Понятие множества

Вид материала

Семинар

Содержание 2) Несостоятельность (противоречие) или непонимание (ошибка)?

Подобный материал:

• Вопросы к экзамену «дискретная математика» (пм-91), 26.54kb.
• Тема №1. Множества и операции над ними, 74.19kb.
• Лекция Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств, 353.91kb.
• Α Множество всех подмножеств данного множества называется булеаном данного множества., 83.26kb.
• Введение в математическую логику, 29.8kb.
• Конспект лекций по курсу "Алгоритмические языки и программирование". Тема "Множества", 120.08kb.
• Для кафедр пм и к вопросы по курсу «Дискретная математика». 19. 05. 2010г, 52.29kb.
• Линия состоит из множества точек, плоскость из бесконечного множества линий; книга, 55.53kb.
• Программа по курсу: Основы выпуклого анализа и линейного программирования по направлению:, 31.8kb.
• Появление множества новых взаимосвязей и взаимодействий привело к образованию новой, 422.65kb.

Хао Ван

Понятие множества¹


Руководитель семинаров по философии: доц. С.Л. Катречко

Перевел: асп. каф. диф.геометрии МГУ К. Бородин

Научный руководитель: д.ф.-м. наук, проф. И.Г.Сергеев


1. Итеративное (максимально) понятие множества.


Множество является собранием описанных ранее объектов; множество является определенным, когда оно определено для любого х, в независимости от того, принадлежит ли х ему или нет. Объекты, принадлежащие множеству, являются его элементами. Множество является единичным объектом, созданным собиранием этих объектов вместе. Составляющими могут быть объекты любой природы: растения, животные, фотоны, числа, функции, множества и так далее.

Следуя итеративному подходу, множество – это нечто, получаемое из неких начальных объектов (таких как пустое множество, или целые числа, или индивидуальности, или некие другие хорошо определяемые элементы) итеративным применением ценной операции «отождествления», которая позволяет собирать что-то из совокупности (в частности, множеств) или какой-то её части в множество. Этот процесс содержит трансфинитные операции. Например, совокупность множеств, полученная конечным числом операции, сама полагается множеством.

Мы понимаем, что этот подход достаточно подходяще выглядит после некоторого размышления, и в некоторых случаях только значимого размышления о том, что обычные аксиомы теории множеств являются правдивыми для (или в отношении) данного подхода. И о том, что нужно быть готовым продлить эти аксиомы, внося дополнительные аксиомы и осознавая некоторые из них истинными (или с целью этого достигнуть) при этом подходе.

Итеративный подход вводит по крайней мере 4 трудные идеи: идею выбора, идею собрания в единое, идею разделения или создания подмножеств и идею итерации. Идея итерации вводит потенциальное продолжение до некой стадии (как в разобранном случае порядковых числительных) и добавляет новый элемент в категорию «данные» (множества, полученные на или до некой стадии, считаются данными). Идея поэлементной теории не трудна в рамках теории множеств, поскольку в данном случае мы не интересуемся сущностью объекта, оставляя этот вопрос открытым. Мы не претендуем на определение, чем же являются элементы.

Это базовая суть реальности – множество вещей в ней. Если множество объектов может быть объединено вместе, мы приходим к множеству. Например, в этой комнате два стола. Мы готовы одновременно рассматривать их по отдельности и как единое целое. Это можно сделать, осознавая их, или думая о них, или смотря на них не иначе как стоящие друг за другом, или именно в это конкретное время. Таким образом, рассматривание данных конкретных объектов вместе предполагает потерю той ссылки, которая относит нас к каждому из них в отдельности в нашей интуиции или переменному объекту, которым может быть любой из них. Обращая внимание на то, что наш ум может менее осознанно обращать наше внимание на некоторые особенности переменного объекта, может быть принято, что мы не рассматриваем некоторые классы объектов, при этом более конкретизируем наш переменный объект. При этом мы можем попасть под влияние мыслей о материализации полученного класса и появлением четких уже осознанных классов, получающихся под действием нашей собственной интуиции. Может быть замечено, что Кантор так же обсуждал эти вопросы, когда рассматривал феномен в связи с переходом от потенциальной бесконечности к фактической бесконечности.

