Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070100 − фізика Затверджена на засіданні кафедри, протокол №6 від 19. 05. 11
| Вид материала | Документы |
- Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070100 − фізика Затверджена, 111.59kb.
- Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070204 прикладна фізика Затверджена, 219.58kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри прикладної соціології Протокол № від, 271.94kb.
- Робоча навчальна програма з курсу „ політологія острог Робоча програма затверджена, 509.66kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри прикладної соціології Протокол № від, 385.29kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри (циклової, предметної комісії) Протокол, 261.72kb.
- Наскрізна програма практики студентів спеціальності 090615 090615) системи управління, 180.86kb.
- Робоча програма учбової дисципліни «теорія управління» для спеціальності 03060101 «Менеджмент, 484.21kb.
- Робоча навчальна програма з курсу "Актуальні питання перекладознавства" для спеціальності, 187.5kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри української преси Протокол № від, 268.91kb.
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Радіофізичний факультет
Кафедра математики і теоретичної радіофізики
Укладач професор Юрачківський А.П.
Теорія випадкових процесів
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності 6.070100 − фізика
Затверджена на засіданні кафедри, протокол № 6 від 19.05.11
Завідувач кафедри Висоцький В.І.
Декан факультету Анісімов І.О.
КИЇВ – 2011
Робоча навчальна програма з дисципліни
Теорія випадкових процесів
Укладач доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.
Лектор доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.
Погоджено
з науково-методичною комісією
«____» ______________ 2011
___________________________
Підпис голови НМК факультету
Вступ
Теорія випадкових процесів – спеціальний курс для спеціалізації теоретична фізика спеціальності фізика. Читається в сьомому семестрі в обсязі 2 кредити (лекції – 34 год., самостійна робота – 7 год.). Закінчується заліком.
Мета і завдання навчальної дисципліни
Навчити студента будувати і досліджувати математичні моделі стохастичних за своєю природою фізичних явищ.
Предмет навчальної дисципліни
Випадкові процеси і пов’язані з ними детерміновані диференціальні рівняння.
Вимоги до знань і вмінь
Знання у фундаментальних науках відіграють допоміжну, обслуговуючу роль. Головне – здатність робити власні висновки. Студент повинен: володіти поняттями умовного математичного сподівання, нормального розподілу, гаусового процесу, процесу з незалежними приростами, марковського процесу, стаціонарного (як у вузькому, так і в широкому розумінні) процесу; вміти записувати рівняння (або систему рівнянь) Колмогорова. для перехідних імовірностей (або функцій, що виражаються через них) марковського процесу, знаходити кореляційну функцію і спектральну густину слабко стаціонарного процесу.
Місце навчальної дисципліни в структурно-логічній схемі спеціальності
Теорія випадкових процесів відіграє важливу роль у тих розділах фізики, де враховуються стохастичні аспекти фізичних явищ. Апарат цієї теорії використовується в ряді спеціальних курсів.
Система оцінювання
Результати навчання оцінюються за модульно-рейтинговою системою. Курс складається з двох змістових модулів (ЗМ). Підсумкова оцінка (ПО) розраховується за накопичувальною системою.
| Максимальна кількість балів | ЗМ 1 | ЗМ 2 | Залік | ПО |
| За виконання завдань СРС | 13 | 27 | 60 | 100 |
ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛІНИ
Змістовий Модуль 1. Додаткові глави теорії імовірностей
| № теми № темии | Назва теми | кількість годин | ||||
Лекції | Практичні | Самостійна робота | Контр. модульна робота | |||
| 1 | Підготовчі поняття теорії множин і теорії міри. Означення випадкової функції та випадкового процесу | 1 | | 1 | | |
| 2 | Загальне поняття умовного сподівання | 5 | | 5 | | |
| 3 | Багатовимірний нормальний розподіл | 2 | | 2 | | |
| 4 | Базові поняття і факти теорії випадкових процесів | 3 | | 3 | | |
| | Всього | 11 | | 11 | | |
Змістовий Модуль 2. Основні класи випадкових процесів
| 5 | Процеси з незалежними приростами | 5 | | 5 | |
| 6 | Марковські процеси | 11 | | 11 | |
| 7 | Стаціонарні процеси | 7 | | 7 | |
| | | | | | 2 |
| | Всього | 23 | | 23 | 2 |
ТЕМАТИЧНО-ЗМІСТОВА ЧАСТИНА КУРСУ
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1
Лекція 1. Означення: вимірного простору, добутку вимірних просторів, випадкового елемента і розподілу його, випадкової функції, випадкового процесу; умовного сподівання відносно дискретної
-алгебри. Лекція 2. Означення і властивості умовного сподівання відносно довільної
-алгебри. Умовне сподівання як часткове усереднення. Загальна формула повної імовірності.Лекція 3. Умовне сподівання відносно випадкової величини. Умовний розподіл однієї компоненти випадкового вектора відносно іншої. Приклади обчислення і застосування умовних сподівань і розподілів.
