 20 |
| 2 | Динамические системы с непрерывным временем. | 24 | 3 | 3 | 18 |
| 3 | Динамические системы с комплексным временем. | 28 | 4 | 4 | 20 |
| 4 | Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана. | 28 | 4 | 4 | 20 |
| Итого | 108 | 15 | 15 | 78 | |
Базовые учебники
| | А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005 |
| | А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000 |
| | Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000. |
Формы контроля
Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.
Итоговый контроль: письменный экзамен (2 модуль), 3 часа.
Итоговая оценка
-
Формы работы
Вклад в итоговую оценку (%)
Домашние задания
20
Контрольная работа
20
Зачет
30
Экзамен
30
Содержание программы
Тема 1. Динамические системы с дискретным временем.
Примеры: перекладывание отрезков, теорема Оселедеца-Кина. Периодические точки отображений: порядок Шарковского, классификация периодических точек диффеоморфизмов окружности. Локальная динамика ростков z -> z+zp+... Модули Экалля-Воронина. Топологическая и аналитическая классификации.
Основная литература
1. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005
Дополнительная литература
1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.
Тема 2. Динамические системы с непрерывным временем
Теорема Пуанкаре о возвращении. Гомоклинические траектории и подкова Смейла. Устойчивость динамической системы и показатели Ляпунова. Коцикл Концевича-Зорича. Понятие о КАМ-теории.
Основная литература
- А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005
Дополнительная литература
- Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.
Тема 3. Динамические системы с комплексным временем
Фуксовы дифференциальные уравнения. Структура пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной и фуксовой особой точки. Основы теории голоморфных слоений.
Основная литература
- А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000
- Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000.
Дополнительная литература
1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.
Тема 4. Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана.
Соотношение Фукса. Восстановление системы уравнений по монодромии. Проблема Римана-Гильберта.
Основная литература
- А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000
Дополнительная литература
1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.
2. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.
Тематика заданий по различным формам контроля
Вариант контрольной работы
- Обозначим P вероятностную меру на множестве слов из n символов 0 и 1, при которой вероятность одноточечного множества равна 1/2n. Пусть Wk(n) – множество, слов, содержащих ровно k единиц. Пусть a > 0 фиксировано, а |k/n – ½| < a. Докажите, что найдется число t < 1 такое, что при всех достаточно больших n имеем P(Wk(n)) < tn.
- Докажите, что у каждого неминимального перекладывания отрезков существует инвариантное множество, являющееся объединением конечного числа интервалов.
- Докажите, что при отображении подковы Смейла множество периодических точек с заданным периодом p дискретно.
- Приведите пример двумерного слоения на четырехмерном торе с ненулевым классом Годбийона-Вея.
Вариант письменного экзамена
- Пусть перекладывание отрезков таково, что при его итерациях точки разрыва никогда не переходят в точки разрыва. Докажите, что перекладывание минимально и не имеет периодических точек.
- На трехмерной сфере задано векторное поле. Докажите, что плоскости, ортогональные к этому слоению относительно стандартной римановой метрики, образуют неинтегрируемое распределение.
- На CP2 рассмотрим стандартную симплектическую структуру и гамильтонову систему с гамильтонианом H(u:v:w) = v/u. На каких уровнях гамильтониана система имеет периодические траектории?
- Пусть фуксово дифференциальное уравнение второго порядка имеет только однозначные решения. Предположим, что особыми точками уравнения являются z1, z2 и бесконечность, с экспонентами (a,b), (c+1,c) и (a,b) соответственно. Докажите, что такое уравнение единственно.
Автор программы
доцент
Ю.М.Бурман