Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070100 − фізика Затверджена на засіданні кафедри, протокол №6 від 12. 05. 10
| Вид материала | Документы |
- Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070100 − фізика Затверджена, 117.96kb.
- Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070204 прикладна фізика Затверджена, 219.58kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри прикладної соціології Протокол № від, 271.94kb.
- Робоча навчальна програма з курсу „ політологія острог Робоча програма затверджена, 509.66kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри прикладної соціології Протокол № від, 385.29kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри (циклової, предметної комісії) Протокол, 261.72kb.
- Наскрізна програма практики студентів спеціальності 090615 090615) системи управління, 180.86kb.
- Робоча програма учбової дисципліни «теорія управління» для спеціальності 03060101 «Менеджмент, 484.21kb.
- Робоча навчальна програма з курсу "Актуальні питання перекладознавства" для спеціальності, 187.5kb.
- Робоча програма затверджена на засіданні кафедри української преси Протокол № від, 268.91kb.
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Радіофізичний факультет
Кафедра математики і теоретичної радіофізики
Укладач професор Юрачківський А.П.
Функціональний аналіз
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності 6.070100 − фізика
Затверджена на засіданні кафедри, протокол № 6 від 12.05.10
Завідувач кафедри Висоцький В.І.
Декан факультету Анісімов І.О.
КИЇВ – 2010
Робоча навчальна програма з дисципліни Функціональний аналіз
Укладач доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.
Лектор доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.
Погоджено
з науково-методичною комісією
«____» ______________ 2010
___________________________
Підпис голови НМК факультету
Вступ
Функціональний аналіз – спеціальний курс для спеціалізації теоретичні фізика спеціальності фізика. Читається в шостому семестрі в обсязі 2 кредити (лекції – 34 год., самостійна робота – 34 год.). Закінчується заліком.
Мета і завдання навчальної дисципліни
Навчити студента працювати з лінійними операторами в нескінченновимірних просторах.
Предмет навчальної дисципліни
Лінійні оператори і функціонали в нескінченновимірних нормованих просторах.
Вимоги до знань і вмінь
Знання у фундаментальних науках відіграють допоміжну, обслуговуючу роль. Головне – здатність робити власні висновки. Функціональний аналіз це спосіб мислення. Студент повинен володіти основними поняттями: банахового простору, гільбертового простору, компактного, ермітового, симетричного, істотно симетричного, самоспряженого і унітарного оператора, спектральної міри – і вміти застосовувати основні факти функціонального аналізу (теореми Банаха−Штейнгауза, Гана−Банаха, Ріса−Фреше, Банаха, Гільберта, Гільберта−Шмідта, Стоуна, Гельфанда−Наймарка).
Місце навчальної дисципліни в структурно-логічній схемі спеціальності
Функціональний аналіз є важливою складовою математичного апарату квантової механіки. Використовується в тих навчальних дисциплінах, які спираються на курс квантової механіки.
Система оцінювання
Результати навчання оцінюються за модульно-рейтинговою системою. Курс складається з двох змістових модулів (ЗМ). Підсумкова оцінка (ПО) розраховується за накопичувальною системою.
| Максимальна кількість балів | ЗМ 1 | ЗМ 2 | Залік | ПО |
| За виконання завдань СРС | 20 | 20 | 60 | 100 |
ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛІНИ
Змістовий Модуль 1. Додаткові глави математичного аналізу
| № теми № темии | Назва теми | кількість годин | ||||
Лекції | Практичні | Самостійна робота | Контр. модульна робота | |||
| 1 | Елементи теорії множин | 2 | | | | |
| 2 | Метричні і нормовані простори | 5 | | | | |
| 3 | Елементи загальної топології | 4 | | 8 | | |
| 4 | Абстрактна теорія інтеграла | 5 | | 10 | | |
| | Всього | 16 | | 18 | | |
Змістовий Модуль 2. Лінійні оператори в нормованих просторах
| 5 | Лінійні обмежені оператори в нормованих просторах | 4 | | | |
| 6 | Ермітові оператори в гільбертовому просторі | 5 | | 6 | |
| 7 | Необмежені самоспряжені оператори в гільбертовому просторі | 2 | | 6 | |
| 9 | Унітарні оператори в гільбертовому просторі | 1 | | | |
| 10 | Банахові алгебри | 4 | | | |
| 11 | Узагальнені функції | 2 | | 8 | |
| | Всього | 18 | | 20 | |
ТЕМАТИЧНО-ЗМІСТОВА ЧАСТИНА КУРСУ
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1
Лекція 1. Поняття відношення. Два основні приклади: порядок і еквівалентність. Поняття ґратки. Факторизація. Теоретико-множинне означення функції.
Лекція 2. Означення метричного простору. Приклади. Означення нормованого простору. Приклади.
Лекція 3. Відкриті і замкнуті множини в метричних просторах. Поповнення метричного простору.
Лекція 4. Гільбертові простори. Теореми про проекцію і про ізоморфізм.
Поняття топологічного простору. Неперервні відображення топологічних просторів.
Лекція 5. База топологічного простору. Тихоновський добуток топологічних просторів. Властивості відокремності. Компактність і послідовнісна компактність.
Лекція 6. Властивості передкомпактності (в загальному топологічному просторі) і повної обмеженості (в метричному просторі). Теорема Гаусдорфа про повну обмеженість як необхідну і достатню умову передкомпактності в повному метричному просторі.
Поняття кільця множин, векторної ґратки і міри. Абстрактне означення інтеграла. Зв’язок між мірою на кільці і інтегралом на породженій кільцем векторній ґратці простих функцій.
Лекція 7. Поняття нехтовності. Властивості абстрактного інтеграла. Лебегів інтеграл і його властивості.