Лекція 4. Означення одновимірного нормального розподілу через густину і обчислення його характеристичної функції. Означення багатовимірного нормального розподілу через характеристичну функцію і обчислення його густини. Властивості нормального розподілу.
Лекція 5. Означення: системи скінченновимірних розподілів, коваріаційної та кореляційної функцій, стохастичної неперервності і стохастичної еквівалентності. Теорема Колмогорова про узгоджені розподіли.
Лекція 6. Гаусові випадкові функції. Достатні ознаки неперервності випадкових процесів у термінах моментих функцій. Процеси з незалежними приростами (ПНП). Загальний вигляд характеристичної функції стохастично неперервного однорідного ПНП.
Питання, винесені на самостійну роботу
- Вимірні простори, міри на добутках просторів [1, гл. II, § 1 − 2], [2, гл. I].
- Загальне поняття умовного сподівання [1, гл. II, § 3].
- Багатовимірний нормальний розподіл [1, гл. I, § 2], [4, т. 2, гл. III, § 6], [5, ч. 1, § 5].
- Побудова випадкового процесу за його скінченновимірними розподілами. Ознаки неперервності з імовірністю 1 [1, гл. II, § 2], [1, гл. IV, § 5], [3, § 5.1, § 5.2].
Контрольні запитання
Означення: вимірного відображення, випадкового елемента. випадкової функції, нормального розподілу. Означення і властивості умовного сподівання відносно σ-алгебри.
Означення: системи скінченновимірних розподілів, стохастичної неперервності, коваріаційної та кореляційної функцій, гаусової випадкової функції. Теореми: про узгоджені розподіли; про достатню умову неперервності випадкового процесу; про задання скінченновимірних розподілів гаусової випадкової функції; про достатню умову неперервності гаусового процесу.
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2
Лекція 7. Однорідний вінерів процес. Загальний вінерів процес.
Лекція 8. Пуассонів процес. Задачі про ПНП.
Лекція 9. Три означення марковського процесу і доведення еквівалентності їх. Перехідна функція марковського процесу. Рівняння Чепмена – Колмогорова.
Лекція 10. Еволюційні та інфінітезимальні оператори. Зворотне і пряме рівняння Колмогорова.
Лекція 11. Ланцюги Маркова з неперервним часом. Розподіл часу перебування в стані, незалежність часу перебування в поточному стані і наступного за ним стану.
Лекція 12. Рівняння Колмогорова для перехідних імовірностей і одновимірних розподілів ланцюга Маркова з неперервним часом.
Лекція 13. Задачі про ланцюги Маркова. Означення дифузійного процесу і обчислення його зворотного і прямого інфінітезимальних операторів. Рівняння Фоккера − Планка.
Лекція 14. Детерміновані динамічні системи як марковські процеси. Картини руху у формах Гамільтона і Ліувіля в статистичній механіці як окремі випадки зворотного і прямого рівнянь Колмогорова. Зв’язок марковських процесів із рівняннями математичної фізики. Формула Фейнмана − Каца. Означення строго стаціонарного випадкового процесу. Формулювання строгої стаціонарності в термінах зберігаючич міру перетворень (ендоморфізмів простору з мірою).
Лекція 15. Теорема Ліувіля про необхідну і достатню умову строгої стаціонарності марковського процесу, еволюція якого задається детермінованим диференціальним рівнянням першого порядку на гладкому многовиді з мірою. Індивідуальна ергодична теорема. Поняття інваріантної функції, інваріантної множини, ергодичної (напів)групи ендоморфізмів і ергодичного процесу. Ергодичність послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин. Посилений закон великих чисел.