Мы можем сформировать множество из совокупности только тогда, когда уровень разнообразия данной совокупности находится в пределах нашего интуитивного понимания. Это критерий для определения является ли данная совокупность множеством или нет. Естественный путь для получения такой ранжировки — использование интуитивные принципы (определение свойств). Интуитивный подход, в отличие от абстрактного подхода, такого, каким он представлен при рассмотрении умственных болезней или дифференцируемых многообразий, дает нам возможность рассматривать (или просматривать или пробегать или собирать воедино), при идеальной чувственности, все объекты общности, создавая при этом расширение нашего понятия. Отсюда, каждое интуитивное понятие определяет уровень интуитивности разнообразия и вместе с этим множество.

Рассматривание бесконечных сущностей приводит нас в инфинитной интуиции, которая является идеализацией. Строго говоря, мы можем только пробегать конечные значения (или, возможно, значения, довольно лимитированных размеров). Эта идеализация имеет первоисточники для роста изнутри. Например, не только бесконечномерность множества натуральных чисел берется данной изначально, но и сам процесс выбора из этого множества всех натуральных чисел. И вместе с этим все возможные способы отбрасывания чисел в процессе. Так мы приходит к новой идеализации (множество всех множеств, например) и так продолжаем дальше.

Понятие всех подмножеств обычно непонятно для понимания, поскольку мы рассматриваем все возможности вне зависимости от того, можем ли мы определить каждое словами; например, если существует 210 подмножеств у множества из 10 элементов, мы понимаем, что у множества из a элементов 2a подмножеств, это число является конечным кардинальным числом. В частности, мы не задумываемся из чего образованно это множество, например, импредикативным определением или нет. Это чувство, когда каждые отдельные шаги итерации являются «максимумом». Возможно получения других итеративных понятий, путем ограничения операции перехода к следующему уровню, один обычный пример на эту тему – существование построенных множеств. Максимальный (итеративный) метод обсуждался Бернайсом (1935) под именем платонизм. Слабейшие «платонистические» предположения представленные арифметикой заключаются в полноте целых чисел. Но анализ не согласуется с этой современной разновидностью платонизма; он бросает тень на неё в связи с большей строгастью в отношение следующих идей: множество чисел, последовательность чисел и функция. Эти идеи используются при квази-комбинаторной чувственности, в связи с которой я имею ввиду чувственность перехода от бесконечности к конечному. В теориях Кантора, платонистические идеи простираются сильно после них в теории действительных чисел. Это делается путем итерации использования квази-комбинаторного понятия функции и добавлением методов собирания. Это хорошо известный метод теории множеств.

То, что дано на каждом уровне, сильно зависит от порядковой сущности итерации. Отсюда, понятие ординального числа зависит от особенности идеи итерации. В этом случае мы используем ординальные числа для индексации уровней итерации. Таким образом, мы создаем последующие множества, следуя итерационной концепции, сталкиваясь при этом с хорошо упорядоченными множествами среди всех множеств. Порядковые типы данных вполне упорядоченных множеств определяют ординальные числа, которые могут быть использованы для дальнейшей индексации итераций. Внося всеобщность операций при создании множеств, мы так же можем рассматривать все эти ординальные числа, созданные этими операциями, и создавать новые ординальные числа. В общем, для некоторого ординального числа альфа, что бы оно ни значило, мы допускаем перенос процесса итерации на альфа уровень и действуем дальше.