Лекція 8. Інтеграл Лебега як границя лебегових інтегральних сум. Теорема про продовжуваність довільного інтеграла на стоуновій ґратці функцій до інтеграла Лебега на породженій нею
-повній насиченій ґратці.Питання, винесені на самостійну роботу
- Топологічні векторні простори [1, гл. III, § 5], [2, гл. IІІ, § 1, 2], [5, гл. 1], [6, гл. ІІ, § 3].
- Простори сумовних функцій [1, гл. VII, § 1, 2], [2, гл. IV, § 3], [4, гл. II, § 3], [6, Дополнение І].
Контрольні запитання
Відношення, порядок, еквівалентність, ґратка − означення і основні приклади.
Метричний і нормований простори − означення і основні приклади. Поняття повного простору і поповнення. Гільбертів простір. Теореми про проекцію і про ізоморфізм.
Топологія, топологічний простір. Бази. Властивості відокремності і компактності. Критерій передкомпактності в повному метричному просторі.
Кільце множин, векторна ґратка − означення і основні приклади. Аксіоматичні означення міри, інтеграла та інтеграла Лебега. Властивості інтеграла Лебега.
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2
Лекція 9. Норма лінійного обмеженого оператора, діючого з одного нормованого простору в інший. Теорема Банаха−Штейнгауза. Лема про збіжність операторного ряду в банаховому просторі. Голоморфні функції від операторів.
Лекція 10. Спряжений простір. Теореми Гана−Банаха і Ріса−Фреше. Поняття спряженого оператора. Теорема Банаха про обернений оператор. Спектр і резольвента. Компактні оператори.
Лекція 11. Ермітові оператори. Теореми про норму і спектр. Функції від ермітових операторів (початок).
Лекція 12. Функції від ермітових операторів (закінчення). Спектральний розклад ермітового оператора (загальний випадок).
Лекція 13. Спектральний розклад компактного ермітового оператора. Необмежені симетричні, зокрема самоспряжені оператори.
Лекція 14. Спектральний розклад самоспряженого оператора. Унітарні оператори. Теорема Стоуна про загальний вигляд однопараметричної групи унітарних операторів.
Лекція 15. Типи алгебр. Властивості резольвенти. Теореми: про спектральний радіус, про непорожність спектра, про тривіальність поняття банахового поля. Леми про ідеали. Фактор-алгебри.
Лекція 16. Теорема Гельфанда про зв’язок між максимальним ідеалами і характерами. Перетворення Гельфанда. Теореми Гельфанда−Наймарка про представлення
-алгебри.Лекція 17. Простори основних і узагальнених функцій. Дії над узагальненими функціями.
Питання, винесені на самостійну роботу
- Застосування функціонального аналізу до теорії інтегральних рівнянь
[1, гл. IX, § 2], [2, гл. XIII, § 1, 5, 6], [4, гл. IV, § 2].
- Перетворення Келі симетричного оператора [3, гл. V, § 1, п. 4], [4, гл. VIII, § 3], [5, гл. 13], [6, гл. VII, § 7].
- Перетворення Фур’є узагальнених функцій [1, гл. VIII, § 8], [3, гл. IV, § 2, п. 4], [6, гл. 7].
Контрольні запитання
Означення ермітового і додатного оператора. Теореми про норму і спектр ермітового оператора. Функції від ермітових операторів.
Проектори: означення і зв’язок з операцією проектування на підпростір.
Спектральний розклад ермітового оператора в загальному випадку і конкретизація його для компактного оператора.
Неможливість забезпечити комутаційні співвідношення квантової механіки в класі обмежених операторів. Необмежені симетричні і самоспряжені оператори. Критерії самоспряженості та істотної самоспряженості. Спектральний розклад загального самоспряженого оператора.
Означення ізометричного і унітарного оператора. Унітарно еквівалентні оператори. Загальний вигляд однопараметричної групи унітарних операторів.
Означення алгебри. Основні типи алгебр. Функційні та операторні представлення алгебр.
ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ НА ЗАЛІК
Означення: ізометрії, пристайної точки, замикання, внутрішності, щільної множини, ніде не щільної множини, межі, сепарабельності, фундаментальної послідовності, повного метричного простору, банахового простору, гільбертового простору, поповнення.
Означення: топології, топологічного простору, тихоновської топології, компактного і зліченно-компактного топологічного простору, передкомпактної множини, топологічного векторного простору. Теорема Гаусдорфа.
Означення: лінеала, міри, інтеграла, І-нехтовності і похідних понять, стоунового лінеала, насиченості, лебегового лінеала, інтеграла Лебега.
Теореми Фату, Лебега, Беппо Леві. Означення: норми оператора, спряженого, ермітово-спряженого, оборотного оператора, регулярного числа, спектра. Теореми: Банаха – Штейнгауза, Гана – Банаха, Ріса – Фреше, Банаха.
Означення: ермітового оператора, проектора, спектральної функції розподілу, компактного, замкнутого, спряженого, симетричного, самоспряженого, істотно самоспряженого, ізометричного оператора, унітарної еквівалентності, однопараметричної групи унітарних операторів, унітарного оператора. Теореми: Гільберта, Гільберта – Шмідта, Стоуна.
Означення: алгебри, інволюції, банахової алгебри, C*-алгебри, характера, спектрального радіуса, ідеалів, перетвору і перетворення Гельфанда. Теореми: про спектральний радіус, Гельфанда – Мазура, Гельфанда, Стоуна, Гельфанда – Наймарка.
ЛIТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 1989.
2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 1977.
3. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. 1988.
4. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. 1979.
5. Рудин У. Функциональный анализ. 1975.
6. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. 1965.
7. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. 1990.