Программа дисциплины «Динамические системы» Направление

Вид материалаПрограмма дисциплины

Содержание


Форма обучения
Название темы
Формы контроля
Итоговая оценка
Основная литература
Дополнительная литература
Основная литература
Дополнительная литература
Дополнительная литература
Дополнительная литература
Вариант письменного экзамена
Подобный материал:
Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики



Программа дисциплины

«Динамические системы»


Направление:

010100.68 «Математика»

Подготовка:

магистр

Форма обучения:

очная


Автор программы: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман



Рекомендовано







секцией УМС по математике







Председатель







_____________________________________







«___» ________________________2009 г.

























Утверждена УС




Одобрена на заседании

факультета математики




кафедры геометрии и топологии

Ученый секретарь доцент




Зав. кафедрой, академик


_________________________Ю.М.Бурман





_______________________В.А.Васильев

«___» ________________________2008 г.




«___» ______________________2008 г.



Москва

2008


Рабочая программа дисциплины «Динамические системы» [Текст]/Сост. Ю.М.Бурман; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.


Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».


Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».


Составитель: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман (burman@mccme.ru)



©

Ю.М.Бурман, 2008.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.


Тематический план учебной дисциплины


Название темы


Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя-тельная

работа

Лекции

Семинарские занятия

1

Динамические системы с дискретным временем.

28

4

4

20

2

Динамические системы с непрерывным временем.

24

3

3

18

3

Динамические системы с комплексным временем.

28

4

4

20

4

Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана.

28

4

4

20

Итого

108

15

15

78


Базовые учебники



А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005


А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000


Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000.



Формы контроля



Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.

Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.

Итоговый контроль: письменный экзамен (2 модуль), 3 часа.

Итоговая оценка





Формы работы

Вклад в итоговую оценку (%)

Домашние задания

20

Контрольная работа

20

Зачет

30

Экзамен

30


Содержание программы


Тема 1. Динамические системы с дискретным временем.


Примеры: перекладывание отрезков, теорема Оселедеца-Кина. Периодические точки отображений: порядок Шарковского, классификация периодических точек диффеоморфизмов окружности. Локальная динамика ростков z -> z+zp+... Модули Экалля-Воронина. Топологическая и аналитическая классификации.

Основная литература


1. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005

Дополнительная литература


1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.


Тема 2. Динамические системы с непрерывным временем


Теорема Пуанкаре о возвращении. Гомоклинические траектории и подкова Смейла. Устойчивость динамической системы и показатели Ляпунова. Коцикл Концевича-Зорича. Понятие о КАМ-теории.

Основная литература

  1. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005



Дополнительная литература

  1. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.


Тема 3. Динамические системы с комплексным временем


Фуксовы дифференциальные уравнения. Структура пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной и фуксовой особой точки. Основы теории голоморфных слоений.

Основная литература
  1. А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000
  2. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000.

Дополнительная литература


1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.


Тема 4. Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана.


Соотношение Фукса. Восстановление системы уравнений по монодромии. Проблема Римана-Гильберта.


Основная литература

  1. А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000



Дополнительная литература




1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.


Тематика заданий по различным формам контроля

Вариант контрольной работы
  1. Обозначим P вероятностную меру на множестве слов из n символов 0 и 1, при которой вероятность одноточечного множества равна 1/2n. Пусть Wk(n) – множество, слов, содержащих ровно k единиц. Пусть a > 0 фиксировано, а |k/n – ½| < a. Докажите, что найдется число t < 1 такое, что при всех достаточно больших n имеем P(Wk(n)) < tn.
  2. Докажите, что у каждого неминимального перекладывания отрезков существует инвариантное множество, являющееся объединением конечного числа интервалов.
  3. Докажите, что при отображении подковы Смейла множество периодических точек с заданным периодом p дискретно.
  4. Приведите пример двумерного слоения на четырехмерном торе с ненулевым классом Годбийона-Вея.



Вариант письменного экзамена
  1. Пусть перекладывание отрезков таково, что при его итерациях точки разрыва никогда не переходят в точки разрыва. Докажите, что перекладывание минимально и не имеет периодических точек.
  2. На трехмерной сфере задано векторное поле. Докажите, что плоскости, ортогональные к этому слоению относительно стандартной римановой метрики, образуют неинтегрируемое распределение.
  3. На CP2 рассмотрим стандартную симплектическую структуру и гамильтонову систему с гамильтонианом H(u:v:w) = v/u. На каких уровнях гамильтониана система имеет периодические траектории?
  4. Пусть фуксово дифференциальное уравнение второго порядка имеет только однозначные решения. Предположим, что особыми точками уравнения являются z1, z2 и бесконечность, с экспонентами (a,b), (c+1,c) и (a,b) соответственно. Докажите, что такое уравнение единственно.



Автор программы

доцент

Ю.М.Бурман