Вопрос элементов приводит нас к различиям между множествами (или общими математическими объектами) и другими объектами. Философски, очень важно понимать, что мы столкнулись с идеально общей ситуацией и можно начать единственно с собираемых совокупностей в качестве начальных элементов. В оригинальном итеративном методе нет ничего, связанного с управлением различными видами основных элементов. Например, мы можем взять все физические объекты в качестве основных элементов, или все элементарные частицы, или всех животных, или все целые числа и т.д. В каждом случае мы допускаем собирание основных элементов в множество х, мы можем обеспечить процесс итерации, начиная с множества х (или создадим трансфинитную иерархию с множеством х внизу). Тогда, как обычно, процесс создания дальнейших множеств из начального множества х основных элементов универсален по отношению к х, то есть процесс одинаково помнит о безразличности выбора начального множества х. Является резонным принять один генеральный случай, как мы сделали при первом рассмотрение итеративного подхода. Более того, для абстрактного изучения множеств, выглядит подходящим пренебрегать немножествами в целом. Это выглядит выполнимым, потому что как только мы начинаем с «ничего» (ни одного основного элемента и ни одного множества), мы можем получить пустое множество 0. Использование данного специального случая пустого множества основных элементов получает удобную непротиворечивость. Фактически, для математического изучения множеств выборочно требование того, чтобы все члены множества были множествами. Этот ограничение удаляет множества слонов и столов, но не исключает множества чисел и функций, которые определяются конкретными множествами.

В основе наших объяснений (максимального) итеративного понятия множества мы могли видеть, что ординальные аксиомы теории множеств (обычно называемые ZF и ZFC) остаются верными:

1. Аксиома продолжения. Множество полностью описывается своими элементами, то есть множества необязательно состоят из одинаковых элементов, а если они состоят из одинаковых элементов, то они равны.
   
2. Аксиома о создании подмножеств (аксиома полноты). Если совокупность А содержится в множестве Х. то А – множество.
   

Как только х – данное множество, мы можем пробежать по всем элементам х , и после этого можем делать это с разумными пробелами. В частности, в отношение к А мы можем посмотреть при идеальной чувственности и удалить те элементы их х, которые не принадлежат А. При этом подходе мы просматриваем все элементы из А и принимаем А за множество.

3. Аксиома степени множества. Существует множество всех подмножеств множества.
   

Тогда, если х дано, то даны индивидуально все подмножества х по аксиоме 2. Более того, мы имеем интуитивную идею пробегания с пробелами. Это основное понятие, находящееся на более высоком уровне, чем его применение к каждой совокупности А, вложенной в х, приводит нас вместе с основами построения собрания к понятию степени множества.

В нашей предыдущей дискуссии об основных элементах, мы получили вывод о том, что для абстрактного построения теории множеств мы можем выгодно не рассматривать происхождение основных элементов и, фактически, оставить все немножества вместе, беря пустое множество основных элементов. Сейчас, когда мы преуспели в создании степени множества для данного множества, мы можем обогатить процесс итерации в другом направлении. Операция создания степени множества для данного множества исключает необходимость разветвления данного множества х: существует множество путей создания подмножеств х; мы можем с другой стороны подпадать под влияние различия между разными типами подмножеств х, такими, что конкретные подмножества х собираются в одно новое множество, какие-то другие конкретные подмножества собираются в другое множество, и так далее. Используя степень множества х, мы можем рассматривать вместе все подмножества х и суммировать структуру всех возможных подмножеств в одно единое множество, называемое степенью х. На этом пути мы получаем полную презентацию всех единичных приложений операции «омножествления» к некоторой данной совокупности данных объектов. При этом нет других сущностей в отличной от нашей конструктивной концепции с более широким кругом типов и уровней. Каждое множество получается на некой стадии альфа (ординальное число) и каждая стадия R альфа получается из пустого множества применением итеративной операции «омножествления», которая достигает всех элементов множества R бета (множества всех подмножеств) если a=b+1. Собирая вместе все множества, полученные на более ранних стадиях, если альфа конечное ординальное число. Другими словами, если R альфа полная совокупность множеств, собранных на всех уровнях, до уровня альфа, тогда R альфа +1 состоит из всех подмножеств множества R альфа.

Итеративный подход подразумевает то, что мы продолжаем итерации до предельно возможного момента, в частности, подразумевает, что для некоторого данного ординального числа альфа существует стадия альфа. Тогда возникает проблема нахождения ординальных чисел для индексации уровней. Например, мы берем изначально конечные числа для того. чтобы с чего-то начать. Далее мы следуем, как это было у Кантора оригинально, к пределу всех натуральных чисел омега и тогда к омега + 1, и так далее.