Лекція 16. Поняття оператора, спряженого до ендоморфізму. Еквівалентне означення строго стаціонарного процесу в термінах функціонального аналізу. Означення слабко стаціонарного процесу в термінах функціонального аналізу. Імовірнісний еквівалент. Ортогональний розклад неперервного в середньоквадратичному слабко стаціонарного випадкового процесу.
Лекція 17. Поняття спетральної функції розподілу і спектральної густини. Теорема Хінчина про кореляційну функцію неперервного в середньоквадратичному слабко стаціонарного випадкового процесу. Задачі про стаціонарні процеси.
Питання, винесені на самостійну роботу
- Теорема Леві − Хінчина про будову стохастично неперервного процесу з незалежними приростами [1, гл. VI, § 5].
- Закон повторного логарифма для вінерового процесу [1, гл. VI, § 5], [2, гл. III, § 11].
- Стрибкові марковські процеси [1, гл. VII, § 2].
- Кінетичне рівняння [7, гл. 5].
- Гіллясті процеси [1, гл. VII, § 5], [5, ч. 2, § 4].
- Прогноз і фільтрація стаціонарних випадкових процесів [1, гл. V, § 6], [2, гл. VII, § 15−16].
Контрольні запитання
Означення: процесу з незалежними приростами, однорідного процесу з незалежними приростами, кумулянти, вінерового і пуассонового процесів.
Теореми: про загальний вигляд характеристичної функції стохастично неперервного однорідного процесу з незалежними приростами, про розподіл загального вінерового процесу.
Означення: марковського процесу, однорідного марковського процесу, перехідної функції, еволюційних операторів, інфінітезимальних операторів, ланцюга Маркова, дифузійного процесу.
Рівняння Чепмена – Колмогорова. Рівняння Колмогорова для ланцюга Маркова і дифузійного процесу. Формула Фейнмана − Каца.
Означення: строго стаціонарного процесу, інваріантної функції, ергодичності, слабко стаціонарного процесу, спектральної функції, спектральної густини.
Індивідуальна ергодична теорема. Ортогональний розклад слабко стаціонарного процесу.
ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ НА ЗАЛІК
Означення і властивості умовного сподівання відносно σ-алгебри. Означення: вимірного відображення, випадкового елемента. випадкової функції.
Означення: системи скінченновимірних розподілів, перенесення міри, стохастичної неперервності, коваріаційної та кореляційної функцій, гаусової випадкової функції. Два основні функціональні простори. Теореми: Колмогорова про достатню умову неперервності випадкового процесу; про задання скінченновимірних розподілів гаусової випадкової функції; про достатню умову неперервності гаусового процесу.
Означення: процесу з незалежними приростами, однорідного процесу з незалежними приростами, кумулянти, однорідного вінерового процесу, загального вінерового процесу, пуассонового процесу (однорідного простого, неоднорідного простого і складеного).
Теореми: про загальний вигляд характеристичної функції стохастично неперервного однорідного процесу з незалежними приростами, про розподіл загального вінерового процесу.
Означення: марковського процесу, однорідного марковського процесу, перехідної функції, еволюційних операторів, інфінітезимальних операторів, ланцюга Маркова, однорідного ланцюга Маркова, дифузійного процесу.
Еквівалентні форми марковської властивості. Рівняння Чепмена – Колмогорова для загального і однорідного марковського процесу. Рівняння Колмогорова: в абстрактній формі, для ланцюга Маркова, для дифузійного процесу (пряме – рівняння Фоккера–Планка), зокрема для гладкої динамічної системи. Формула Фейнмана −Каца.
Означення: строго стаціонарного процесу, ендоморфізму, автоморфізму, (строго) інваріантних функцій і множин, ергодичності, спряженого оператора, слабко стаціонарного процесу, неперервності в середньому квадратичному, спектральної функції, спектральної густини.
Теореми: про зв’язок строго стаціонарних процесів з напівгрупами ендоморфізмів, Біркгофа–Хінчина, Крамера–Лоева, Хінчина.
ЛIТЕРАТУРА
- Гихман И. И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. − 1977.
- Булинский А.В. Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. − 2003.
- Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. − 1975.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. − 1984.
- Розанов Ю. А. Случайные процессы. Краткий курс. − 1979.
- Гардинер К.В. Стохастические методы в естествознании. − 1987.
- Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. − 1990.