Таким образом, для каждого натурального n, есть уровень Rn. Но нет смысла останавливаться на этом. Так мы имеем дальнейший уровень Rw, который собирает в себе все конечные уровни, так же как и уровень R w+1, и так далее. Из пути, по которому уровни получаются, мы видим, что каждое полученное множество имеет первый уровень, на котором оно появляется, и тогда если существует какой-то элемент, которому присуще это свойство, значит существует минимальный элемент, которому оно присуще.

1. Аксиома основания: Каждое множество может быть получено на некотором этапе; или каждое непустое множество (или даже совокупность множеств) имеет минимальный элемент, или ни одного члена х не содержится в нем. Таким образом, существует элемент, получающийся не позже всех остальных.
   

2. Аксиома бесконечности: Существует бесконечное множество.
   

3. Аксиома выбора: для любого из непустых множеств, существует множество, которое содержит в точности один элемент из каждого элемента из этого множества. Если каждый элемент х получается на более ранней стадии, чем х, то все члены членов х получаются ранее и их можно собирать вместе в множества.
   

4. Аксиома замещения: если Вх – множество для любого члена х множества у, то совокупность множеств Вх, содержится в этом множестве.
   

Эта форма аксиомы 4) отличается от привычной в двух мелочах: использование объединения и ослабление с «быть множеством», до «быть вложенным в множество». Обычная форма для 4): если в – операция, и Вх – множество для любого члена х множества у, тогда совокупность множеств Вх образует множество. Изменения введены для конкретных эстетических моментов, которые не очень подходят для наших главных задач. Мы будем направлять сырое объяснение 4), по причине связи сильного и слабого вариантов этой аксиомы в качестве сноски. Далее здесь мы ограничим аксиому и будем её использовать в виде 4).


Как только мы принимаем точку зрения, что в идеальном случае можем пробежать все элементы данного множества, оправдание аксиомы 4) незамедлительное. То есть, если, для каждого элемента множества, мы туда кладем некий другой объект, мы можем с легкостью пробегаться по новой совокупности. Таким же способом, мы преуспели в создании новых множеств путем осознанного замещения. Если, как обычно, не имеется данной идеи пробегания по всем элементам данного множества, принятие идеи аксиомы замещения является более комплексным.

Гедель обращает внимание на то, что аксиома замещения имеет не такой же вид незамедлительной очевидности (которая предваряла все выводы итеративного подхода при построении множества), который имеют остальные аксиомы. Это следует из того факта, что первоначально она не содержалась в оригинальной системе аксиом Цермело. Он решает, что эвристически, лучший способ получить её этого стандартного взгляда следующий. Из той самой идеи об итеративном понятии множества следует, что ординальное число альфа может быть получено. Операция степени множества (Р) , итератированного альфа раз, приводит к множеству Р в степени альфа (0). Но, с той же целью, будет казаться следующим, что если взамен Р мы делаем более значительный прыжок в иерархии типов, например, переход Q от х к Р в степени модуль х (х), где модуль х – наименьший ординал из достаточных упорядочиваний множества х), Q в степени альфа так же является множеством. Сейчас, принятие этой операции для некоторой, возможной операции прыжка, (только для тех из операции, которые определяются относительно пространства всех множеств, или с использованием операции выбора) является эквивалентом аксиомы замещения.

Семь аксиом ESPFICR будут рассмотрены как компенсация обычной системы ZF (или ZFC) в теории множеств. Комментарии выше об этих аксиомах приведены для того, чтобы показать, что мы может принять их справедливыми при итеративном построении множества. Кое-что более формальное, мы можем также перечислить иерархию множеств, получающуюся при итеративном подходе, полагая что ординальный числа исходно существуют, как было показано.


R ноль – пустое множество (или, иногда, множество натуральных чисел);

R в степени альфа + 1 – степень множества R альфа, то есть множество всех подмножеств R альфа;

R лямбда – объединение всех множеств R альфа, альфа < лямбда, где лямбда – ограниченный ординал;

V – объединение R альфа для всех альфа, альфа – некий ординал.


Другими словами, пространство всех множеств состоит из всех х, таких что х принадлежит некоторому R альфа, где альфа – некоторый ординал. Наименьшее альфа, при котором х принадлежит R в степени альфа, называется рангом х. При такой формулировке, очевидно, что две сложные идеи это степень множества и ординальное число. В последние годы большое внимание уделялось нахождению новых ординалов, вписывая новые кардиналы в строгую теорию множеств. В противоположность, был произведен небольшой прогресс в попытках обогатить напрямую степени множеств (например, множества целых чисел) новыми аксиомами. Обе попытки могут быть представлены, как попытки представить наши интуитивные идеи более ясно. Итеративный подход близок к оригинальному подходу Кантора, и было, в той или иной форме разработано и принято во внимание Миримановым (1917), Фон Нейманом (1925), Цермело (1930), Бернайсом (1935) и Геделем (1964).

Этот итеративное построение множества, конечно, достаточно сильно отличается от дихотомичного подхода, который рассматривает каждое множества, получающимся путем разделения всех вещей на две различные категории (те, которые имеют свойства и те, которые их не имеют). Следуя Геделю, можно говорить о двух подходах как о двух математических интерпретациях логики. Многие люди были озадачены тем фактом, что в раннем письме Расселу, Гедель рассматривает парадоксы значительно подробнее. Анализируя парадоксы, к которым пришла канторовская теория множеств, он независимо от математических выкладок, таким образом, чтобы просветить тот удивительный факт, что наша логическая интуиция (та интуиция, которая содержит такие понятия, как правда, класс, подход, существование) является самопротиворечивой. Отличие в выразительности, как объясняет Гедель, приводит к различиям в объекте внимания, потому что все письмо к Расселу связано больше с логикой, чем с математикой. Полная концепция классов (правды, подхода, бытия) не используется в математике и итеративный подход, который является достаточным для математики, может быть или не быть полным понятием множества. Поэтому, сложности в этих логических подходах не противоречат тому факту, что мы имеем удовлетворительное математическое основание математики в терминах итеративного подхода. В отношении противопоставления логики и математики, Гедель верит, что неразрешенные сложности относятся в первую очередь к интенсиональным парадоксам ( понятие неприменимости к самому себе), а не к экстенсиональным или семантическим парадоксам. В терминах различия провала и непонимания, как полагалось выше, взгляд Геделя состоит в том, что парадоксы в математике, которые он связывает с теорией множеств, относятся к непониманию, тогда как логика, как только принимаются её «правдивые» принципы, проваливается на интенсиональных парадоксах.

Остается непонятным, относится ли итеративное понятие к Кантору и его работе 1895 года и «генетическому» определению множества. Под множеством понимается некая совокупность из всего пространства M конечных, различимых объектов m, (которые называются элементами М), интуитивных или понятых. Мы интересуемся тем, чтобы узнать больше о развитии канторовского подхода и его связи с итеративным подходом.

В 1882 году Кантор заявляет, что элементы множества достаточно хорошо определены, если по их определению и логическому закону исключенного среднего мы должны понимать как изначально заданное, принадлежит ли элемент заданного вида множеству или нет. Эта позиция ближе логическому подходу , чем математическому, в такой формулировке. В следующем году, множество становится определенным, с ссылками на идеи Плато и на других родственные подходы, как некое «Многое», которое может быть описано «единственным», например совокупность чисел, которые можгут быть объединены неким свойством. По Френкелю, Кантор нашел так называемый парадокс Буралли-Форти не позднее 1895 года, что, по крайней мере, на 2 года раньше их официальной публикации. При этом он сообщил об этом среди прочих Гильберту в 1896. В этом определении могло быть что-то сделано со знаменитым «генетическим» определением, данным в 1895г. По словам Цермело, часть тех исследований, которые Кантор проводил в 1895 – 97 годах, были посвящены исследованиям второго порядкового класса, больше чем все остальным кардинальным числам. Это так же может объяснить почему Кантор, в статье 1895 года, говорит о попытках показать что все кардиналы образуют вполне упорядоченное множество в сильном случае. Конкретное предложение по поводу различия классов и множеств было высказано в письме к Дедекинду в 1899, неопубликованном до 1932.

Существуют ещё различия между описываемым подходом и подходом Кантора. О них возможно ниже прочитать подробнее в сносках.

С целью решения задачи о постановке аксиом теории множеств (включая поиск новых аксиом), мы может разделить два вопроса, (1) , грубо говоря, принципы, по которым мы вводим аксиомы, (2) каково их точное значение и почему мы допускаем эти принципы. Второй вопрос несравнимо сложнее. Мое ощущение, что Гедель пытается исследовать его с помощью феноменологических исследований.

При решении первого вопроса Гедель предлагает рассматривать совокупность принципов, уже использовавшихся для постановки принятых аксиом. Понятно, что одна и та же аксиома может быть выведена из разных принципов, которые не могут быть отделены по принципу разных идеи, на которых они основаны; например, недопустимые числа попадают либо под (2), либо под (3), описанные ниже. Следующие 5 принципов показаны в рамках дискуссии и главы, расположенной ниже, посвященной новым аксиомам и критерию принадлежности данным принципам.

1. Существование множеств представляет обозримые уровни абстракции, то есть совокупности, в некотором смысле, могут быть осознаны (см. выше).
   
2. Принцип замкнутости: если пространство множеств на предмет неких операций, существует множество, которое его больше. Это приводит, например, к существованию недостижимых кардиналов.
   
3. Принцип отражения: пространство всех множеств структурно неописуемо. Существует следующий путь уточнения данного понятия: пространство всех множеств не может быть аутентифицировано (отделено от его единичных элементов) путем собственной внутренней операции принадлежности, представленной некой финитной или трансфинитной логикой, содержащей трансфинитную логику кардинальных чисел. Этот принцип может быть обозначен, как обобщение (2). Дополнительные уточнения и обобщение рассматриваются в конкретной литературе.
   
4. Экстенсиональность: аксиомы типа замещения и понимания вначале определяются на основе сущности связей. Например, мы имеем недостижимые числа по (2) выше, только если можем установить аксиому замещения экстенсионально.
   
5. Однородность пространства множеств (аналог однородности природы): пространство множеств не меняет своей сути при переходе от меньших кардиналов к больших. То есть как бы свойства проявляются вновь и вновь. Это в некоторых случаях может быть сложным понять, какие аналоги находятся у некоторых явлений. Но в некоторых простых случаях становится ясным, что аналогов кроме самого себя нет. Принцип, который ,например, допускает существование компактных кардиналов внешне вполне благовидный, он относится к обобщению теоремы представления Стоуна для обыкновенных булевых алгебр и булевых алгебр с бесконечными суммами и произведениями.
   

2) Несостоятельность (противоречие) или непонимание (ошибка)?


Реакция Фреге и Кантора на существование парадоксов сильно различалась, и вылилась в две теории: несостоятельности и недопонимания. Различие бесспорно может быть обусловлено в их различном понятии множества (логического и математического подходов). Относительная причина состоит в том, что Фреге исследовал множества извне, а Кантор занимался построением математической теории множеств. Обычно в философских дискуссиях об основании предмета, подходы к исследованию извне и изнутри различаются. Под одинаковыми достижениями могут подразумеваться разные вещи, и выводы делаются различные. Значение методологических установок столь высоко, что иногда становится непонятным, как связано то, что специалист сделал, с тем, что у него написано. Например, Цермело, Фон Нейман, Мириманов, Кантор, все казалось имели одинаковые основания построения множества, по крайней мере в отношении ныне обычных свойств множеств. А то, что они говорили оказалось достаточно различным. Кантор представлял, что парадоксы возникают из-за некорректного понимания. Цермело конструировал парадоксы, накладывая некие ограничения на определение множества у Кантора 1895 года.

Никто не достиг успеха в простом исключении замечаний, касающихся теории и нам ничего не остается кроме как пойти в другом направлении и проследить теорию множеств, как она исторически развивалась, чтобы выделить принципы, которые необходимы для построения математической дисциплины. Для этой цели мы должны с одной стороны ограничить эти принципы, чтобы избежать противоречий, а с другой, взять их максимально широкими, чтобы объять все, что может возникнуть в теории.


По Мириманову:

Он верит и это принимается очевидным, что существование индивидуальностей ведет к существованию множеств над этими индивидуальностями. Но Бурали-Форти и Рассел показали различными примерами, что множество индивидуальностей необязательно существует, только если индивидуальности существуют. Поскольку мы не можем допустить это новое обстоятельство, мы вынуждены признать, что предложение, которое считается и принимается нами как очевидное и всегда правдивое, является неточным, или, более того, верным при неких конкретных условиях.


В дискуссионных попытках аксиоматизировать теорию множеств, Фон Нейман придает особое значение арбитражным элементам.

В крайних случаях защитники теории недопонимания предлагают не трогать какие-то очевидные и понятные моменты, даже если с ними возникают парадоксальные проблемы, тогда как приверженцы теории несостоятельности считают доказанным противоречивость интуиции и устраняют каждое противоречие, даже с помощью хитрых приемов, если требуется. Интуитивный подход всегда считался более наивным, в том смысле, что он базируется на вере в некое абсолютное понимании принципа, по которому каждое свойство множества вводится. Эта идея была разработана Фреге и исторически становится очевидным противоречивость интуитивной логики. Правдивый принцип возникает из некоторого основания логики. Отсюда куда проще понять энтузиазм Фреге по отношению к уменьшению влияния математики по отношению к его последователям. Смотря на все это через разработанную Кантором теорию множеств, не так уж и очевидна противоречивость логики. Выглядит куда более приемлемым говорить о том, что мы имеем неточную интуицию, недостатки которой устраняются путем применения итеративного подхода, учитывающего парадоксы и пробелы в них. Таким образом, объектом дебатов является: существует ли интуиция, на которой можно базироваться или нет. Но это может быстро перейти в дебаты на предмет терминологии.

Сейчас мы имеем, что неподходящим для нас является использование только интуиционистского подхода. Мы его отбрасываем либо занимаемся его реконструкцией по Цермело, как было описано ранее. Грубо говоря, требования Цермело дают возможность для принятия неких арбитражных условий в вводимых теориях, что является не вполне допустимым для нас.

Но исходим мы из допустимого итеративного подхода, достаточного честного, поэтому существует четкая интуиция, с которой мы стартуем. Эта концепция проявляется и во взглядах Цермело с Фон Нейманом, которые являются представителями несостоятельной теории. Итогом является то, что итеративный подход – это то начало, которое позволяет обойтись без самопротиворечий и противоречий вообще.

Мы не можем сказать, что итеративный подход полностью совершенен, остаются проблемы отношения друг к другу и предела нашего подхода. Это дает нам возможность вводить новые аксиомы, которые устраняют данные недостатки. Но несостоятельный подход все равно остался незавершенным, поэтому в наши дни проблема фундаментальных моментов теории множеств решается с помощью антиномий.

Все-таки есть некое относительное различие между формалистами и реалистами (или платонистами). Они по-разному исследуют получающиеся результаты и их правильность, так же различаются направления исследований, например, формалисты занимаются построением достаточно больших кардиналов и исследованием конструктивных множеств. В целом же главным отличием является то, что формалисты не допускают применения неких логических допущений и необоснованных идей, тогда как объективисты оставляют возможность принять некие логические и интуиционистские моменты. Иной раз взгляды пересекаются, таким образом, объективисты могут использовать некие формалистические утверждения. Объективисты, в свою очередь, являются разновидностью реалистов, с тем моментом, что допускается некое избегание некоторого числа внешних проблем с математическими объектами.